Vorticidade - Vorticity
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Na mecânica do contínuo , a vorticidade é um campo pseudovetor que descreve o movimento giratório local de um contínuo próximo a algum ponto (a tendência de algo girar), como seria visto por um observador localizado naquele ponto e viajando junto com o fluxo. É uma quantidade importante na teoria dinâmica dos fluidos e fornece uma estrutura conveniente para a compreensão de uma variedade de fenômenos de fluxo complexos, como a formação e o movimento de anéis de vórtice .
Matematicamente, a vorticidade é a curvatura da velocidade do fluxo :
onde está o operador del . Conceitualmente, poderia ser determinado marcando partes de um continuum em uma pequena vizinhança do ponto em questão e observando seus deslocamentos relativos à medida que se movem ao longo do fluxo. A vorticidade seria o dobro do vetor de velocidade angular média dessas partículas em relação ao seu centro de massa , orientado de acordo com a regra da mão direita .
Em um fluxo bidimensional , é sempre perpendicular ao plano do fluxo, podendo, portanto, ser considerado um campo escalar .
Exemplos
Em uma massa de continuum que está girando como um corpo rígido, a vorticidade é duas vezes o vetor de velocidade angular dessa rotação. É o caso, por exemplo, do núcleo central de um vórtice Rankine .
A vorticidade pode ser diferente de zero mesmo quando todas as partículas estão fluindo ao longo de linhas de trajetórias retas e paralelas , se houver cisalhamento (ou seja, se a velocidade do fluxo variar entre as linhas de fluxo ). Por exemplo, no fluxo laminar dentro de um tubo com seção transversal constante , todas as partículas viajam paralelamente ao eixo do tubo; mas mais rápido perto desse eixo e praticamente estacionário próximo às paredes. A vorticidade será zero no eixo e máxima próximo às paredes, onde o cisalhamento é maior.
Por outro lado, um fluxo pode ter vorticidade zero, embora suas partículas viajem ao longo de trajetórias curvas. Um exemplo é o vórtice irrotacional ideal , onde a maioria das partículas gira em torno de algum eixo reto, com velocidade inversamente proporcional às distâncias a esse eixo. Uma pequena parcela do contínuo que não se estende pelo eixo será girada em um sentido, mas cortada no sentido oposto, de tal forma que sua velocidade angular média em torno de seu centro de massa seja zero.
Fluxos de exemplo: Vórtice tipo corpo rígido
v ∝ rFluxo paralelo com cisalhamento Vórtice irrotacional
v ∝ 1/ronde v é a velocidade do fluxo, r é a distância ao centro do vórtice e ∝ indica proporcionalidade .
Velocidades absolutas em torno do ponto destacado:Velocidades relativas (ampliadas) em torno do ponto destacado Vorticidade ≠ 0 Vorticidade ≠ 0 Vorticidade = 0
Outra forma de visualizar a vorticidade é imaginar que, instantaneamente, uma pequena parte do continuum se torna sólida e o resto do fluxo desaparece. Se essa minúscula nova partícula sólida estiver girando, em vez de apenas se mover com o fluxo, haverá vorticidade no fluxo. Na figura abaixo, a subfigura esquerda não demonstra vorticidade e a subfigura direita demonstra a existência de vorticidade.
Definição matemática
Matematicamente, a vorticidade de um fluxo tridimensional é um campo pseudovetor, geralmente denotado por , definido como a curvatura do campo de velocidade que descreve o movimento contínuo. Em coordenadas cartesianas :
Em palavras, a vorticidade diz como o vetor velocidade muda quando alguém se move por uma distância infinitesimal em uma direção perpendicular a ele.
Em um fluxo bidimensional onde a velocidade é independente da coordenada -e não tem nenhum componente, o vetor de vorticidade é sempre paralelo ao eixo -e, portanto, pode ser expresso como um campo escalar multiplicado por um vetor unitário constante :
A vorticidade também está relacionada com o fluxo de circulação (linha integrante da velocidade) ao longo de um trajecto fechado pelo (clássica) de Stokes teorema . Nomeadamente, para qualquer elemento de superfície infinitesimal C com direção e área normais , a circulação ao longo do perímetro de é o produto escalar onde está a vorticidade no centro de .
Evolução
A evolução do campo de vorticidade no tempo é descrita pela equação de vorticidade , que pode ser derivada das equações de Navier-Stokes .
