Ângulos de Euler - Euler angles

Definição geométrica dos ângulos de Euler clássicos. O sistema xyz (fixo) é mostrado em azul, o sistema XYZ (girado) é mostrado em vermelho. A linha de nós ( N ) é mostrada em verde

Os ângulos de Euler são três ângulos introduzidos por Leonhard Euler para descrever a orientação de um corpo rígido em relação a um sistema de coordenadas fixo .

Eles também podem representar a orientação de um quadro de referência móvel em física ou a orientação de uma base geral em álgebra linear tridimensional . As formas alternativas foram posteriormente introduzidas por Peter Guthrie Tait e George H. Bryan, destinadas ao uso na aeronáutica e na engenharia.

Equivalência de rotações encadeadas

Qualquer orientação do alvo pode ser alcançada, a partir de uma orientação de referência conhecida, usando uma sequência específica de rotações intrínsecas, cujas magnitudes são os ângulos de Euler da orientação do alvo. Este exemplo usa a sequência zx′-z ″ .

Os ângulos de Euler podem ser definidos pela geometria elementar ou pela composição das rotações. A definição geométrica demonstra que três rotações elementares compostas (rotações sobre os eixos de um sistema de coordenadas ) são sempre suficientes para atingir qualquer quadro de destino.

As três rotações elementares podem ser extrínsecas (rotações sobre os eixos xyz do sistema de coordenadas original, que se presume que permaneçam imóveis) ou intrínsecas (rotações sobre os eixos do sistema de coordenadas rotativo XYZ , solidárias com o corpo móvel, que muda seu orientação após cada rotação elementar).

Os ângulos de Euler são tipicamente denotados como α , β , γ ou ψ , θ , φ . Diferentes autores podem usar diferentes conjuntos de eixos de rotação para definir ângulos de Euler ou nomes diferentes para os mesmos ângulos. Portanto, qualquer discussão empregando ângulos de Euler deve sempre ser precedida de sua definição.

Sem considerar a possibilidade de utilizar duas convenções diferentes para a definição dos eixos de rotação (intrínsecos ou extrínsecos), existem doze sequências possíveis de eixos de rotação, divididas em dois grupos:

  • Ângulos de Euler adequados ( z - x - z , x - y - x , y - z - y , z - y - z , x - z - x , y - x - y )
  • Ângulos Tait – Bryan ( x - y - z , y - z - x , z - x - y , x - z - y , z - y - x , y - x - z ) .

Os ângulos de Tait – Bryan também são chamados de ângulos de Cardan ; ângulos náuticos ; rumo , elevação e margem ; ou guinar, lançar e rolar . Às vezes, os dois tipos de sequência são chamados de "ângulos de Euler". Nesse caso, as sequências do primeiro grupo são chamadas ângulos de Euler próprios ou clássicos .

Ângulos de Euler adequados

Esquerda: Um conjunto de cardan , mostrando uma sequência de rotação z - x - z . Quadro externo mostrado na base. Eixos internos na cor vermelha. À direita: um diagrama simples mostrando ângulos de Euler semelhantes em um diagrama.

Definição geométrica

Os eixos do quadro original está indicado como x , y , z e os eixos da armação girado como X , Y , Z . A definição geométrica (às vezes referida como estática) começa definindo a linha de nós (N) como a interseção dos planos xy e XY (também pode ser definida como a perpendicular comum aos eixos z e Z e então escrita como o produto vetorial N = z Z ). Usando-o, os três ângulos de Euler podem ser definidos da seguinte forma:

  • (ou ) é o ângulo entre o assinado x eixo e o N eixo ( x -convention - que também poderia ser definida entre Y e N , chamado y -convention).
  • (ou ) é o ângulo entre o eixo z e o eixo Z.
  • (ou ) é o ângulo com sinal entre o eixo N e o eixo X ( convenção x ).

Os ângulos de Euler entre dois quadros de referência são definidos apenas se ambos os quadros tiverem a mesma destreza .

Convenções por rotações intrínsecas

Rotações intrínsecas são rotações elementares que ocorrem sobre os eixos de um sistema de coordenadas XYZ anexado a um corpo em movimento. Portanto, eles mudam sua orientação após cada rotação elemental. O sistema XYZ gira, enquanto xyz é fixo. Começando com XYZ sobreposto a xyz , uma composição de três rotações intrínsecas pode ser usada para atingir qualquer orientação de destino para XYZ .

