Axiomas de Wightman - Wightman axioms

Na física , os axiomas de Wightman (também chamados de axiomas de Gårding – Wightman ), em homenagem a Lars Gårding e Arthur Wightman , são uma tentativa de uma formulação matematicamente rigorosa da teoria quântica de campos . Arthur Wightman formulou os axiomas no início dos anos 1950, mas eles foram publicados pela primeira vez apenas em 1964, depois que a teoria de espalhamento de Haag-Ruelle afirmou seu significado.

Os axiomas existem no contexto da teoria quântica de campos construtiva e têm como objetivo fornecer uma base para o tratamento rigoroso dos campos quânticos e uma base estrita para os métodos perturbativos usados. Um dos problemas do milênio é realizar os axiomas de Wightman no caso dos campos de Yang-Mills .

Justificativa

Uma ideia básica dos axiomas de Wightman é que existe um espaço de Hilbert no qual o grupo de Poincaré age unitariamente . Desta forma, os conceitos de energia, momento, momento angular e centro de massa (correspondentes a impulsos) são implementados.

Há também uma suposição de estabilidade que restringe o espectro do momento quatro ao cone de luz positivo (e seu limite). No entanto, isso não é suficiente para implementar localidade . Para tanto, os axiomas de Wightman possuem operadores dependentes de posição chamados campos quânticos que formam representações covariantes do grupo de Poincaré .

Visto que a teoria quântica de campos sofre de problemas ultravioleta, o valor de um campo em um ponto não é bem definido. Para contornar isso, os axiomas de Wightman introduzem a ideia de manchar uma função de teste para domar as divergências de UV que surgem mesmo em uma teoria de campo livre . Como os axiomas lidam com operadores ilimitados , os domínios dos operadores devem ser especificados.

Os axiomas de Wightman restringem a estrutura causal da teoria ao impor a comutatividade ou a anticomutatividade entre campos separados como espaços.

Eles também postulam a existência de um estado invariante de Poincaré chamado de vácuo e exigem que seja único. Além disso, os axiomas assumem que o vácuo é "cíclico", ou seja, que o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos avaliando os elementos do estado de vácuo da álgebra polinomial gerados pelos operadores de campo borrado é um subconjunto denso de todo o Hilbert espaço.

Por último, há a restrição de causalidade primitiva que afirma que qualquer polinômio nos campos manchados pode ser aproximado arbitrariamente com precisão (ou seja, é o limite de operadores na topologia fraca ) por polinômios em campos manchados sobre funções de teste com suporte em um conjunto aberto em Minkowski espaço cujo fechamento causal é todo o espaço de Minkowski.

Axiomas

W0 (suposições da mecânica quântica relativística)

A mecânica quântica é descrita de acordo com von Neumann ; em particular, os estados puros são dados pelos raios, isto é, os subespaços unidimensionais de algum espaço de Hilbert complexo separável . A seguir, o produto escalar dos vetores espaciais de Hilbert Ψ e Φ será denotado por , e a norma de Ψ será denotada por . A probabilidade de transição entre dois estados puros [Ψ] e [Φ] pode ser definida em termos de representantes do vetor diferente de zero Ψ e Φ para ser

e é independente de quais vetores representativos, Ψ e Φ, são escolhidos.

