Integrais de Wallis - Wallis' integrals

Em matemática , e mais precisamente em análise , as integrais de Wallis constituem uma família de integrais introduzidas por John Wallis .

Definição, propriedades básicas

As integrais de Wallis são os termos da sequência definida por ${\ displaystyle (W_ {n}) _ {n \ geq 0}}$

${\ displaystyle W_ {n} = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {n} x \, dx,}$

ou de forma equivalente (pela substituição ), ${\ displaystyle x = {\ tfrac {\ pi} {2}} - t}$

${\ displaystyle W_ {n} = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ cos ^ {n} x \, dx.}$

Os primeiros termos desta sequência são:

${\ displaystyle W_ {0}}$	${\ displaystyle W_ {1}}$	${\ displaystyle W_ {2}}$	${\ displaystyle W_ {3}}$	${\ displaystyle W_ {4}}$	${\ displaystyle W_ {5}}$	${\ displaystyle W_ {6}}$	${\ displaystyle W_ {7}}$	${\ displaystyle W_ {8}}$	...	${\ displaystyle W_ {n}}$
${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$	${\ displaystyle 1}$	${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}}}$	${\ displaystyle {\ frac {2} {3}}}$	${\ displaystyle {\ frac {3 \ pi} {16}}}$	${\ displaystyle {\ frac {8} {15}}}$	${\ displaystyle {\ frac {5 \ pi} {32}}}$	${\ displaystyle {\ frac {16} {35}}}$	${\ displaystyle {\ frac {35 \ pi} {256}}}$	...	${\ displaystyle {\ frac {n-1} {n}} W_ {n-2}}$

A sequência é decrescente e tem termos positivos. Na verdade, para todos ${\ displaystyle (W_ {n})}$${\ displaystyle n \ geq 0:}$

• ${\ displaystyle W_ {n}> 0,}$ porque é uma integral de uma função contínua não negativa que não é identicamente zero;
• ${\ displaystyle W_ {n} -W_ {n + 1} = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {n} x \, dx- \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {n + 1} x \, dx = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} (\ sin ^ {n} x) (1- \ sin x) \, dx> 0,}$ novamente porque a última integral é de uma função contínua não negativa.

Como a sequência é decrescente e limitada por 0, ela converge para um limite não negativo. Na verdade, o limite é zero (veja abaixo). ${\ displaystyle (W_ {n})}$

Relação de recorrência

Por meio da integração por partes , pode-se obter uma relação de recorrência . Usando a identidade , temos para todos , ${\ displaystyle \ sin ^ {2} x = 1- \ cos ^ {2} x}$${\ displaystyle n \ geq 2}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {n} x \, dx & = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} (\ sin ^ {n-2} x) (1- \ cos ^ {2} x) \, dx \\ & = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} { 2}} \ sin ^ {n-2} x \, dx- \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {n-2} x \ cos ^ {2} x \, dx. \ qquad {\ text {Equação (1)}} \ end {alinhado}}}$

Integrando o segundo integral por partes, com:

• ${\ displaystyle u '(x) = \ cos (x) \ sin ^ {n-2} (x)}$ , cujo anti-derivado é ${\ displaystyle u (x) = {\ frac {1} {n-1}} \ sin ^ {n-1} (x)}$
• ${\ displaystyle v (x) = \ cos (x)}$ , cuja derivada é ${\ displaystyle v '(x) = - \ sin (x)}$

temos:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {n-2} x \ cos ^ {2} x \, dx = \ left [{\ frac {\ sin ^ {n-1} x} {n-1}} \ cos x \ direita] _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} + {\ frac {1} {n-1}} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {n-1} x \ sin x \, dx = 0 + {\ frac {1} {n-1}} W_ {n }.}$

Substituir este resultado na equação (1) dá

${\ displaystyle W_ {n} = W_ {n-2} - {\ frac {1} {n-1}} W_ {n},}$

e assim

${\ displaystyle W_ {n} = {\ frac {n-1} {n}} W_ {n-2},}$

para todos ${\ displaystyle n \ geq 2.}$

Esta é uma relação de recorrência que dá em termos de . Isso, junto com os valores de e nos dá dois conjuntos de fórmulas para os termos na sequência , dependendo se for ímpar ou par: ${\ displaystyle W_ {n}}$${\ displaystyle W_ {n-2}}$${\ displaystyle W_ {0}}$${\ displaystyle W_ {1},}$${\ displaystyle (W_ {n})}$${\ displaystyle n}$