Os ângulos de Euler podem ser definidos por rotações intrínsecas. O quadro girado XYZ pode ser imaginado como inicialmente alinhado com xyz , antes de sofrer as três rotações elementares representadas pelos ângulos de Euler. Suas orientações sucessivas podem ser denotadas da seguinte forma:

  • x - y - z ou x 0 - y 0 - z 0 (inicial)
  • x ′ - y ′ - z ′, ou x 1 - y 1 - z 1 (após a primeira rotação)
  • x ″ - y ″ - z ″, ou x 2 - y 2 - z 2 (após a segunda rotação)
  • X - Y - Z ou x 3 - y 3 - z 3 (final)

Para a sequência de rotações listada acima, a linha de nós N pode ser simplesmente definida como a orientação de X após a primeira rotação elementar. Portanto, N pode ser simplesmente denotado por x ′. Além disso, uma vez que a terceira rotação elementar ocorre cerca de Z , ele não altera a orientação de Z . Portanto, Z coincide com z ″. Isso nos permite simplificar a definição dos ângulos de Euler da seguinte forma:

  • α (ou ) representa uma rotação em torno do eixo z ,
  • β (ou ) representa uma rotação em torno do eixo x ′,
  • γ (ou ) representa uma rotação em torno do eixo z ″.

Convenções por rotações extrínsecas

Rotações extrínsecas são rotações elementares que ocorrem em torno dos eixos do sistema de coordenadas fixas xyz . O sistema XYZ gira, enquanto xyz é fixo. Começando com XYZ sobreposto a xyz , uma composição de três rotações extrínsecas pode ser usada para atingir qualquer orientação de destino para XYZ . Os ângulos de Euler ou Tait – Bryan ( α , β , γ ) são as amplitudes dessas rotações elementares. Por exemplo, a orientação do alvo pode ser alcançada da seguinte forma (observe a ordem inversa da aplicação do ângulo de Euler):

  • O sistema XYZ gira em torno do eixo z em γ . O eixo X está agora no ângulo γ em relação ao eixo x .
  • O sistema XYZ gira novamente, mas desta vez em torno do eixo x por β . O eixo Z está agora no ângulo β em relação ao eixo z .
  • O sistema XYZ gira uma terceira vez, novamente em torno do eixo z , pelo ângulo α .

Em suma, as três rotações elementares ocorrem em torno de z , x e z . Na verdade, essa sequência é freqüentemente denotada como z - x - z (ou 3-1-3). Conjuntos de eixos de rotação associados a ângulos de Euler e ângulos de Tait – Bryan apropriados são comumente nomeados usando esta notação (veja detalhes acima).

Sinais, faixas e convenções

Os ângulos são comumente definidos de acordo com a regra da mão direita . Ou seja, eles têm valores positivos quando representam uma rotação que aparece no sentido horário ao olhar na direção positiva do eixo, e valores negativos quando a rotação aparece no sentido anti-horário. A convenção oposta (regra da mão esquerda) é adotada com menos frequência.

Sobre os intervalos (usando notação de intervalo ):

  • para α e γ , o intervalo é definido módulo 2 π radianos . Por exemplo, um intervalo válido pode ser [- π ,  π ] .
  • para β , o intervalo cobre π radianos (mas não pode ser considerado módulo  π ). Por exemplo, pode ser [0,  π ] ou [- π / 2,  π / 2] .

Os ângulos α , β e γ são determinados de forma única, exceto no caso singular em que os planos xy e XY são idênticos, ou seja, quando o eixo z e o eixo Z têm direções iguais ou opostas. Na verdade, se o eixo z e o eixo Z são iguais, β  = 0 e apenas ( α  +  γ ) é definido de forma única (não os valores individuais), e, da mesma forma, se o eixo z e o eixo Z são opostos, β  =  π e apenas ( α  -  γ ) é definido exclusivamente (não os valores individuais). Essas ambigüidades são conhecidas como bloqueio de cardan nos aplicativos.

Existem seis possibilidades de escolher os eixos de rotação para os ângulos de Euler adequados. Em todos eles, o primeiro e o terceiro eixo de rotação são iguais. As seis sequências possíveis são:

  1. z 1 - x ′ - z 2 ″ (rotações intrínsecas) ou z 2 - x - z 1 (rotações extrínsecas)
  2. x 1 - y ′ - x 2 ″ (rotações intrínsecas) ou x 2 - y - x 1 (rotações extrínsecas)
  3. y 1 - z ′ - y 2 ″ (rotações intrínsecas) ou y 2 - z - y 1 (rotações extrínsecas)
  4. z 1 - y ′ - z 2 ″ (rotações intrínsecas) ou z 2 - y - z 1 (rotações extrínsecas)
  5. x 1 - z ′ - x 2 ″ (rotações intrínsecas) ou x 2 - z - x 1 (rotações extrínsecas)
  6. y 1 - x ′ - y 2 ″ (rotações intrínsecas) ou y 2 - x - y 1 (rotações extrínsecas)

