Teorema de Wick - Wick's theorem

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v t e

O teorema de Wick é um método de reduzir derivadas de alta ordem a um problema combinatório . Recebeu o nome do físico italiano Gian-Carlo Wick . É amplamente utilizado na teoria quântica de campos para reduzir produtos arbitrários de operadores de criação e aniquilação a somas de produtos de pares desses operadores. Isso permite o uso de métodos de função de Green e, consequentemente, o uso de diagramas de Feynman no campo em estudo. Uma ideia mais geral na teoria da probabilidade é o teorema de Isserlis .

Na teoria quântica de campos perturbativa, o teorema de Wick é usado para reescrever rapidamente cada soma ordenada do tempo na série de Dyson como uma soma de termos ordenados normais . No limite dos estados de entrada e saída assintoticamente livres, esses termos correspondem aos diagramas de Feynman .

Definição de contração

Para dois operadores e definimos sua contração como ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$${\ displaystyle {\ hat {B}}}$

${\ displaystyle {\ hat {A}} ^ {\ bullet} \, {\ hat {B}} ^ {\ bullet} \ equiv {\ hat {A}} \, {\ hat {B}} \, - {\ mathopen {:}} {\ hat {A}} \, {\ hat {B}} {\ mathclose {:}}}$

onde denota a ordem normal de um operador . Alternativamente, as contrações podem ser denotadas por uma junção de linha e , semelhantes . ${\ displaystyle {\ mathopen {:}} {\ hat {O}} {\ mathclose {:}}}$${\ displaystyle {\ hat {O}}}$${\ displaystyle {\ hat {A}}}$${\ displaystyle {\ hat {B}}}$${\ displaystyle {\ overset {\ sqcap} {{\ hat {A}} {\ hat {B}}}}}$

Devemos examinar em detalhes quatro casos especiais onde e são iguais aos operadores de criação e aniquilação. Para partículas, denotaremos os operadores de criação por e os operadores de aniquilação por . Eles satisfazem as relações de comutação usuais , onde denota o delta de Kronecker . ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$${\ displaystyle {\ hat {B}}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i}}$ ${\ displaystyle (i = 1,2,3 \ ldots, N)}$${\ displaystyle [{\ hat {a}} _ {i}, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger}] = \ delta _ {ij}}$${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$

Então temos

${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ bullet} = {\ hat {a}} _ {i} \ , {\ hat {a}} _ {j} \, - {\ mathopen {:}} \, {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {j} \, {\ mathclose {:}} \, = 0}$

${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger \ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger \ bullet} = {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, - \, {\ mathopen {:}} {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ mathclose {:}} \, = 0}$

${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger \ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ bullet} = {\ hat {a}} _ {i } ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {j} \, - {\ mathopen {:}} \, {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger} \, { \ hat {a}} _ {j} \, {\ mathclose {:}} \, = 0}$

${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger \ bullet} = {\ hat {a}} _ {i } \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, - {\ mathopen {:}} \, {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a} } _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ mathclose {:}} \, = \ delta _ {ij}}$

onde . ${\ displaystyle i, j = 1, \ ldots, N}$

Essas relações são verdadeiras para operadores bosônicos ou operadores fermiônicos devido à forma como a ordem normal é definida.

Exemplos

Podemos usar contrações e ordenação normal para expressar qualquer produto de operadores de criação e aniquilação como uma soma de termos ordenados normais. Esta é a base do teorema de Wick. Antes de declarar o teorema completamente, veremos alguns exemplos.

Suponha que e sejam operadores bosônicos que satisfaçam as relações de comutação : ${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger}}$

${\ displaystyle \ left [{\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger}, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \ right] = 0}$

${\ displaystyle \ left [{\ hat {a}} _ {i}, {\ hat {a}} _ {j} \ right] = 0}$

${\ displaystyle \ left [{\ hat {a}} _ {i}, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \ right] = \ delta _ {ij}}$

onde , denota o comutador e é o delta de Kronecker. ${\ displaystyle i, j = 1, \ ldots, N}$${\ displaystyle \ left [{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \ right] \ equiv {\ hat {A}} {\ hat {B}} - {\ hat {B}} {\ chapéu {A}}}$${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$

Podemos usar essas relações e a definição de contração acima para expressar produtos de e de outras maneiras. ${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger}}$

Exemplo 1

${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} = {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \ , {\ hat {a}} _ {i} + \ delta _ {ij} = {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {i} + {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger \ bullet} = \, {\ mathopen {:}} \, {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ mathclose {:}} + {\ hat {a}} _ {i} ^ { \ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger \ bullet}}$

