Célula Wigner-Seitz - Wigner–Seitz cell

A célula Wigner-Seitz , nomeada em homenagem a Eugene Wigner e Frederick Seitz , é uma célula primitiva que foi construída aplicando a decomposição de Voronoi a uma estrutura de cristal . É usado no estudo de materiais cristalinos em física do estado sólido .

Célula primitiva de Wigner-Seitz para redes de paralelogramo de diferentes ângulos.

A propriedade única de um cristal é que seus átomos estão dispostos em uma matriz tridimensional regular chamada rede . Todas as propriedades atribuídas aos materiais cristalinos derivam dessa estrutura altamente ordenada. Tal estrutura exibe simetria translacional discreta . Para modelar e estudar tal sistema periódico, é necessário um "identificador" matemático para descrever a simetria e, portanto, tirar conclusões sobre as propriedades do material consequentes a essa simetria. A célula Wigner-Seitz é um meio de conseguir isso.

Uma célula de Wigner-Seitz é um exemplo de célula primitiva , que é uma célula unitária contendo exatamente um ponto de rede. Para qualquer rede, há um número infinito de células primitivas possíveis. No entanto, há apenas uma célula de Wigner-Seitz para qualquer rede. É o local dos pontos no espaço que estão mais próximos desse ponto da rede do que de qualquer um dos outros pontos da rede.

Uma célula de Wigner-Seitz, como qualquer célula primitiva, é um domínio fundamental para a simetria de translação discreta da rede. A célula primitiva da rede recíproca no espaço do momento é chamada de zona de Brillouin .

Visão geral

Fundo

O conceito de decomposição de voronoi foi investigado por Peter Gustav Lejeune Dirichlet , dando origem ao nome de domínio Dirichlet . Outras contribuições foram feitas de Evgraf Fedorov , ( Fedorov paraleloedro ), Georgy Voronoy ( poliedro de Voronoi ) e Paul Niggli ( Wirkungsbereich ).

A aplicação à física da matéria condensada foi proposta pela primeira vez por Eugene Wigner e Frederick Seitz em um artigo de 1933, onde foi usada para resolver a equação de Schrödinger para elétrons livres no sódio elementar . Eles aproximaram a forma da célula de Wigner-Seitz no sódio, que é um octaedro truncado, como uma esfera de igual volume, e resolveram a equação de Schrödinger exatamente usando condições de contorno periódicas , que exigem na superfície da esfera. Um cálculo semelhante, que também levou em consideração a natureza não esférica da célula de Wigner-Seitz, foi realizado posteriormente por John C. Slater . ${\ displaystyle d \ psi / dr = 0}$

Existem apenas cinco poliedros topologicamente distintos que revestem o espaço tridimensional , $ℝ 3$ . Eles são chamados de paraleloedros . Eles são o assunto de interesse matemático, como em dimensões superiores. Esses cinco paraleledros podem ser usados para classificar as redes tridimensionais usando o conceito de plano projetivo, conforme sugerido por John Horton Conway e Neil Sloane . No entanto, enquanto uma classificação topológica considera que qualquer transformação afim leva a uma classe idêntica, uma classificação mais específica leva a 24 classes distintas de poliedros de voronoi com bordas paralelas que dividem o espaço. Por exemplo, o cuboide retangular , o prisma quadrado direito e o cubo pertencem à mesma classe topológica, mas são diferenciados por diferentes proporções de seus lados. Esta classificação dos 24 tipos de poliedros de voronoi para redes Bravais foi estabelecida pela primeira vez por Boris Delaunay .

Definição

A célula de Wigner-Seitz em torno de um ponto da rede é definida como o local dos pontos no espaço que estão mais próximos desse ponto da rede do que de qualquer um dos outros pontos da rede.

Pode ser demonstrado matematicamente que uma célula de Wigner-Seitz é uma célula primitiva . Isso implica que a célula abrange todo o espaço direto sem deixar nenhuma lacuna ou orifício, uma propriedade conhecida como mosaico .

Construindo a célula

Construção de uma célula primitiva Wigner-Seitz.

O conceito matemático geral incorporado em uma célula de Wigner-Seitz é mais comumente chamado de célula de Voronoi , e a partição do plano nessas células para um determinado conjunto de pontos é conhecido como diagrama de Voronoi .

O processo de construção da célula Wigner-Seitz de uma rede hexagonal.

A célula pode ser escolhida escolhendo primeiro um ponto de rede . Depois que um ponto é escolhido, linhas são desenhadas para todos os pontos de rede próximos. No ponto médio de cada linha, outra linha é desenhada normal para cada um do primeiro conjunto de linhas. A menor área delimitada dessa forma é chamada de célula primitiva Wigner-Seitz .

Para uma rede tridimensional, as etapas são análogas, mas na etapa 2, em vez de desenhar linhas perpendiculares, os planos perpendiculares são desenhados no ponto médio das linhas entre os pontos da rede.

Como no caso de todas as células primitivas, toda a área ou espaço dentro da rede pode ser preenchido por células de Wigner-Seitz e não haverá lacunas.

Os pontos de rede próximos são examinados continuamente até que a área ou volume encerrado seja a área ou volume correto para uma célula primitiva . Alternativamente, se os vetores básicos da rede são reduzidos usando a redução da rede, apenas um determinado número de pontos da rede precisa ser usado. Em duas dimensões, apenas os pontos da rede que constituem as 4 células unitárias que compartilham um vértice com a origem precisam ser usados. Em três dimensões, apenas os pontos da rede que constituem as 8 células unitárias que compartilham um vértice com a origem precisam ser usados.