Precessão, nutação e rotação intrínseca

Movimentos básicos de Euler da Terra. Intrínseco (verde), Precessão (azul) e Nutação (vermelho)

Precessão , nutação e rotação intrínseca (spin) são definidas como os movimentos obtidos pela mudança de um dos ângulos de Euler, deixando os outros dois constantes. Esses movimentos não são expressos em termos da moldura externa, ou em termos da moldura do corpo girado co-móvel, mas em uma mistura. Eles constituem um sistema de eixos mistos de rotação , onde o primeiro ângulo move a linha de nós em torno do eixo externo z , o segundo gira em torno da linha de nós N e o terceiro é uma rotação intrínseca em torno de Z , um eixo fixo no corpo que se move.

A definição estática implica que:

  • α (precessão) representa uma rotação em torno do eixo z ,
  • β (nutação) representa uma rotação em torno do eixo N ou x ′,
  • γ (rotação intrínseca) representa uma rotação em torno do eixo Z ou z ″.

Se β é zero, não há rotação sobre N . Como consequência, Z coincide com z , α e γ representam rotações em torno do mesmo eixo ( z ), e a orientação final pode ser obtida com uma única rotação em torno de z , por um ângulo igual a α + γ .

Como exemplo, considere um top . O topo gira em torno de seu próprio eixo de simetria; isso corresponde à sua rotação intrínseca. Ele também gira em torno de seu eixo central, com seu centro de massa orbitando o eixo central; esta rotação é uma precessão. Finalmente, o topo pode oscilar para cima e para baixo; o ângulo de inclinação é o ângulo de nutação. O mesmo exemplo pode ser visto com os movimentos da terra.

Embora todos os três movimentos possam ser representados por um operador de rotação com coeficientes constantes em algum quadro, eles não podem ser representados por esses operadores todos ao mesmo tempo. Dado um referencial, no máximo um deles será livre de coeficientes. Apenas a precessão pode ser expressa em geral como uma matriz na base do espaço sem dependências dos outros ângulos.

Esses movimentos também se comportam como um conjunto de cardan. Se supormos um conjunto de quadros, capaz de mover cada um em relação ao anterior de acordo com apenas um ângulo, como um gimbal, existirá um quadro externo fixo, um quadro final e dois quadros no meio, que são chamados de "intermediários quadros ". Os dois no meio funcionam como dois anéis de cardan que permitem que o último quadro alcance qualquer orientação no espaço.

Ângulos Tait – Bryan

Ângulos de Tait – Bryan. seqüência z - y ′ - x ″ (rotações intrínsecas; N coincide com y ' ). A sequência de rotação do ângulo é ψ , θ , φ . Observe que, neste caso, ψ > 90 ° e θ é um ângulo negativo.

O segundo tipo de formalismo é chamado de ângulos de Tait – Bryan , em homenagem a Peter Guthrie Tait e George H. Bryan . É a convenção normalmente usada para aplicações aeroespaciais, de modo que a elevação de zero grau representa a atitude horizontal. Os ângulos de Tait – Bryan representam a orientação da aeronave em relação ao quadro mundial. Ao lidar com outros veículos, diferentes convenções de eixos são possíveis.

Definições

Ângulos de Tait – Bryan. sequência z - x ′ - y ″ (rotações intrínsecas; N coincide com x ′)

As definições e notações usadas para ângulos de Tait – Bryan são semelhantes às descritas acima para ângulos de Euler adequados ( definição geométrica , definição de rotação intrínseca , definição de rotação extrínseca ). A única diferença é que os ângulos de Tait-Bryan representam rotações em torno de três eixos distintos (por exemplo, x - y - z , ou x - y ′ - z ″), enquanto ângulos de Euler adequados usam o mesmo eixo para a primeira e a terceira rotações elementares ( por exemplo, z - x - z ou z - x ′ - z ″).

Isso implica uma definição diferente para a linha de nós na construção geométrica. No caso dos ângulos de Euler apropriados, foi definido como a interseção entre dois planos cartesianos homólogos (paralelos quando os ângulos de Euler são zero; por exemplo, xy e XY ). No caso dos ângulos de Tait – Bryan, é definido como a interseção de dois planos não homólogos (perpendicular quando os ângulos de Euler são zero; por exemplo, xy e YZ ).

Convenções

Ângulos de proa, elevação e inclinação ( Z - Y ′ - X ″) para uma aeronave usando eixos ENU a bordo e para a estação de rastreamento no solo. O referencial fixo x - y - z representa tal estação de rastreamento. Os eixos integrados Y e Z não são mostrados. X mostrado na cor verde. Esta figura não respeita as regras RHS: o eixo y deve ser invertido para formar um RHS com ângulos positivos indicados.