Observe que não mudamos, mas apenas o reexpressamos em outra forma, como${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle \, {\ mathopen {:}} \, {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ mathclose {: }} + {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger \ bullet}}$

Exemplo 2

${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {k} = ({\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {i} + \ delta _ {ij}) {\ hat {a}} _ {k} = {\ hat { a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {k} + \ delta _ {ij} {\ hat {a }} _ {k} = {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {k} + {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger \ bullet} {\ hat {a}} _ {k} = \, {\ mathopen {:}} \, {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} {\ hat {a}} _ {k} \ , {\ mathclose {:}} + {\ mathopen {:}} \, {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ punhal \ bullet} \, {\ hat {a}} _ {k} {\ mathclose {:}}}$

Exemplo 3

${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {k} \, {\ hat {a}} _ {l} ^ {\ dagger} = ({\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {i} + \ delta _ {ij }) ({\ hat {a}} _ {l} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {k} + \ delta _ {kl})}$

${\ displaystyle = {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {l} ^ {\ dagger } \, {\ hat {a}} _ {k} + \ delta _ {kl} {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {i} + \ delta _ {ij} {\ hat {a}} _ {l} ^ {\ dagger} {\ hat {a}} _ {k} + \ delta _ {ij} \ delta _ {kl}}$

${\ displaystyle = {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} ({\ hat {a}} _ {l} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {i} + \ delta _ {il}) {\ hat {a}} _ {k} + \ delta _ {kl} {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a} } _ {i} + \ delta _ {ij} {\ hat {a}} _ {l} ^ {\ dagger} {\ hat {a}} _ {k} + \ delta _ {ij} \ delta _ { kl}}$

${\ displaystyle = {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} {\ hat {a}} _ {l} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {i} { \ hat {a}} _ {k} + \ delta _ {il} {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {k} + \ delta _ {kl} {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {i} + \ delta _ {ij} {\ hat {a}} _ {l} ^ {\ dagger} {\ hat {a}} _ {k} + \ delta _ {ij} \ delta _ {kl}}$

${\ displaystyle = \, {\ mathopen {:}} {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a} } _ {k} \, {\ hat {a}} _ {l} ^ {\ dagger} \, {\ mathclose {:}} + {\ mathopen {:}} \, {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {k} \, {\ hat {a}} _ { l} ^ {\ dagger \ bullet} \, {\ mathclose {:}} + {\ mathopen {:}} \, {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ { j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {k} ^ {\ bullet} \, {\ hat {a}} _ {l} ^ {\ dagger \ bullet} \, {\ mathclose {:}} + {\ mathopen {:}} \, {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger \ bullet} \, {\ hat {a}} _ {k} \, {\ hat {a}} _ {l} ^ {\ dagger} \, {\ mathclose {:}} + \, {\ mathopen {:}} {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger \ bullet} \, {\ hat {a}} _ {k} ^ {\ bullet \ bullet} \, {\ hat {a}} _ {l} ^ {\ dagger \ bullet \ bullet} {\ mathclose {:}}}$

Na última linha, usamos diferentes números de símbolos para denotar diferentes contrações. A aplicação repetida das relações de comutação dá muito trabalho, como você pode ver, para expressar na forma de uma soma de produtos normalmente pedidos. É um cálculo ainda mais demorado para produtos mais complicados. ${\ displaystyle ^ {\ bullet}}$${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {k} \, {\ hat {a}} _ {l} ^ {\ dagger}}$

Felizmente, o teorema de Wick fornece um atalho.

Declaração do teorema

Um produto de operadores de criação e aniquilação pode ser expresso como ${\ displaystyle {\ hat {A}} {\ hat {B}} {\ hat {C}} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F}} \ ldots}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} {\ hat {A}} {\ hat {B}} {\ hat {C}} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F} } \ ldots & = {\ mathopen {:}} {\ hat {A}} {\ hat {B}} {\ hat {C}} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F}} \ ldots {\ mathclose {:}} \\ & \ quad + \ sum _ {\ text {singles}} {\ mathopen {:}} {\ hat {A}} ^ {\ bullet} {\ hat {B}} ^ {\ bullet} {\ hat {C}} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F}} \ ldots {\ mathclose {:}} \\ & \ quad + \ sum _ {\ text {doubles}} {\ mathopen {:}} {\ hat {A}} ^ {\ bullet} {\ hat {B}} ^ {\ bullet \ bullet} {\ hat { C}} ^ {\ bullet \ bullet} {\ hat {D}} ^ {\ bullet} {\ hat {E}} {\ hat {F}} \ ldots {\ mathclose {:}} \\ & \ quad + \ ldots \ end {alinhado}}}$

Em outras palavras, uma sequência de operadores de criação e aniquilação pode ser reescrita como o produto de ordem normal da sequência, mais o produto de ordem normal após todas as contrações únicas entre pares de operadores, mais todas as contrações duplas, etc., mais todas as contrações completas .

