Rotação Wick - Wick rotation

Em física , a rotação Wick é um método de encontrar uma solução para um problema matemático no espaço de Minkowski a partir de uma solução para um problema relacionado no espaço euclidiano por meio de uma transformação que substitui uma variável de número imaginário por uma variável de número real. Essa transformação também é usada para encontrar soluções para problemas na mecânica quântica e outras áreas. O nome é uma homenagem ao físico italiano Gian Carlo Wick, que o concebeu pela primeira vez em 1954.

Visão geral

A rotação Wick é motivada pela observação de que a métrica de Minkowski em unidades naturais (com convenção de assinatura métrica $(-1, +1, +1, +1)$ )

{\ displaystyle ds ^ {2} = - \ left (dt ^ {2} \ right) + dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}}

e a métrica euclidiana quadridimensional

{\ displaystyle ds ^ {2} = d \ tau ^ {2} + dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}}

são equivalentes se permitirmos que a coordenada $t$ assuma valores imaginários . A métrica de Minkowski torna-se euclidiana quando $t$ é restrita ao eixo imaginário e vice-versa. Pegar um problema expresso no espaço de Minkowski com as coordenadas $x, y, z, t$ e substituí-lo por $t = - iτ$ às vezes resulta em um problema em coordenadas euclidianas reais $x, y, z, τ,$ que é mais fácil de resolver. Essa solução pode então, sob substituição reversa, produzir uma solução para o problema original.

Mecânica estatística e quântica

A rotação Wick conecta a mecânica estatística à mecânica quântica , substituindo a temperatura inversa pelo tempo imaginário . Considere uma grande coleção de osciladores harmônicos na temperatura $T$ . A probabilidade relativa de encontrar qualquer oscilador com energia $E$ é , onde $k$ $B$ é a constante de Boltzmann . O valor médio de um $Q$ observável é, até uma constante de normalização, ${\ displaystyle 1 / (k _ {\ text {B}} T)}$ ${\ displaystyle it / \ hbar}$ ${\ displaystyle \ exp (-E / k _ {\ text {B}} T)}$

{\ displaystyle \ sum _ {j} Q_ {j} e ^ {- {\ frac {E_ {j}} {k _ {\ text {B}} T}}},}

onde $j$ passa por todos os estados, é o valor de $Q$ no $j-$ ésimo estado e é a energia do $j-$ ésimo estado. Agora considere um único oscilador harmônico quântico em uma superposição de estados básicos, evoluindo por um tempo $t$ sob um $H$ hamiltoniano . A mudança de fase relativa do estado básico com energia $E$ é onde é reduzida a constante de Planck . A amplitude de probabilidade de que uma superposição uniforme (igualmente ponderada) de estados ${\ displaystyle Q_ {j}}$ ${\ displaystyle E_ {j}}$ ${\ displaystyle \ exp (-Eit / \ hbar),}$ ${\ displaystyle \ hbar}$

{\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ sum _ {j} | j \ rangle}

evolui para uma superposição arbitrária

{\ displaystyle | Q \ rangle = \ sum _ {j} Q_ {j} | j \ rangle}

é, até uma constante de normalização,

{\ displaystyle \ left \ langle Q \ left | e ^ {- {\ frac {iHt} {\ hbar}}} \ right | \ psi \ right \ rangle = \ sum _ {j} Q_ {j} e ^ { - {\ frac {E_ {j} it} {\ hbar}}} \ langle j | j \ rangle = \ sum _ {j} Q_ {j} e ^ {- {\ frac {E_ {j} it} { \ hbar}}}.}

Estática e dinâmica

A rotação Wick relaciona problemas de estática em $n$ dimensões a problemas de dinâmica em $n - 1$ dimensões, trocando uma dimensão de espaço por uma dimensão de tempo. Um exemplo simples onde $n = 2$ é uma mola suspensa com pontos finais fixos em um campo gravitacional. A forma da mola é uma curva $y (x)$ . A mola está em equilíbrio quando a energia associada a esta curva está em um ponto crítico (um extremo); este ponto crítico é normalmente um mínimo, por isso esta ideia é normalmente chamada de "o princípio da menor energia". Para calcular a energia, integramos a densidade espacial da energia no espaço:

{\ displaystyle E = \ int _ {x} \ left [k \ left ({\ frac {dy (x)} {dx}} \ right) ^ {2} + V {\ big (} y (x) { \ big)} \ right] dx,}

onde $k$ é a constante da mola e $V (y (x))$ é o potencial gravitacional.