A célula Wigner-Seitz da rede cúbica primitiva é um cubo . Em matemática, é conhecido como favo de mel cúbico .

A célula de Wigner-Seitz da rede cúbica centrada no corpo é um octaedro truncado . Em matemática, é conhecido como favo de mel cúbico bitruncado .

A célula de Wigner-Seitz da rede cúbica centrada na face é um dodecaedro rômbico . Em matemática, é conhecido como o favo de mel dodecaédrico rômbico .

A célula de Wigner-Seitz da rede tetragonal centrada no corpo que tem constantes de rede com é o dodecaedro alongado .

{\ displaystyle c / a> {\ sqrt {2}}}

A célula Wigner-Seitz da estrutura hexagonal primitiva é o prisma hexagonal . Em matemática, é conhecido como favo de mel prismático hexagonal .

A forma da célula Wigner-Seitz para qualquer rede Bravais assume a forma de um dos 24 poliedros de Voronoi. Para especificar restrições adicionais, são os parâmetros da célula unitária e são os vetores básicos. ${\ displaystyle a, b, c, \ alpha, \ beta}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}} _ {1}, {\ vec {a}} _ {2}, {\ vec {a}} _ {3}, {\ vec {a}} _ {4} }$
		Classe topológica (o paraleloedro equivalente afim )
		Octaedro truncado	Dodecaedro alongado	Dodecaedro rômbico	Prisma hexagonal	Cubo
Treliça Bravais	Cúbico primitivo					Algum
	Cúbico centrado no rosto			Algum
	Cúbico centrado no corpo	Algum
	Hexagonal primitivo				Algum
	Romboédrico primitivo	${\ displaystyle \ alpha> 90 ^ {\ circ}}$		${\ displaystyle \ alpha <90 ^ {\ circ}}$
	Tetragonal primitivo					Algum
	Tetragonal centrado no corpo	${\ displaystyle c / a <{\ sqrt {2}}}$	${\ displaystyle c / a> {\ sqrt {2}}}$
	Ortorrômbico primitivo					Algum
	Ortorrômbico centrado na base				Algum
	Ortorrômbico centrado no rosto	Algum
	Ortorrômbico centrado no corpo	${\ displaystyle c ^ {2} <a ^ {2} + b ^ {2}}$	${\ displaystyle c ^ {2}> a ^ {2} + b ^ {2}}$	${\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}$
	Monoclínico primitivo				Algum
	Monoclínico centrado na base	${\ displaystyle a <b}$	${\ displaystyle a> b}$ , ${\ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}> 2ac \ cos {\ beta}}$	${\ displaystyle a> b}$ , ${\ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = 2ac \ cos {\ beta}}$
	Monoclínico centrado na base	${\ displaystyle a> b}$ , ${\ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} <2ac \ cos {\ beta}}$	${\ displaystyle a = b}$
	Triclínico primitivo	${\ displaystyle {\ vec {a}} _ {i} \ cdot {\ vec {a}} _ {j} \ neq 0}$ ${\ displaystyle i, j \ in \ {1,2,3,4 \}}$ Onde ${\ displaystyle i \ neq j}$	${\ displaystyle {\ vec {a}} _ {i} \ cdot {\ vec {a}} _ {j} = 0}$ um tempo	${\ displaystyle {\ vec {a}} _ {i} \ cdot {\ vec {a}} _ {j} = 0 = {\ vec {a}} _ {k} \ cdot {\ vec {a}} _{eu}}$ ${\ displaystyle i, j, k, l \ in \ {1,2,3,4 \}}$ Onde ${\ displaystyle i \ neq j \ neq k \ neq l}$

Redes compostas

Para redes compostas (cristais que têm mais de um vetor em sua base ), cada ponto da rede representa vários átomos. Podemos separar cada célula de Wigner-Seitz em subcélulas por meio de uma decomposição de Voronoi adicional de acordo com o átomo mais próximo, em vez do ponto de rede mais próximo. Por exemplo, a estrutura do cristal de diamante contém uma base de dois átomos. Em diamante, átomos de carbono têm tetraheral sp ³ de ligação , mas uma vez que tetraedros não fazer espaço telha , a decomposição de Voronoi da estrutura de cristal de diamante é realmente o Triakis truncada tetraédrico favo de mel . Outro exemplo é a aplicação da decomposição de Voronoi aos átomos nas fases A15 , que forma a aproximação poliédrica da estrutura de Weaire-Phelan .

Simetria

A célula Wigner-Seitz sempre tem a mesma simetria de ponto que a rede Bravais subjacente . Por exemplo, o cubo , o octaedro truncado e o dodecaedro rômbico têm simetria pontual O _h , uma vez que as respectivas redes Bravais utilizadas para gerá-los pertencem ao sistema de rede cúbica , que possui simetria pontual O _h .

Zona de Brillouin

Na prática, a própria célula de Wigner-Seitz raramente é usada como uma descrição do espaço direto , onde as células unitárias convencionais geralmente são usadas. No entanto, a mesma decomposição é extremamente importante quando aplicada ao espaço recíproco . A célula de Wigner-Seitz no espaço recíproco é chamada de zona de Brillouin , que contém a informação sobre se um material será um condutor , semicondutor ou isolante .

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