Manifold de Whitehead - Whitehead manifold

Os primeiros três toros da construção do manifold de Whitehead

Em matemática , o colector de Whitehead é um aberta 3-colector que é contraível , mas não homeomorfos para . JHC Whitehead  ( 1935 ) descobriu este objeto enigmático enquanto tentava provar a conjectura de Poincaré , corrigindo um erro em um artigo anterior de Whitehead (1934 , teorema 3), onde alegou incorretamente que tal variedade não existe. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Um coletor contrátil é aquele que pode ser continuamente reduzido a um ponto dentro do próprio coletor. Por exemplo, uma bola aberta é uma variedade contrátil. Todas as variedades homeomórficas à bola também são contraíveis. Pode-se perguntar se todas as variedades contráteis são homeomórficas a uma bola. Para as dimensões 1 e 2, a resposta é clássica e é "sim". Na dimensão 2, segue, por exemplo, do teorema de mapeamento de Riemann . A dimensão 3 apresenta o primeiro contra - exemplo : o manifold de Whitehead.

Construção

Leve uma cópia de , a esfera tridimensional . Agora encontre um toro sólido sem nós e compacto dentro da esfera. (Um toro sólido é uma rosca tridimensional comum , ou seja, um toro preenchido , que é topologicamente um círculo vezes um disco .) O complemento fechado do toro sólido interno é outro toro sólido. ${\ displaystyle S ^ {3}}$ ${\ displaystyle T_ {1}}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$

Um link de Whitehead mais espesso. Na construção múltipla de Whitehead, o toro azul (sem torção) é uma vizinhança tubular da curva do meridiano de , e o toro laranja é . Tudo deve estar contido .${\ displaystyle T_ {1}}$${\ displaystyle T_ {2}}$${\ displaystyle T_ {1}}$

Agora pegue um segundo toro sólido dentro de modo que e uma vizinhança tubular da curva do meridiano de um elo de Whitehead mais espesso . ${\ displaystyle T_ {2}}$${\ displaystyle T_ {1}}$${\ displaystyle T_ {2}}$${\ displaystyle T_ {1}}$

Observe que é nulo-homotópico no complemento do meridiano de . Isto pode ser visto, considerando como e a curva meridiano como o z -axis em conjunto com . O toro tem número de enrolamento zero em torno do eixo z . Portanto, segue-se a necessária homotopia nula. Como o elo de Whitehead é simétrico, isto é, um homeomorfismo dos componentes dos comutadores de 3 esferas, também é verdade que o meridiano de também é homotópico nulo no complemento de . ${\ displaystyle T_ {2}}$${\ displaystyle T_ {1}}$${\ displaystyle S ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} \ cup \ {\ infty \}}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle T_ {2}}$${\ displaystyle T_ {1}}$${\ displaystyle T_ {2}}$

Agora incorpore dentro da mesma maneira que está dentro , e assim por diante; ao infinito. Defina W , o continuum de Whitehead , para ser , ou mais precisamente a interseção de todos os para . ${\ displaystyle T_ {3}}$${\ displaystyle T_ {2}}$${\ displaystyle T_ {2}}$${\ displaystyle T_ {1}}$${\ displaystyle W = T _ {\ infty}}$${\ displaystyle T_ {k}}$${\ displaystyle k = 1,2,3, \ dots}$

O manifold de Whitehead é definido como , que é um manifold não compacto sem limite. Conclui-se de nossa observação anterior, o teorema de Hurewicz e o teorema de Whitehead sobre a equivalência de homotopia, que X é contrátil. Na verdade, uma análise mais detalhada envolvendo um resultado de Morton Brown mostra isso . No entanto, X não é homeomórfico para . A razão é que não está simplesmente conectado ao infinito . ${\ displaystyle X = S ^ {3} \ setminus W}$${\ displaystyle X \ times \ mathbb {R} \ cong \ mathbb {R} ^ {4}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

O único ponto de compactação de X é o espaço (com W reduzido a um ponto). Não é um múltiplo. No entanto, é homeomórfico para . ${\ displaystyle S ^ {3} / W}$${\ displaystyle \ left (\ mathbb {R} ^ {3} / W \ right) \ times \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$

David Gabai mostrou que X é a união de duas cópias de cuja interseção também é homeomórfica . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Espaços Relacionados

Mais exemplos de coletores de 3 contráteis abertos podem ser construídos procedendo de maneira semelhante e escolhendo diferentes embeddings de in no processo iterativo. Cada incorporação deve ser um toro sólido sem nós na 3-esfera. As propriedades essenciais são que o meridiano de deve ser nulo-homotópico no complemento de e, além disso, a longitude de não deve ser nulo-homotópico em . ${\ displaystyle T_ {i + 1}}$${\ displaystyle T_ {i}}$${\ displaystyle T_ {i}}$${\ displaystyle T_ {i + 1}}$${\ displaystyle T_ {i + 1}}$${\ displaystyle T_ {i} \ setminus T_ {i + 1}}$

Outra variação é escolher vários subtori em cada estágio, em vez de apenas um. Os cones sobre alguns desses contínuos aparecem como complementos das alças de Casson em um 4-ball.

O espaço dogbone não é um múltiplo, mas seu produto é homeomórfico a . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$

Veja também

• Lista de topologias

Referências

Leitura adicional

• Kirby, Robion (1989). A topologia de 4 variedades . Notas de aula em matemática, no. 1374, Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-51148-1.
• Rolfsen, Dale (2003), "Seção 3.I.8.", Nós e links , AMS Chelsea Publishing, p. 82, ISBN 978-0821834367
• Whitehead, JHC (1934), "Certos teoremas sobre variedades tridimensionais (I)", Quarterly Journal of Mathematics , 5 (1): 308–320, Bibcode : 1934QJMat ... 5..308W , doi : 10.1093 / qmath /os-5.1.308
• Whitehead, JHC (1935), "A determinada variedade aberta cujo grupo é unidade", Quarterly Journal of Mathematics , 6 (1): 268-279, Bibcode : 1935QJMat ... 6..268W , doi : 10.1093 / qmath / os -6.1.268