Produto Wallis - Wallis product

Comparação da convergência do produto Wallis (asteriscos roxos) e várias séries históricas infinitas para π . S _n é a aproximação após tomar n termos. Cada subtrama subseqüente amplia a área sombreada horizontalmente em 10 vezes. (clique para detalhes)

Em matemática , o produto Wallis para π , publicado em 1656 por John Wallis , afirma que

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ pi} {2}} & = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {4n ^ {2}} {4n ^ {2 } -1}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {2n} {2n-1}} \ cdot {\ frac {2n} {2n + 1}} \ right ) \\ [6pt] & = {\ Grande (} {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} {\ Grande)} \ cdot {\ Grande (} {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} {\ Grande)} \ cdot {\ Grande (} {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} { 7}} {\ Big)} \ cdot {\ Big (} {\ frac {8} {7}} \ cdot {\ frac {8} {9}} {\ Big)} \ cdot \; \ cdots \\ \ end {alinhado}}}$

Prova usando integração

Wallis derivou esse produto infinito como é feito nos livros de cálculo hoje, examinando os valores pares e ímpares de , e observando que, para grande , o aumento de 1 resulta em uma mudança que se torna cada vez menor à medida que aumenta. Deixar ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n} x \, dx}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle I (n) = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n} x \, dx.}$

(Esta é uma forma de integrais de Wallis .) Integrar por partes :

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} u & = \ sin ^ {n-1} x \\\ Rightarrow du & = (n-1) \ sin ^ {n-2} x \ cos x \, dx \\ dv & = \ sin x \, dx \\\ Rightarrow v & = - \ cos x \ end {alinhado}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ Rightarrow I (n) & = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n} x \, dx \\ [6pt] {} & = - \ sin ^ {n-1} x \ cos x {\ Biggl |} _ {0} ^ {\ pi} - \ int _ {0} ^ {\ pi} (- \ cos x) (n-1) \ sin ^ {n-2} x \ cos x \, dx \\ [6pt] {} & = 0+ (n-1) \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos ^ {2} x \ sin ^ { n-2} x \, dx, \ qquad n> 1 \\ [6pt] {} & = (n-1) \ int _ {0} ^ {\ pi} (1- \ sin ^ {2} x) \ sin ^ {n-2} x \, dx \\ [6pt] {} & = (n-1) \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n-2} x \, dx- (n-1) \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n} x \, dx \\ [6pt] {} & = (n-1) I (n-2) - (n- 1) I (n) \\ [6pt] {} & = {\ frac {n-1} {n}} I (n-2) \\ [6pt] \ Rightarrow {\ frac {I (n)} { I (n-2)}} & = {\ frac {n-1} {n}} \\ [6pt] \ end {alinhado}}}$

Agora, fazemos duas substituições de variáveis ​​por conveniência para obter:

${\ displaystyle I (2n) = {\ frac {2n-1} {2n}} I (2n-2)}$

${\ displaystyle I (2n + 1) = {\ frac {2n} {2n + 1}} I (2n-1)}$

Obtemos valores para e para uso posterior. ${\ displaystyle I (0)}$${\ displaystyle I (1)}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} I (0) & = \ int _ {0} ^ {\ pi} dx = x {\ Biggl |} _ {0} ^ {\ pi} = \ pi \\ [6pt ] I (1) & = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin x \, dx = - \ cos x {\ Biggl |} _ {0} ^ {\ pi} = (- \ cos \ pi ) - (- \ cos 0) = - (- 1) - (- 1) = 2 \\ [6pt] \ end {alinhado}}}$

Agora, calculamos para valores pares aplicando repetidamente o resultado da relação de recorrência da integração por partes. Eventualmente, acabamos chegando , o que calculamos. ${\ displaystyle I (2n)}$${\ displaystyle I (0)}$