Aplicar o teorema aos exemplos acima fornece um método muito mais rápido para chegar às expressões finais.

Um aviso : Em termos do lado direito contendo múltiplas contrações, deve-se ter cuidado quando os operadores são fermiônicos. Neste caso, um sinal de menos apropriado deve ser introduzido de acordo com a seguinte regra: reorganizar os operadores (introduzindo sinais de menos sempre que a ordem de dois operadores fermiônicos for trocada) para garantir que os termos contratados sejam adjacentes na sequência. A contração pode então ser aplicada (ver "Regra C" no artigo de Wick).

Exemplo:

Se tivermos dois férmions ( ) com operadores de criação e aniquilação e ( ), então ${\ displaystyle N = 2}$${\ displaystyle {\ hat {f}} _ {i} ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle {\ hat {f}} _ {i}}$${\ displaystyle i = 1,2}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {ll} {\ hat {f}} _ {1} \, {\ hat {f}} _ {2} \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {2} ^ {\ dagger} \, & = \, {\ mathopen {:}} {\ hat {f}} _ {1} \, {\ hat {f}} _ {2} \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {2} ^ {\ dagger} \, {\ mathclose {:}} \\ & - \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ bullet} \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger \ bullet} \, \, {\ mathopen {:}} {\ hat {f}} _ {2} \, {\ hat {f}} _ {2} ^ {\ dagger} \, {\ mathclose {:}} + \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ bullet} \, {\ hat {f}} _ {2} ^ {\ dagger \ bullet} \, \, {\ mathopen {:}} {\ hat {f }} _ {2} \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ mathclose {:}} + \, {\ hat {f}} _ {2} ^ {\ bullet} \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger \ bullet} \, \, {\ mathopen {:}} {\ hat {f}} _ {1} \, {\ hat { f}} _ {2} ^ {\ dagger} \, {\ mathclose {:}} - {\ hat {f}} _ {2} ^ {\ bullet} \, {\ hat {f}} _ {2 } ^ {\ dagger \ bullet} \, \, {\ mathopen {:}} {\ hat {f}} _ {1} \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ mathclose {:}} \\ & - {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ bullet \ bullet} \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger \ bullet \ bullet } \, {\ hat {f}} _ {2} ^ {\ bullet} \, {\ hat {f}} _ {2} ^ {\ dagger \ bullet} \, + {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ bullet \ bullet} \, {\ hat {f}} _ {2} ^ {\ dagger \ bullet \ bullet} \, {\ hat {f}} _ {2} ^ {\ bullet} \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger \ bullet} \, \ end {variedade}}}$

Observe que o termo com contrações dos dois operadores de criação e dos dois operadores de aniquilação não está incluído porque suas contrações desaparecem.

Prova do teorema de Wick

Usamos a indução para provar o teorema para a criação bosônica e operadores de aniquilação. O caso básico é trivial, porque há apenas uma contração possível: ${\ displaystyle N = 2}$

${\ displaystyle {\ hat {A}} {\ hat {B}} = {\ mathopen {:}} {\ hat {A}} {\ hat {B}} {\ mathclose {:}} + ({\ hat {A}} \, {\ hat {B}} \, - {\ mathopen {:}} {\ hat {A}} \, {\ hat {B}} {\ mathclose {:}}) = { \ mathopen {:}} {\ hat {A}} {\ hat {B}} {\ mathclose {:}} + {\ hat {A}} ^ {\ bullet} {\ hat {B}} ^ {\ bala }}$