Em muitos fluxos reais onde a viscosidade pode ser desprezada (mais precisamente, em fluxos com alto número de Reynolds ), o campo de vorticidade pode ser modelado por uma coleção de vórtices discretos, a vorticidade sendo desprezível em todos os lugares, exceto em pequenas regiões do espaço ao redor dos eixos de os vórtices. Isso é verdade no caso de fluxo potencial bidimensional (ou seja, fluxo bidimensional de viscosidade zero), caso em que o campo de fluxo pode ser modelado como um campo de valor complexo no plano complexo .
A vorticidade é útil para entender como soluções de fluxo potencial ideais podem ser perturbadas para modelar fluxos reais. Em geral, a presença de viscosidade causa uma difusão de vorticidade longe dos núcleos de vórtice para o campo de fluxo geral; este fluxo é contabilizado por um termo de difusão na equação de transporte de vorticidade.
Linhas de vórtice e tubos de vórtice
Uma linha de vórtice ou linha de vorticidade é uma linha tangente em todos os lugares ao vetor de vorticidade local. As linhas de vórtice são definidas pela relação
onde é o vetor de vorticidade em coordenadas cartesianas .
Um tubo de vórtice é a superfície no contínuo formado por todas as linhas de vórtice que passam por uma dada curva fechada (redutível) no contínuo. A 'força' de um tubo de vórtice (também chamado de fluxo de vórtice ) é a integral da vorticidade em uma seção transversal do tubo e é a mesma em qualquer lugar ao longo do tubo (porque a vorticidade tem divergência zero). É uma consequência dos teoremas de Helmholtz (ou equivalentemente, do teorema da circulação de Kelvin ) que em um fluido invíscido a 'força' do tubo de vórtice também é constante com o tempo. Os efeitos viscosos introduzem perdas por atrito e dependência do tempo.
Em um fluxo tridimensional, a vorticidade (medida pela integral de volume do quadrado de sua magnitude) pode ser intensificada quando uma linha de vórtice é estendida - um fenômeno conhecido como alongamento de vórtice . Esse fenômeno ocorre na formação de um vórtice de banheira na saída de água e na formação de um tornado por correntes de ar crescentes.
Medidores de vorticidade
Medidor de vorticidade de palheta giratória
Um medidor de vorticidade de palheta giratória foi inventado pelo engenheiro hidráulico russo A. Ya. Milovich (1874–1958). Em 1913 ele propôs uma cortiça com quatro lâminas acopladas como um dispositivo que mostrava qualitativamente a magnitude da projeção vertical da vorticidade e demonstrou uma fotografia em movimento do movimento do flutuador na superfície da água em um modelo de curva de um rio.
Medidores de vorticidade com palhetas rotativas são comumente mostrados em filmes educacionais sobre mecânica contínua (exemplos famosos incluem "Vorticidade" e "Princípios Fundamentais de Fluxo" do Instituto de Pesquisa Hidráulica de Iowa).
Ciências específicas
Aeronáutica
Na aerodinâmica , a distribuição de sustentação sobre uma asa finita pode ser aproximada assumindo que cada segmento da asa tem um vórtice semi-infinito atrás dele. É então possível resolver para a força dos vórtices usando o critério de que não há fluxo induzido através da superfície da asa. Este procedimento é chamado de método de painel de vórtice de dinâmica de fluidos computacional . As forças dos vórtices são então somadas para encontrar a circulação total aproximada em torno da asa. De acordo com o teorema de Kutta-Joukowski , a sustentação é o produto da circulação, velocidade do ar e densidade do ar.
Ciências atmosféricas
A vorticidade relativa é a vorticidade em relação à Terra induzida pelo campo de velocidade do ar. Este campo de velocidade do ar é freqüentemente modelado como um fluxo bidimensional paralelo ao solo, de modo que o vetor de vorticidade relativa é geralmente a quantidade de rotação escalar perpendicular ao solo. A vorticidade é positiva quando - olhando para a superfície da Terra - o vento gira no sentido anti-horário. No hemisfério norte, a vorticidade positiva é chamada de rotação ciclônica e a vorticidade negativa é a rotação anticiclônica ; a nomenclatura é invertida no hemisfério sul.
A vorticidade absoluta é calculada a partir da velocidade do ar em relação a um referencial inercial e, portanto, inclui um termo devido à rotação da Terra, o parâmetro Coriolis .