O problema de dinâmica correspondente é o de uma pedra lançada para cima. O caminho que a rocha segue é aquele que extremaliza a ação ; como antes, esse extremo é normalmente um mínimo, então isso é chamado de " princípio da menor ação ". A ação é a integral do tempo do Lagrangiano :

{\ displaystyle S = \ int _ {t} \ left [m \ left ({\ frac {dy (t)} {dt}} \ right) ^ {2} -V {\ big (} y (t) { \ big)} \ right] dt.}

Obtemos a solução para o problema de dinâmica (até um fator de $i$ ) a partir do problema de estática por rotação Wick, substituindo $y (x)$ por $y (it)$ e a constante de mola $k$ pela massa da rocha $m$ :

{\ displaystyle iS = \ int _ {t} \ left [m \ left ({\ frac {dy (it)} {dt}} \ right) ^ {2} + V {\ big (} y (it) { \ big)} \ right] dt = i \ int _ {t} \ left [m \ left ({\ frac {dy (it)} {dit}} \ right) ^ {2} -V {\ big (} y (it) {\ big)} \ right] d (it).}

Térmico / quântico e estático / dinâmico

Juntos, os dois exemplos anteriores mostram como a formulação da integral de caminho da mecânica quântica está relacionada à mecânica estatística. Pela mecânica estatística, a forma de cada mola em uma coleção na temperatura $T$ se desviará da forma de menor energia devido às flutuações térmicas; a probabilidade de encontrar uma mola com uma determinada forma diminui exponencialmente com a diferença de energia da forma de menor energia. Da mesma forma, uma partícula quântica se movendo em um potencial pode ser descrita por uma superposição de caminhos, cada um com uma $exp de$ fase $($ $iS$ $)$ : as variações térmicas na forma ao longo da coleção se transformaram em incerteza quântica no caminho da partícula quântica.

Detalhes adicionais

A equação de Schrödinger e a equação do calor também são relacionadas pela rotação de Wick. No entanto, há uma pequena diferença. As funções estatísticas-mecânicas de $n$ pontos satisfazem a positividade, enquanto as teorias quânticas de campo com rotação de Wick satisfazem a positividade de reflexão .

A rotação Wick é chamada de rotação porque quando representamos números complexos como um plano , a multiplicação de um número complexo por $i$ é equivalente a girar o vetor que representa aquele número por um ângulo de $π / 2$ sobre a origem .

A rotação Wick também relaciona uma teoria quântica de campo a uma temperatura finita inversa $β$ a um modelo mecânico-estatístico sobre o "tubo" $R 3 \times S 1$ com a coordenada de tempo imaginária $τ$ sendo periódica com o período $β$ .

Observe, entretanto, que a rotação de Wick não pode ser vista como uma rotação em um espaço vetorial complexo que está equipado com a norma e métrica convencionais induzidas pelo produto interno , pois neste caso a rotação seria cancelada e não teria efeito.

Interpretação e prova rigorosa

As rotações Wick podem ser vistas como um truque útil que se mantém devido à semelhança entre as equações de dois campos da física aparentemente distintos. Em Quantum Field Theory in a Nutshell de Anthony Zee discute as rotações de Wick, dizendo que

Certamente você teria grande sucesso com os tipos místicos se lhes dissesse que a temperatura é equivalente ao tempo imaginário cíclico. No nível aritmético, essa conexão vem meramente do fato de que os objetos centrais

exp da

física quântica

(-i

H T

)

e

exp da

física térmica

(

βH

)

são formalmente relacionados por continuação analítica. Alguns físicos, inclusive eu, acham que pode haver algo profundo aqui que não entendemos muito bem.

Se

Foi provado que uma ligação mais rigorosa entre a teoria euclidiana e a teoria quântica de campos pode ser construída usando o teorema de reconstrução de Osterwalder-Schrader.

Veja também

Referências

^ Wick, GC (1954-11-15). "Propriedades das funções da onda de Bethe-Salpeter" . Revisão física . 96 (4): 1124–1134. doi : 10.1103 / PhysRev.96.1124 . ISSN 0031-899X .
^ Zee, A. (01-02-2010). Teoria quântica de campos em poucas palavras: segunda edição . Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-3532-4.
^ Schlingemann, Dirk (01/10/1999). "Da teoria de campo euclidiana à teoria quântica de campo" . Avaliações em Física Matemática . 11 (09): 1151–1178. arXiv : hep-th / 9802035 . doi : 10.1142 / S0129055X99000362 . ISSN 0129-055X .

links externos

A Spring in Imaginary Time - uma planilha de mecânica Lagrangiana ilustrando como substituir o comprimento pelo tempo imaginário transforma a parábola de uma mola suspensa na parábola invertida de uma partícula lançada
Gravidade Euclidiana - uma breve nota de Ray Streater sobre o programa "Gravidade Euclidiana".

[1] Wick, GC (1954-11-15). "Propriedades das funções da onda de Bethe-Salpeter" . Revisão física . 96 (4): 1124–1134. doi : 10.1103 / PhysRev.96.1124 . ISSN 0031-899X .

[2] Zee, A. (01-02-2010). Teoria quântica de campos em poucas palavras: segunda edição . Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-3532-4.

[3] Schlingemann, Dirk (01/10/1999). "Da teoria de campo euclidiana à teoria quântica de campo" . Avaliações em Física Matemática . 11 (09): 1151–1178. arXiv : hep-th / 9802035 . doi : 10.1142 / S0129055X99000362 . ISSN 0129-055X .

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