Em geral, as únicas contrações diferentes de zero são entre um operador de aniquilação à esquerda e um operador de criação à direita. Suponha que o teorema de Wick seja verdadeiro para operadores e considere o efeito de adicionar um N- ésimo operador à esquerda de para formar . Pelo teorema de Wick aplicado a operadores, temos: ${\ displaystyle N-1}$${\ displaystyle {\ hat {B}} {\ hat {C}} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F}} \ ldots}$${\ displaystyle {\ hat {A}}}$${\ displaystyle {\ hat {B}} {\ hat {C}} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F}} \ ldots}$${\ displaystyle {\ hat {A}} {\ hat {B}} {\ hat {C}} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F}} \ ldots}$${\ displaystyle N-1}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} {\ hat {A}} {\ hat {B}} {\ hat {C}} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F} } \ ldots & = {\ hat {A}} {\ mathopen {:}} {\ hat {B}} {\ hat {C}} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F}} \ ldots {\ mathclose {:}} \\ & \ quad + {\ hat {A}} \ sum _ {\ text {singles}} {\ mathopen {:}} {\ hat {B}} ^ {\ bullet} {\ hat {C}} ^ {\ bullet} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F}} \ ldots {\ mathclose {:}} \\ & \ quad + {\ hat {A}} \ sum _ {\ text {doubles}} {\ mathopen {:}} {\ hat {B}} ^ {\ bullet} {\ hat {C}} ^ {\ bullet \ bullet} {\ hat {D}} ^ {\ bullet \ bullet} {\ hat {E}} ^ {\ bullet} {\ hat {F}} \ ldots {\ mathclose {:}} \\ & \ quad + {\ hat {A}} \ ldots \ end {alinhado}}}$

${\ displaystyle {\ hat {A}}}$é um operador de criação ou um operador de aniquilação. Se for um operador de criação, todos os produtos acima, como , já são pedidos normalmente e não requerem manipulação adicional. Por estar à esquerda de todos os operadores de aniquilação em , qualquer contração que o envolva será zero. Assim, podemos adicionar todas as contrações que envolvem às somas sem alterar seu valor. Portanto, se é um operador de criação, o teorema de Wick é válido para . ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$${\ displaystyle {\ hat {A}} {\ mathopen {:}} {\ hat {B}} {\ hat {C}} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F }} \ ldots {\ mathclose {:}}}$${\ displaystyle {\ hat {A}}}$${\ displaystyle {\ hat {A}} {\ hat {B}} {\ hat {C}} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F}} \ ldots}$${\ displaystyle {\ hat {A}}}$${\ displaystyle {\ hat {A}}}$${\ displaystyle {\ hat {A}} {\ hat {B}} {\ hat {C}} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F}} \ ldots}$

Agora, suponha que seja um operador de aniquilação. Para mover do lado esquerdo para o lado direito de todos os produtos, trocamos repetidamente com o operador imediatamente à direita dele (chamá-lo ), sempre solicitando a contabilização da não comutatividade. Assim que fizermos isso, todos os termos serão ordenados normalmente. Todos os termos adicionados às somas ao empurrar os produtos correspondem a contrações adicionais envolvendo . Portanto, se é um operador de aniquilação, o teorema de Wick é válido para . ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$${\ displaystyle {\ hat {A}}}$${\ displaystyle {\ hat {A}}}$${\ displaystyle {\ hat {X}}}$${\ displaystyle {\ hat {A}} {\ hat {X}} = {\ mathopen {:}} {\ hat {A}} {\ hat {X}} {\ mathclose {:}} + {\ hat {A}} ^ {\ bullet} {\ hat {X}} ^ {\ bullet}}$${\ displaystyle {\ hat {A}}}$${\ displaystyle {\ hat {A}}}$${\ displaystyle {\ hat {A}}}$${\ displaystyle {\ hat {A}} {\ hat {B}} {\ hat {C}} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F}} \ ldots}$

Provamos o caso base e a etapa de indução, então o teorema é verdadeiro. Ao introduzir os sinais de menos apropriados, a prova pode ser estendida para a criação fermiônica e operadores de aniquilação. O teorema aplicado a campos é provado essencialmente da mesma maneira.

Teorema de Wick aplicado a campos

A função de correlação que aparece na teoria quântica de campo pode ser expressa por uma contração nos operadores de campo:

${\ displaystyle {\ mathcal {C}} (x_ {1}, x_ {2}) = \ left \ langle 0 | {\ mathcal {T}} \ phi _ {i} (x_ {1}) \ phi _ {i} (x_ {2}) | 0 \ right \ rangle = \ langle 0 | {\ overline {\ phi _ {i} (x_ {1}) \ phi _ {i} (x_ {2})}} | 0 \ rangle = i \ Delta _ {F} (x_ {1} -x_ {2}) = i \ int {{\ frac {d ^ {4} k} {(2 \ pi) ^ {4}} } {\ frac {e ^ {- ik (x_ {1} -x_ {2})}} {(k ^ {2} -m ^ {2}) + i \ epsilon}}},}$

onde o operador é a quantidade que não aniquila o estado de vácuo . O que significa isso . Isso significa que acabou a contração . Observe que a contração de uma string ordenada pelo tempo de dois operadores de campo é um número c. ${\ displaystyle {\ overline {\ phi _ {i} (x_ {1}) \ phi _ {i} (x_ {2})}}}$${\ displaystyle | 0 \ rangle}$${\ displaystyle {\ overline {AB}} = {\ mathcal {T}} AB - {\ mathopen {:}} {\ mathcal {T}} AB {\ mathclose {:}}}$${\ displaystyle {\ overline {AB}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}} AB}$