A vorticidade potencial é a vorticidade absoluta dividida pelo espaçamento vertical entre os níveis de temperatura (ou entropia ) constante (potencial ). A vorticidade absoluta de uma massa de ar mudará se a massa de ar for esticada (ou comprimida) na direção vertical, mas a vorticidade potencial é conservada em um fluxo adiabático . Como o fluxo adiabático predomina na atmosfera, a vorticidade potencial é útil como um traçador aproximado das massas de ar na atmosfera ao longo da escala de tempo de alguns dias, particularmente quando vista em níveis de entropia constante.
A equação de vorticidade barotrópica é a maneira mais simples de prever o movimento das ondas de Rossby (isto é, os vales e cristas de 500 hPa de altura geopotencial ) em um período de tempo limitado (alguns dias). Na década de 1950, os primeiros programas bem-sucedidos de previsão numérica do tempo utilizaram essa equação.
Em modelos numéricos modernos de previsão do tempo e modelos de circulação geral (GCMs), a vorticidade pode ser uma das variáveis previstas, caso em que a equação dependente do tempo correspondente é uma equação de prognóstico .
Relacionado ao conceito de vorticidade está a helicidade , definida como
onde a integral está acima de um determinado volume . Na ciência atmosférica, a helicidade do movimento do ar é importante na previsão de supercélulas e no potencial de atividade tornádica .
Veja também
- Equação de vorticidade barotrópica
- Paradoxo de D'Alembert
- Enstrofia
- Potencial de velocidade
- Vórtice
- Tubo Vortex
- Alongamento de vórtice
- Vórtice em ferradura
- Vórtices Wingtip
Dinâmica de fluidos
Ciências atmosféricas
Referências
Bibliografia
- Acheson, DJ (1990). Dinâmica de fluidos elementar . Imprensa da Universidade de Oxford. ISBN 0-19-859679-0.
- Landau, LD; Lifshitz, EM (1987). Mecânica dos fluidos (2ª ed.). Elsevier. ISBN 978-0-08-057073-0.
- Pozrikidis, C. (2011). Introdução à Dinâmica dos Fluidos Teórica e Computacional . Imprensa da Universidade de Oxford. ISBN 978-0-19-975207-2.
- Guyon, Etienne; Hulin, Jean-Pierre; Petit, Luc; Mitescu, Catalin D. (2001). Hidrodinâmica Física . Imprensa da Universidade de Oxford. ISBN 0-19-851746-7.
- Batchelor, GK (2000) [1967], An Introduction to Fluid Dynamics , Cambridge University Press, ISBN 0-521-66396-2
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- " Weather Glossary " 'The Weather Channel Interactive, Inc .. 2004.
- " Vorticidade ". Publicação integrada.
Leitura adicional
- Ohkitani, K., " Elementary Account Of Vorticity And Related Equations ". Cambridge University Press. 30 de janeiro de 2005. ISBN 0-521-81984-9
- Chorin, Alexandre J. , " Vorticity and Turbulence ". Applied Mathematical Sciences, Vol 103, Springer-Verlag. 1 de março de 1994. ISBN 0-387-94197-5
- Majda, Andrew J. , Andrea L. Bertozzi, " Vorticity and Incompressible Flow ". Cambridge University Press; 2002. ISBN 0-521-63948-4
- Tritton, DJ , " Physical Fluid Dynamics ". Van Nostrand Reinhold, Nova York. 1977. ISBN 0-19-854493-6
- Arfken, G., " Mathematical Methods for Physicists ", 3ª ed. Academic Press, Orlando, Flórida. 1985. ISBN 0-12-059820-5
links externos
- Weisstein, Eric W., " Vorticity ". Scienceworld.wolfram.com.
- Doswell III, Charles A., " A Primer on Vorticity for Application in Supercells and Tornadoes ". Instituto Cooperativo para Estudos Meteorológicos de Mesoescala, Norman, Oklahoma.
- Cramer, MS, " Equações de Navier – Stokes - Teoremas de Transporte de Vorticidade : Introdução ". Fundamentos da Mecânica dos Fluidos.
- Parker, Douglas, " ENVI 2210 - Atmosphere and Ocean Dynamics, 9: Vorticity ". Escola do Meio Ambiente da Universidade de Leeds. Setembro de 2001.
- Graham, James R. , " Astronomy 202: Astrophysical Gas Dynamics ". Departamento de Astronomia, UC Berkeley .
- " Spherepack 3.1 ". (inclui uma coleção de programa de vorticidade FORTRAN)
- " Predições do modelo em tempo real da comunidade compressível de mesoescala (MC2) ". (Análise de potencial vorticidade)