Identidade Ward – Takahashi - Ward–Takahashi identity

Na teoria quântica de campos , uma identidade de Ward-Takahashi é uma identidade entre funções de correlação que segue das simetrias globais ou de calibre da teoria e que permanece válida após a renormalização .

A identidade Ward – Takahashi da eletrodinâmica quântica (QED) foi originalmente usada por John Clive Ward e Yasushi Takahashi para relacionar a renormalização da função de onda do elétron ao seu fator de renormalização do vértice , garantindo o cancelamento da divergência ultravioleta para todas as ordens da teoria de perturbação . Os usos posteriores incluem a extensão da prova do teorema de Goldstone a todas as ordens da teoria de perturbação.

De forma mais geral, uma identidade de Ward-Takahashi é a versão quântica da clássica conservação de corrente associada a uma simetria contínua pelo teorema de Noether . Tais simetrias na teoria quântica de campos (quase) sempre dão origem a essas identidades Ward-Takahashi generalizadas que impõem a simetria no nível das amplitudes da mecânica quântica. Este sentido generalizado deve ser distinguido ao ler literatura, como o livro de Michael Peskin e Daniel Schroeder , da identidade original de Ward-Takahashi.

A discussão detalhada abaixo diz respeito à QED, uma teoria abeliana à qual se aplica a identidade Ward-Takahashi. As identidades equivalentes para teorias não abelianas como a cromodinâmica quântica (QCD) são as identidades de Slavnov-Taylor .

Identidade de Ward – Takahashi

A identidade Ward-Takahashi se aplica a funções de correlação no espaço de momento , que não necessariamente têm todos os seus momentos externos na casca . Deixei

ser uma função de correlação QED envolvendo um fóton externo com momento k (onde é o vetor de polarização do fóton e a soma está implícita), n elétrons de estado inicial com momentos e n elétrons de estado final com momentos . Defina também como sendo a amplitude mais simples obtida removendo o fóton com momento k de nossa amplitude original. Em seguida, a identidade Ward-Takahashi lê

onde e é a carga do elétron e tem sinal negativo. Observe que, se tiver seus elétrons externos na camada, então as amplitudes no lado direito dessa identidade têm, cada uma, uma partícula externa fora da camada e, portanto, não contribuem para os elementos da matriz S.

Identidade da ala

A identidade de Ward é uma especialização da identidade de Ward – Takahashi para elementos de matriz S , que descrevem processos de espalhamento fisicamente possíveis e, portanto, têm todas as suas partículas externas na casca . Novamente, deixe ser a amplitude de algum processo QED envolvendo um fóton externo com momento , onde é o vetor de polarização do fóton. Em seguida, a identidade da Ala diz:

Fisicamente, o que essa identidade significa é que a polarização longitudinal do fóton que surge no calibre ξ não é física e desaparece da matriz S.

Exemplos de seu uso incluem restringir a estrutura tensorial da polarização a vácuo e da função de vértice do elétron em QED.

Derivação na formulação integral do caminho

Na formulação da integral do caminho, as identidades de Ward-Takahashi são um reflexo da invariância da medida funcional sob uma transformação de medidor . Mais precisamente, se representa uma transformação de calibre por (e isso se aplica mesmo no caso em que a simetria física do sistema é global ou mesmo inexistente; estamos apenas preocupados com a invariância da medida funcional aqui), então

expressa a invariância da medida funcional onde S é a ação e é um funcional dos campos . Se a transformação de calibre corresponde a uma simetria global da teoria, então,

para alguns J " atuais " (como um funcional dos campos ) após a integração por partes e assumindo que os termos de superfície podem ser negligenciados.

Então, as identidades Ward-Takahashi tornam-se

Este é o análogo QFT da equação de continuidade Noether .

Se a transformação do medidor corresponde a uma simetria do medidor real , então

onde S é a ação invariante de medidor e S gf é um termo de fixação de medidor não invariante de medidor .

Mas note que mesmo se não houver uma simetria global (ou seja, a simetria foi quebrada), ainda temos uma identidade Ward-Takahashi descrevendo a taxa de não conservação de carga.

Se a medida funcional não for invariante de calibre, mas satisfizer

onde está algum funcional dos campos , temos uma identidade Ward – Takahashi anômala , por exemplo, quando os campos têm uma anomalia quiral .

Referências