No final, chegamos ao teorema de Wick:

O produto T de uma sequência de campos livres ordenados por tempo pode ser expresso da seguinte maneira:

${\ displaystyle {\ mathcal {T}} \ Pi _ {k = 1} ^ {m} \ phi (x_ {k}) = {\ mathopen {:}} {\ mathcal {T}} \ Pi \ phi _ {i} (x_ {k}) {\ mathclose {:}} + \ sum _ {\ alpha, \ beta} {\ overline {\ phi (x _ {\ alpha}) \ phi (x _ {\ beta})} } {\ mathopen {:}} {\ mathcal {T}} \ Pi _ {k \ not = \ alpha, \ beta} \ phi _ {i} (x_ {k}) {\ mathclose {:}} +}$

${\ displaystyle {\ mathcal {+}} \ sum _ {(\ alpha, \ beta), (\ gamma, \ delta)} {\ overline {\ phi (x _ {\ alpha}) \ phi (x _ {\ beta })}} \; {\ overline {\ phi (x _ {\ gamma}) \ phi (x _ {\ delta})}} {\ mathopen {:}} {\ mathcal {T}} \ Pi _ {k \ not = \ alpha, \ beta, \ gamma, \ delta} \ phi _ {i} (x_ {k}) {\ mathclose {:}} + \ ldots.}$

Aplicando este teorema aos elementos da matriz S , descobrimos que os termos de ordem normal agindo no estado de vácuo dão uma contribuição nula para a soma. Concluímos que m é par e apenas os termos totalmente contratados permanecem.

${\ displaystyle F_ {m} ^ {i} (x) = \ left \ langle 0 | {\ mathcal {T}} \ phi _ {i} (x_ {1}) \ phi _ {i} (x_ {2 }) | 0 \ right \ rangle = \ sum _ {\ mathrm {pares}} {\ overline {\ phi (x_ {1}) \ phi (x_ {2})}} \ cdots {\ overline {\ phi ( x_ {m-1}) \ phi (x_ {m}}})}$

${\ displaystyle G_ {p} ^ {(n)} = \ left \ langle 0 | {\ mathcal {T}} {\ mathopen {:}} v_ {i} (y_ {1}) {\ mathclose {:} } \ dots {\ mathopen {:}} v_ {i} (y_ {n}) {\ mathclose {:}} \ phi _ {i} (x_ {1}) \ cdots \ phi _ {i} (x_ { p}) | 0 \ right \ rangle}$

onde p é o número de campos de interação (ou, equivalentemente, o número de partículas interagindo) e n é a ordem de desenvolvimento (ou o número de vértices de interação). Por exemplo, se${\ displaystyle v = gy ^ {4} \ Rightarrow {\ mathopen {:}} v_ {i} (y_ {1}) {\ mathclose {:}} = {\ mathopen {:}} \ phi _ {i} (y_ {1}) \ phi _ {i} (y_ {1}) \ phi _ {i} (y_ {1}) \ phi _ {i} (y_ {1}) {\ mathclose {:}}}$

Isso é análogo ao teorema de Isserlis correspondente em estatísticas para os momentos de uma distribuição gaussiana .

Observe que esta discussão é em termos da definição usual de ordenação normal que é apropriada para os valores de expectativa de vácuo (VEV's) dos campos. (O teorema de Wick fornece uma maneira de expressar VEVs de n campos em termos de VEVs de dois campos.) Existem quaisquer outras definições possíveis de ordenação normal, e o teorema de Wick é válido independentemente. No entanto, o teorema de Wick apenas simplifica os cálculos se a definição de ordenação normal usada for alterada para corresponder ao tipo de valor esperado. Ou seja, sempre queremos que o valor esperado do produto normal pedido seja zero. Por exemplo, na teoria do campo térmico, um tipo diferente de valor de expectativa, um traço térmico sobre a matriz de densidade, requer uma definição diferente de ordenação normal .

Veja também

• Teorema de Isserlis

Referências

Leitura adicional

• Peskin, ME ; Schroeder, DV (1995). Uma introdução à teoria quântica de campos . Perseus Books. (§4.3)
• Schweber, Silvan S. (1962). Uma introdução à teoria quântica de campos relativística . Nova York: Harper and Row. (Capítulo 13, Seção c)