Woodin cardinal - Woodin cardinal

Na teoria dos conjuntos , um cardeal Woodin (nomeado em homenagem a W. Hugh Woodin ) é um número cardinal λ tal que para todas as funções

f  : λ → λ

existe um cardinal κ <λ com

{ f (β) | β <κ} ⊆ κ

e uma incorporação elementar

j  : V → M

do universo Von Neumann V em um modelo interno transitivo M com ponto crítico κ e

V _{j (f) (κ)} ⊆ M .

Uma definição equivalente é esta: λ é Woodin se e somente se λ for fortemente inacessível e para todos existe um <λ que é - -forte. ${\ displaystyle A \ subseteq V _ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ lambda _ {A}}$${\ displaystyle <\ lambda}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ lambda _ {A}}$ sendo - meios -novo que para todos os ordinais ct <λ, existe um que é uma incorporação elementar com ponto crítico , , e . (Veja também cardeal forte .) ${\ displaystyle <\ lambda}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle j: V \ to M}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {A}}$${\ displaystyle j (\ lambda _ {A})> \ alpha}$${\ displaystyle V _ {\ alpha} \ subseteq M}$${\ displaystyle j (A) \ cap V _ {\ alpha} = A \ cap V _ {\ alpha}}$

Um cardeal Woodin é precedido por um conjunto estacionário de cardeais mensuráveis e, portanto, é um cardeal Mahlo . No entanto, o primeiro cardeal Woodin não é nem mesmo fracamente compacto .

Consequências

Os cardeais de Woodin são importantes na teoria descritiva dos conjuntos . Por um resultado de Martin e Steel , a existência de infinitos cardinais Woodin implica em determinação projetiva , o que por sua vez implica que todo conjunto projetivo é Lebesgue mensurável , tem a propriedade de Baire (difere de um conjunto aberto por um conjunto escasso , ou seja, um conjunto que é uma união contável de conjuntos densos em lugar nenhum ) e a propriedade de conjunto perfeito (pode ser contada ou contém um subconjunto perfeito ).

A consistência da existência de cardeais de Woodin pode ser comprovada por meio de hipóteses de determinação. Trabalhando em ZF + AD + DC pode-se provar que Woodin está na classe dos conjuntos definíveis ordinalmente. é o primeiro ordinal no qual o continuum não pode ser mapeado por uma sobreposição definível pelo ordinal (ver Θ (teoria dos conjuntos) ). ${\ displaystyle \ Theta _ {0}}$${\ displaystyle \ Theta _ {0}}$

Shelah provou que se a existência de um cardeal Woodin for consistente, então é consistente que o ideal não estacionário em ω ₁ seja -saturado. Woodin também provou a equiconsistência da existência de infinitos cardeais de Woodin e a existência de um ideal denso . ${\ displaystyle \ aleph _ {2}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$

Cardeais Hyper-Woodin

Um cardinal κ é chamado de hiper-Woodin se existe uma medida normal U em κ tal que para cada conjunto S , o conjunto

{λ <κ | λ é <κ- S - forte }

está em U .

λ é <κ-S-forte se e somente se para cada δ <κ houver uma classe transitiva N e uma incorporação elementar

j: V → N

com

λ = crit (j),

j (λ) ≥ δ, e

${\ displaystyle j (S) \ cap H _ {\ delta} = S \ cap H _ {\ delta}}$ .

O nome alude ao resultado clássico de que um cardeal é Woodin se e somente se para cada conjunto S , o conjunto

{λ <κ | λ é <κ- S - forte }

é um conjunto estacionário

A medida U conterá o conjunto de todos os cardeais de Shelah abaixo de κ.

Cardeais fracamente hiper-Woodin

Um cardinal κ é denominado fracamente hiper-Woodin se para cada conjunto S existe uma medida normal U em κ tal que o conjunto {λ <κ | λ é <κ- S -novo} está em U . λ é <κ-S-forte se e somente se para cada δ <κ houver uma classe transitiva N e uma incorporação elementar j: V → N com λ = crit (j), j (λ)> = δ, e ${\ displaystyle j (S) \ cap H _ {\ delta} = S \ cap H _ {\ delta}.}$

O nome alude ao resultado clássico de que um cardeal é Woodin se para cada conjunto S , o conjunto {λ <κ | λ é <κ- S - forte } é estacionário.

A diferença entre cardeais hiperwoodin e cardeais fracamente hiperwoodin é que a escolha de U não depende da escolha do conjunto S para cardeais hiperwoodin.

Notas e referências

Leitura adicional

• Kanamori, Akihiro (2003). The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from their Beginnings (2ª ed.). Springer. ISBN   3-540-00384-3 .
• Para ver as provas dos dois resultados listados nas consequências, consulte o Manual de Teoria dos Conjuntos (Eds. Foreman, Kanamori, Magidor) (para aparecer). Rascunhos de alguns capítulos estão disponíveis.
• Ernest Schimmerling, Woodin cardinals, Shelah cardinals and the Mitchell-Steel core model , Proceedings of the American Mathematical Society 130/11, pp. 3385-3391, 2002, online
• Steel, John R. (outubro de 2007). "O que é um cardeal Woodin?" ( PDF ) . Avisos da American Mathematical Society . 54 (9): 1146–7 . Página visitada em 2008-01-15 .