• ${\ displaystyle W_ {2p} = {\ frac {2p-1} {2p}} \ cdot {\ frac {2p-3} {2p-2}} \ cdots {\ frac {1} {2}} W_ { 0} = {\ frac {(2p-1) !!} {(2p) !!}} \ cdot {\ frac {\ pi} {2}} = {\ frac {(2p)!} {2 ^ { 2p} (p!) ^ {2}}} \ cdot {\ frac {\ pi} {2}},}$
• ${\ displaystyle W_ {2p + 1} = {\ frac {2p} {2p + 1}} \ cdot {\ frac {2p-2} {2p-1}} \ cdots {\ frac {2} {3}} W_ {1} = {\ frac {(2p) !!} {(2p + 1) !!}} = {\ frac {2 ^ {2p} (p!) ^ {2}} {(2p + 1) !}}.}$

Outra relação para avaliar as integrais de Wallis

Integrais de Wallis podem ser avaliados usando integrais de Euler :

1. Integral de Euler de primeiro tipo : a função Beta :

   ${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ int _ {0} ^ {1} t ^ {x-1} (1-t) ^ {y-1} \, dt = {\ frac { \ Gamma (x) \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}}}$ para Re ( x ), Re ( y )> 0

2. Integral de Euler de segundo tipo : a função Gamma :

   ${\ displaystyle \ Gamma (z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {z-1} e ^ {- t} \, dt}$ para Re ( z )> 0 .

Se fizermos a seguinte substituição dentro da função Beta: obtemos: ${\ displaystyle \ quad \ left \ {{\ begin {matrix} t = \ sin ^ {2} u \\ 1-t = \ cos ^ {2} u \\ dt = 2 \ sin u \ cos udu \ end {matriz}} \ certo.}$

${\ displaystyle \ mathrm {B} (a, b) = 2 \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {2a-1} u \ cos ^ {2b-1} u \, du,}$

então isso nos dá a seguinte relação para avaliar as integrais de Wallis:

${\ displaystyle W_ {n} = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {B} \ left ({\ frac {n + 1} {2}}, {\ frac {1} {2}} \ direita) = {\ frac {\ Gamma \ left ({\ tfrac {n + 1} {2}} \ right) \ Gamma \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ right)} {2 \, \ Gamma \ left ({\ tfrac {n} {2}} + 1 \ right)}}.}$

Então, para ímpar , escrito , temos: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n = 2p + 1}$

${\ displaystyle W_ {2p + 1} = {\ frac {\ Gamma \ left (p + 1 \ right) \ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)} {2 \, \ Gamma \ left (p + 1 + {\ frac {1} {2}} \ right)}} = {\ frac {p! \ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)} {( 2p + 1) \, \ Gamma \ left (p + {\ frac {1} {2}} \ right)}} = {\ frac {2 ^ {p} \; p!} {(2p + 1) !! }} = {\ frac {2 ^ {2 \, p} \; (p!) ^ {2}} {(2p + 1)!}}}$

Considerando que , mesmo , escrevendo e sabendo disso , obtemos: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n = 2p}$${\ displaystyle \ Gamma ({\ tfrac {1} {2}}) = {\ sqrt {\ pi}}}$

${\ displaystyle W_ {2p} = {\ frac {\ Gamma \ left (p + {\ frac {1} {2}} \ right) \ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)} {2 \, \ Gamma \ left (p + 1 \ right)}} = {\ frac {(2p-1) !! \; \ pi} {2 ^ {p + 1} \; p!}} = { \ frac {(2p)!} {2 ^ {2 \, p} \; (p!) ^ {2}}} \ cdot {\ frac {\ pi} {2}}.}$

Equivalência

• A partir da fórmula de recorrência acima , podemos deduzir que ${\ displaystyle \ mathbf {(2)}}$

${\ displaystyle \ W_ {n + 1} \ sim W_ {n}}$ (equivalência de duas sequências).

Na verdade, para todos  : ${\ displaystyle n \ in \, \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle \ W_ {n + 2} \ leqslant W_ {n + 1} \ leqslant W_ {n}}$ (uma vez que a sequência está diminuindo)

${\ displaystyle {\ frac {W_ {n + 2}} {W_ {n}}} \ leqslant {\ frac {W_ {n + 1}} {W_ {n}}} \ leqslant 1}$ (desde ) ${\ displaystyle \ W_ {n}> 0}$

${\ displaystyle {\ frac {n + 1} {n + 2}} \ leqslant {\ frac {W_ {n + 1}} {W_ {n}}} \ leqslant 1}$ (por equação ). ${\ displaystyle \ mathbf {(2)}}$

Pelo teorema do sanduíche , concluímos isso , e portanto . ${\ displaystyle {\ frac {W_ {n + 1}} {W_ {n}}} \ a 1}$${\ displaystyle \ W_ {n + 1} \ sim W_ {n}}$

• Ao examinar , obtém-se a seguinte equivalência: ${\ displaystyle W_ {n} W_ {n + 1}}$

${\ displaystyle W_ {n} \ sim {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2 \, n}}} \ quad}$ (e conseqüentemente ). ${\ displaystyle \ quad \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt {n}} \, W_ {n} = {\ sqrt {\ pi / 2}} \ quad}$