${\ displaystyle I (2n) = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {2n} x \, dx = {\ frac {2n-1} {2n}} I (2n-2) = { \ frac {2n-1} {2n}} \ cdot {\ frac {2n-3} {2n-2}} I (2n-4)}$

${\ displaystyle = {\ frac {2n-1} {2n}} \ cdot {\ frac {2n-3} {2n-2}} \ cdot {\ frac {2n-5} {2n-4}} \ cdot \ cdots \ cdot {\ frac {5} {6}} \ cdot {\ frac {3} {4}} \ cdot {\ frac {1} {2}} I (0) = \ pi \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {2k-1} {2k}}}$

Repetindo o processo para valores ímpares , ${\ displaystyle I (2n + 1)}$

${\ displaystyle I (2n + 1) = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {2n + 1} x \, dx = {\ frac {2n} {2n + 1}} I (2n- 1) = {\ frac {2n} {2n + 1}} \ cdot {\ frac {2n-2} {2n-1}} I (2n-3)}$

${\ displaystyle = {\ frac {2n} {2n + 1}} \ cdot {\ frac {2n-2} {2n-1}} \ cdot {\ frac {2n-4} {2n-3}} \ cdot \ cdots \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {2} {3}} I (1) = 2 \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {2k} {2k + 1}}}$

Fazemos a seguinte observação, com base no fato de que ${\ displaystyle \ sin {x} \ leq 1}$

${\ displaystyle \ sin ^ {2n + 1} x \ leq \ sin ^ {2n} x \ leq \ sin ^ {2n-1} x, 0 \ leq x \ leq \ pi}$

${\ displaystyle \ Rightarrow I (2n + 1) \ leq I (2n) \ leq I (2n-1)}$

Dividindo por : ${\ displaystyle I (2n + 1)}$

${\ displaystyle \ Rightarrow 1 \ leq {\ frac {I (2n)} {I (2n + 1)}} \ leq {\ frac {I (2n-1)} {I (2n + 1)}} = { \ frac {2n + 1} {2n}}}$, onde a igualdade vem de nossa relação de recorrência.

Pelo teorema de compressão ,

${\ displaystyle \ Rightarrow \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {I (2n)} {I (2n + 1)}} = 1}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {I (2n)} {I (2n + 1)}} = {\ frac {\ pi} {2}} \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {2k-1} {2k}} \ cdot {\ frac {2k + 1} {2k}} \ right) = 1}$

${\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {\ pi} {2}} = \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {2k} {2k-1}} \ cdot {\ frac {2k} {2k + 1}} \ right) = {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot { \ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdot \ cdots}$

Prova usando o produto infinito de Euler para a função seno

Embora a prova acima seja tipicamente apresentada em livros modernos de cálculo, o produto de Wallis é, em retrospecto, um corolário fácil do produto infinito de Euler posterior para a função seno .

${\ displaystyle {\ frac {\ sin x} {x}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {n ^ {2} \ pi ^ {2}}} \ right)}$

Deixe : ${\ displaystyle x = {\ frac {\ pi} {2}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Rightarrow {\ frac {2} {\ pi}} & = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {1} {4n ^ {2}}} \ right) \\ [6pt] \ Rightarrow {\ frac {\ pi} {2}} & = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {4n ^ {2}} {4n ^ {2} -1}} \ right) \\ [6pt] & = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {2n} {2n- 1}} \ cdot {\ frac {2n} {2n + 1}} \ right) = {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4 } {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdots \ end {alinhados}}}$   

Relação com a aproximação de Stirling

A aproximação de Stirling para a função fatorial afirma que ${\ displaystyle n!}$

${\ displaystyle n! = {\ sqrt {2 \ pi n}} {\ left ({\ frac {n} {e}} \ right)} ^ {n} \ left [1 + O \ left ({\ frac {1} {n}} \ direita) \ direita].}$