A teoria da simetria é descrita de acordo com Wigner. Isso é para tirar vantagem da descrição bem-sucedida das partículas relativísticas por Eugene Paul Wigner em seu famoso artigo de 1939. Veja a classificação de Wigner . Wigner postulou que a probabilidade de transição entre os estados é a mesma para todos os observadores relacionados por uma transformação da relatividade especial . De maneira mais geral, ele considerou a afirmação de que uma teoria é invariante sob um grupo G a ser expressa em termos da invariância da probabilidade de transição entre quaisquer dois raios. O depoimento postula que o grupo atua sobre o conjunto de raios, ou seja, sobre o espaço projetivo. Seja ( a , L ) um elemento do grupo Poincaré (o grupo não homogêneo de Lorentz). Assim, a é um quatro-vetor real de Lorentz representando a mudança da origem do espaço-tempo x x - a onde x está no espaço de Minkowski M 4 e L é uma transformação de Lorentz , que pode ser definida como uma transformação linear de quatro- espaço-tempo dimensional que preserva a distância de Lorentz c²t² - x x de todo vetor ( ct , x ). Então a teoria é invariante sob o grupo de Poincaré se para cada raio Ψ do espaço de Hilbert e cada elemento do grupo ( a , L ) é dado um raio transformado Ψ ( a , L ) e a probabilidade de transição é inalterada pela transformação:

O teorema de Wigner diz que, sob estas condições, a transformação de Hilbert no espaço são ou operadores anti-lineares de cadeia linear ou (se, além disso, que preservam a norma, em seguida, eles são unitárias operadores ou antiunitary); o operador de simetria no espaço projetivo dos raios pode ser elevado ao espaço de Hilbert subjacente. Isso sendo feito para cada elemento do grupo ( a , L ), obtemos uma família de operadores unitários ou antiunitários U ( a , L ) em nosso espaço de Hilbert, de modo que o raio Ψ transformado por ( a , L ) é o mesmo que o raio contendo U ( a , L ) ψ. Se restringirmos a atenção a elementos do grupo ligados à identidade, então o caso anti-unitário não ocorre.

Sejam ( a , L ) e ( b , M ) duas transformações de Poincaré, e denotemos seu produto de grupo por ( a , L ). ( B , M ); da interpretação física, vemos que o raio que contém U ( a , L ) [ U ( b , M ) ψ] deve (para qualquer psi) ser o raio que contém U (( a , L ). ( b , M )) ψ (associatividade da operação do grupo). Voltando dos raios para o espaço de Hilbert, esses dois vetores podem diferir por uma fase (e não em norma porque escolhemos operadores unitários), que pode depender dos dois elementos do grupo ( a , L ) e ( b , M ), ou seja, não temos uma representação de um grupo, mas sim uma representação projetiva . Essas fases nem sempre podem ser canceladas redefinindo cada U (a), por exemplo, para partículas de spin ½. Wigner mostrou que o melhor que se pode conseguir para o grupo de Poincaré é

ou seja, a fase é um múltiplo de . Para partículas de spin inteiro (píons, fótons, grávitons ...) pode-se remover o sinal +/− por outras mudanças de fase, mas para representações de spin meio ímpar, não podemos, e o sinal muda descontinuamente conforme avançamos qualquer eixo por um ângulo de 2π. Podemos, entretanto, construir uma representação do grupo de abrangência do grupo Poincaré , denominado SL não homogêneo (2, C ) ; isso tem elementos ( a , A ) onde, como antes, a é um quatro vetores, mas agora A é uma matriz 2 × 2 complexa com determinante unitário. Denotamos os operadores unitários que obtemos por U ( a , A ), e estes nos dão uma representação contínua, unitária e verdadeira em que a coleção de U ( a , A ) obedece à lei de grupo do SL não homogêneo (2, C ) .

Por causa da mudança de sinal sob rotações de 2π, os operadores Hermitianos que se transformam em spin 1/2, 3/2 etc., não podem ser observáveis . Isso aparece como a regra de superseleção de univalência : fases entre os estados de spin 0, 1, 2 etc. e aqueles de spin 1/2, 3/2 etc., não são observáveis. Essa regra é adicionada à não observabilidade da fase geral de um vetor de estado. Sobre os observáveis ​​e estados | v ), obtemos uma representação U ( a , L ) do grupo de Poincaré , em subespaços de spin inteiro, e U ( a , A ) do SL não homogêneo (2, C ) em subespaços de inteiro meio ímpar, que atua de acordo com a seguinte interpretação:

Um conjunto correspondente a U ( a , L ) | v ) deve ser interpretado em relação às coordenadas exatamente da mesma maneira que um conjunto correspondente a | v ) é interpretado em relação às coordenadas x ; e da mesma forma para os subespaços ímpares.