Deduzindo a fórmula de Stirling

Suponha que tenhamos a seguinte equivalência (conhecida como fórmula de Stirling ):

${\ displaystyle n! \ sim C {\ sqrt {n}} \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n},}$

para alguma constante que desejamos determinar. De cima, nós temos ${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle W_ {2p} \ sim {\ sqrt {\ frac {\ pi} {4p}}} = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2 {\ sqrt {p}}}}}$ (equação (3))

Expandindo e usando a fórmula acima para os fatoriais, obtemos ${\ displaystyle W_ {2p}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} W_ {2p} & = {\ frac {(2p)!} {2 ^ {2p} (p!) ^ {2}}} \ cdot {\ frac {\ pi} { 2}} \\ & \ sim {\ frac {C \ left ({\ frac {2p} {e}} \ right) ^ {2p} {\ sqrt {2p}}} {2 ^ {2p} C ^ { 2} \ left ({\ frac {p} {e}} \ right) ^ {2p} \ left ({\ sqrt {p}} \ right) ^ {2}}} \ cdot {\ frac {\ pi} {2}} \\ & = {\ frac {\ pi} {C {\ sqrt {2p}}}}. {\ Text {(equação (4))}} \ end {alinhado}}}$

De (3) e (4), obtemos por transitividade:

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {C {\ sqrt {2p}}}} \ sim {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2 {\ sqrt {p}}}}.}$

Resolver para dá Em outras palavras, ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C = {\ sqrt {2 \ pi}}.}$

${\ displaystyle n! \ sim {\ sqrt {2 \ pi n}} \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n}.}$

Avaliando a Integral Gaussiana

A integral gaussiana pode ser avaliada através do uso das integrais de Wallis.

Primeiro provamos as seguintes desigualdades:

• ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad \ forall u \ in \ mathbb {R} _ {+} \ quad u \ leqslant n \ quad \ Rightarrow \ quad (1-u / n) ^ {n} \ leqslant e ^ {- u}}$
• ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad \ forall u \ in \ mathbb {R} _ {+} \ qquad e ^ {- u} \ leqslant (1 + u / n) ^ {- n}}$

Na verdade, deixando , a primeira desigualdade (em que ) é equivalente a ; enquanto a segunda desigualdade se reduz a , que se torna . Essas duas últimas desigualdades decorrem da convexidade da função exponencial (ou de uma análise da função ). ${\ displaystyle \ quad u / n = t}$${\ displaystyle t \ in [0,1]}$${\ displaystyle 1-t \ leqslant e ^ {- t}}$${\ displaystyle e ^ {- t} \ leqslant (1 + t) ^ {- 1}}$${\ displaystyle e ^ {t} \ geqslant 1 + t}$${\ displaystyle t \ mapsto e ^ {t} -1-t}$

Deixando e fazendo uso das propriedades básicas de integrais impróprios (a convergência dos integrais é óbvia), obtemos as desigualdades: ${\ displaystyle u = x ^ {2}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ sqrt {n}} (1-x ^ {2} / n) ^ {n} dx \ leqslant \ int _ {0} ^ {\ sqrt {n}} e ^ {- x ^ {2}} dx \ leqslant \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- x ^ {2}} dx \ leqslant \ int _ {0} ^ {+ \ infty} ( 1 + x ^ {2} / n) ^ {- n} dx}$ para uso com o teorema sanduíche (as ). ${\ displaystyle n \ to \ infty}$

O primeiro e o último integrais podem ser avaliados facilmente usando os integrais de Wallis. Para o primeiro, deixe (t variando de 0 a ). Então, a integral se torna . Para a última integral, deixe (t variando de a ). Então, torna-se . ${\ displaystyle x = {\ sqrt {n}} \, \ sin \, t}$${\ displaystyle \ pi / 2}$${\ displaystyle {\ sqrt {n}} \, W_ {2n + 1}}$${\ displaystyle x = {\ sqrt {n}} \, \ tan \, t}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ pi / 2}$${\ displaystyle {\ sqrt {n}} \, W_ {2n-2}}$

Como mostramos antes ,. Então, segue-se isso . ${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} {\ sqrt {n}} \; W_ {n} = {\ sqrt {\ pi / 2}}}$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- x ^ {2}} dx = {\ sqrt {\ pi}} / 2}$

Observação: Existem outros métodos de avaliação da integral de Gauss. Alguns deles são mais diretos .

Observação

As mesmas propriedades levam ao produto Wallis , que se expressa (veja ) na forma de um produto infinito . ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} \,}$${\ displaystyle \ pi}$

links externos

• Pascal Sebah e Xavier Gourdon. Introdução à função gama . Em formatos PostScript e HTML .