Considere agora as aproximações finitas do produto Wallis, obtidas tomando os primeiros termos do produto ${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle p_ {k} = \ prod _ {n = 1} ^ {k} {\ frac {2n} {2n-1}} {\ frac {2n} {2n + 1}},}$

onde pode ser escrito como ${\ displaystyle p_ {k}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} p_ {k} & = {1 \ over {2k + 1}} \ prod _ {n = 1} ^ {k} {\ frac {(2n) ^ {4}} { [(2n) (2n-1)] ^ {2}}} \\ [6pt] & = {1 \ sobre {2k + 1}} \ cdot {{2 ^ {4k} \, (k!) ^ { 4}} \ over {[(2k)!] ^ {2}}}. \ End {alinhado}}}$

Substituindo a aproximação de Stirling nesta expressão (para e ) pode-se deduzir (após um pequeno cálculo) que converge para as . ${\ displaystyle k!}$${\ displaystyle (2k)!}$${\ displaystyle p_ {k}}$${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$${\ displaystyle k \ rightarrow \ infty}$

Derivada da função zeta de Riemann em zero

A função zeta de Riemann e a função eta de Dirichlet podem ser definidas:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ zeta (s) & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}}, \ Re (s)> 1 \\ [6pt] \ eta (s) & = (1-2 ^ {1-s}) \ zeta (s) \\ [6pt] & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} { \ frac {(-1) ^ {n-1}} {n ^ {s}}}, \ Re (s)> 0 \ end {alinhado}}}$

Aplicando uma transformada de Euler à última série, obtém-se o seguinte:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ eta (s) & = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (-1) ^ {n-1} \ left [{\ frac {1} {n ^ {s}}} - {\ frac {1} {(n + 1) ^ {s}}} \ right], \ Re (s)> - 1 \\ [6pt] \ Rightarrow \ eta '(s) & = (1-2 ^ {1-s}) \ zeta' (s) + 2 ^ {1-s} (\ ln 2) \ zeta (s) \\ [6pt] & = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n-1} \ esquerda [{\ frac {\ ln n} {n ^ {s}}} - {\ frac {\ ln (n + 1)} {(n + 1) ^ {s}}} \ direita], \ Re ( s)> - 1 \ end {alinhado}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ Rightarrow \ eta '(0) & = - \ zeta' (0) - \ ln 2 = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n-1} \ left [\ ln n- \ ln (n + 1) \ right] \\ [6pt] & = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n-1} \ ln {\ frac {n} {n + 1}} \\ [6pt] & = - {\ frac {1 } {2}} \ left (\ ln {\ frac {1} {2}} - \ ln {\ frac {2} {3}} + \ ln {\ frac {3} {4}} - \ ln { \ frac {4} {5}} + \ ln {\ frac {5} {6}} - \ cdots \ right) \\ [6pt] & = {\ frac {1} {2}} \ left (\ ln {\ frac {2} {1}} + \ ln {\ frac {2} {3}} + \ ln {\ frac {4} {3}} + \ ln {\ frac {4} {5}} + \ ln {\ frac {6} {5}} + \ cdots \ right) \\ [6pt] & = {\ frac {1} {2}} \ ln \ left ({\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot \ cdots \ right) = {\ frac {1} {2}} \ ln {\ frac {\ pi} {2}} \\\ Rightarrow \ zeta '(0) & = - {\ frac {1} {2}} \ ln \ left (2 \ pi \ right ) \ end {alinhado}}}$

Veja também

• John Wallis , matemático inglês a quem é dado crédito parcial pelo desenvolvimento do cálculo infinitesimal e do pi .
• Fórmula de Viète , uma fórmula de produto infinita diferente para .${\ displaystyle \ pi}$
• Fórmula de Leibniz para π , uma soma infinita que pode ser convertida em um produto de Euler infinito para .${\ displaystyle \ pi}$
• Peneira Wallis

Notas

links externos

• "Wallis formula" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• "Por que esse produto é igual a π / 2? Uma nova prova da fórmula de Wallis para π." 3Blue1Brown . 20 de abril de 2018 - via YouTube .