O grupo de traduções espaço-temporais é comutativo e, portanto, os operadores podem ser diagonais simultaneamente. Os geradores destes grupos nos dar quatro operadores de auto-adjuntas , , j = 1, 2, 3, que transforma sob o grupo homogéneo como um vector de quatro, chamado a energia-momento quatro vector.

A segunda parte do axioma zero de Wightman é que a representação U ( a , A ) cumpre a condição espectral - que o espectro simultâneo de energia-momento está contido no cone dianteiro:

...............

A terceira parte do axioma é que existe um estado único, representado por um raio no espaço de Hilbert, que é invariante sob a ação do grupo Poincaré. É chamado de vácuo.

W1 (premissas sobre o domínio e continuidade do campo)

Para cada função de teste f , existe um conjunto de operadores que, juntamente com seus adjuntos, são definidos em um subconjunto denso do espaço de estados de Hilbert, contendo o vácuo. Os campos A são distribuições temperadas com valor de operador . O espaço de estado de Hilbert é medido pelos polinômios de campo que atuam no vácuo (condição de ciclicidade).

W2 (lei de transformação do campo)

Os campos são covariantes sob a ação do grupo Poincaré , e se transformam de acordo com alguma representação S do grupo Lorentz , ou SL (2, C ) se o spin não for inteiro:

W3 (comutatividade local ou causalidade microscópica)

Se os suportes de dois campos são separados como um espaço , então os campos comutam ou anticomutam.

A ciclicidade de um vácuo e a exclusividade de um vácuo são algumas vezes consideradas separadamente. Além disso, existe a propriedade de completude assintótica - que o espaço de estado de Hilbert é medido pelos espaços assintóticos e , aparecendo na matriz S de colisão . A outra propriedade importante da teoria de campo é a lacuna de massa que não é exigida pelos axiomas - o espectro de energia-momento tem uma lacuna entre zero e algum número positivo.

Consequências dos axiomas

A partir desses axiomas, certos teoremas gerais seguem:

  • Teorema CPT - há simetria geral sob mudança de paridade, reversão partícula-antipartícula e inversão de tempo (nenhuma dessas simetrias existe sozinha na natureza, como se constata)
  • Conexão entre spin e estatística - campos que se transformam de acordo com meio spin anticommuto inteiro, enquanto aqueles com spin inteiro comutam (axioma W3) Na verdade, existem detalhes técnicos finos para este teorema. Isso pode ser corrigido usando transformações de Klein . Veja paraestatística . Veja também os fantasmas em BRST .
  • A impossibilidade de comunicação superluminal - se dois observadores são separados como um espaço, então as ações de um observador (incluindo as medições e mudanças no hamiltoniano) não afetam as estatísticas de medição do outro observador.

Arthur Wightman mostrou que as distribuições de valores esperados de vácuo , satisfazendo certo conjunto de propriedades que seguem dos axiomas, são suficientes para reconstruir a teoria de campo - teorema de reconstrução de Wightman , incluindo a existência de um estado de vácuo ; ele não encontrou a condição nos valores de expectativa do vácuo garantindo a singularidade do vácuo; esta condição, a propriedade do cluster , foi encontrada mais tarde por Res Jost , Klaus Hepp , David Ruelle e Othmar Steinmann .

Se a teoria tem uma lacuna de massa , ou seja, não há massas entre 0 e alguma constante maior que zero, então as distribuições de expectativa de vácuo são assintoticamente independentes em regiões distantes.

O teorema de Haag diz que não pode haver imagem de interação - que não podemos usar o espaço Fock de partículas não interagentes como um espaço de Hilbert - no sentido de que identificaríamos espaços de Hilbert por meio de polinômios de campo agindo no vácuo em um determinado momento.

Relação com outras estruturas e conceitos na teoria quântica de campos

A estrutura de Wightman não cobre estados de energia infinitos, como estados de temperatura finitos.

Ao contrário da teoria quântica de campos local , os axiomas de Wightman restringem a estrutura causal da teoria explicitamente ao impor a comutatividade ou a anticomutatividade entre campos separados como espaços, em vez de derivar a estrutura causal como um teorema. Se considerarmos uma generalização dos axiomas de Wightman para dimensões diferentes de 4, este postulado de (anti) comutatividade exclui os anyons e as estatísticas de trança em dimensões inferiores.

O postulado de Wightman de um estado de vácuo único não torna necessariamente os axiomas de Wightman inadequados para o caso de quebra espontânea de simetria porque sempre podemos nos restringir a um setor de superseleção .

A ciclicidade do vácuo exigida pelos axiomas de Wightman significa que eles descrevem apenas o setor de superseleção do vácuo; novamente, isso não é uma grande perda de generalidade. No entanto, essa suposição deixa de fora estados de energia finitos como os solitons que não podem ser gerados por um polinômio de campos manchados por funções de teste porque um soliton, pelo menos de uma perspectiva teórica de campo, é uma estrutura global envolvendo condições de contorno topológicas no infinito.

A estrutura de Wightman não cobre teorias de campo eficazes porque não há limite para quão pequeno o suporte de uma função de teste pode ser. Ou seja, não há escala de corte .

A estrutura de Wightman também não cobre as teorias de calibre . Mesmo nas teorias de calibre Abelianas, as abordagens convencionais começam com um "espaço de Hilbert" com uma norma indefinida (portanto, não é verdadeiramente um espaço de Hilbert, que requer uma norma definida positiva, mas os físicos o chamam de espaço de Hilbert, no entanto) e os estados físicos e físicos operadores pertencem a uma cohomologia . Isso obviamente não é abordado em nenhuma parte da estrutura de Wightman. (No entanto, como mostrado por Schwinger, Christ e Lee, Gribov, Zwanziger, Van Baal, etc., a quantização canônica de teorias de calibre em calibre de Coulomb é possível com um espaço de Hilbert comum, e esta pode ser a maneira de fazê-los cair no aplicabilidade da sistemática do axioma.)

Os axiomas de Wightman podem ser reformulados em termos de um estado denominado funcional de Wightman em uma álgebra de Borchers igual à álgebra tensorial de um espaço de funções de teste.

Existência de teorias que satisfaçam os axiomas

Pode-se generalizar os axiomas de Wightman para dimensões diferentes de 4. Nas dimensões 2 e 3, teorias de interação (isto é, não-livres) que satisfazem os axiomas foram construídas.

Atualmente, não há prova de que os axiomas de Wightman podem ser satisfeitos para teorias de interação na dimensão 4. Em particular, o modelo padrão da física de partículas não tem fundamentos matematicamente rigorosos. Há um prêmio de um milhão de dólares por uma prova de que os axiomas de Wightman podem ser satisfeitos para as teorias de calibre , com a exigência adicional de uma lacuna de massa.

Teorema de reconstrução de Osterwalder-Schrader

Sob certas suposições técnicas, foi demonstrado que um QFT euclidiano pode ser girado por Wick em um QFT Wightman. Veja o teorema de Osterwalder-Schrader . Este teorema é a ferramenta chave para a construção de teorias interativas nas dimensões 2 e 3 que satisfaçam os axiomas de Wightman.

Veja também

Referências

Leitura adicional

  • Arthur Wightman , "o sexto problema de Hilbert: tratamento matemático dos axiomas da física", em FE Browder (ed.): Vol. 28 (parte 1) do Proc. Symp. Pure Math. , Amer. Matemática. Soc., 1976, pp. 241-268.
  • Res Jost , A teoria geral dos campos quantizados , Amer. Matemática. Soc., 1965.