As três rotações elementares podem ocorrer sobre os eixos do sistema de coordenadas original, que permanece imóvel ( rotações extrínsecas ), ou sobre os eixos do sistema de coordenadas em rotação, que muda sua orientação após cada rotação elemental ( rotações intrínsecas ).

Existem seis possibilidades de escolher os eixos de rotação para ângulos Tait – Bryan. As seis sequências possíveis são:

  • x - y ′ - z ″ (rotações intrínsecas) ou z - y - x (rotações extrínsecas)
  • y - z ′ - x ″ (rotações intrínsecas) ou x - z - y (rotações extrínsecas)
  • z - x ′ - y ″ (rotações intrínsecas) ou y - x - z (rotações extrínsecas)
  • x - z ′ - y ″ (rotações intrínsecas) ou y - z - x (rotações extrínsecas)
  • z - y ′ - x ″ (rotações intrínsecas) ou x - y - z (rotações extrínsecas): as rotações intrínsecas são conhecidas como: yaw, pitch and roll
  • y - x ′ - z ″ (rotações intrínsecas) ou z - x - y (rotações extrínsecas)

Sinais e faixas

Os eixos principais de uma aeronave estão de acordo com a norma aérea DIN 9300. Observe que as estruturas fixas e móveis devem coincidir com os ângulos zero. Portanto, esta norma forçaria também uma convenção de eixos compatível no sistema de referência

A convenção Tait – Bryan é amplamente utilizada na engenharia com diferentes propósitos. Existem várias convenções de eixos na prática para escolher os eixos móveis e fixos, e essas convenções determinam os sinais dos ângulos. Portanto, os sinais devem ser estudados cuidadosamente em cada caso.

O intervalo para os ângulos ψ e φ cobre 2 π radianos. Para θ, o intervalo cobre π radianos.

Nomes alternativos

Esses ângulos são normalmente tomados como um no referencial externo ( rumo , rumo ), um no referencial móvel intrínseco ( banco ) e um no referencial intermediário, representando uma elevação ou inclinação em relação ao plano horizontal, que é equivalente a a linha de nós para este propósito.

Mnemônicos para lembrar os nomes dos ângulos

Para uma aeronave, eles podem ser obtidos com três rotações em torno de seus eixos principais, se feitos na ordem adequada. Uma guinada obterá o rumo, um passo fornecerá a elevação e um rolo fornecerá o ângulo da inclinação. Portanto, na indústria aeroespacial, às vezes são chamados de yaw, pitch and roll . Observe que isso não funcionará se as rotações forem aplicadas em qualquer outra ordem ou se os eixos do avião começarem em qualquer posição não equivalente ao quadro de referência.

Os ângulos de Tait – Bryan, seguindo a convenção z - y ′ - x ″ (rotações intrínsecas), também são conhecidos como ângulos náuticos , porque podem ser usados ​​para descrever a orientação de um navio ou aeronave, ou ângulos Cardan , segundo o matemático italiano e o físico Gerolamo Cardano , que primeiro descreveu em detalhes a suspensão Cardan e a articulação Cardan .

Ângulos de um determinado quadro

Projeções do vetor Z
Projeções do vetor Y

Um problema comum é encontrar os ângulos de Euler de um determinado quadro. A maneira mais rápida de obtê-los é escrever os três vetores dados como colunas de uma matriz e compará-los com a expressão da matriz teórica (consulte a tabela de matrizes mais adiante). Portanto, os três ângulos de Euler podem ser calculados. No entanto, o mesmo resultado pode ser alcançado evitando a álgebra matricial e usando apenas a geometria elementar. Aqui, apresentamos os resultados para as duas convenções mais comumente usadas: ZXZ para ângulos de Euler adequados e ZYX para Tait – Bryan. Observe que qualquer outra convenção pode ser obtida apenas alterando o nome dos eixos.

Ângulos de Euler adequados

Assumindo um quadro com vetores unitários ( X , Y , Z ) dados por suas coordenadas como no diagrama principal, pode-se ver que:

E desde

para nós temos

Como é a projeção dupla de um vetor unitário,

Existe uma construção semelhante para , projetando-o primeiro sobre o plano definido pelo eixo zea linha de nós. Como o ângulo entre os planos é e , isso leva a:

e, finalmente, usando a função cosseno inversa ,

Ângulos Tait – Bryan

Projeções do eixo x após três rotações de Tait-Bryan. Observe que teta é uma rotação negativa em torno do eixo y ′.

Assumindo um quadro com vetores unitários ( X , Y , Z ) dados por suas coordenadas como neste novo diagrama (observe que o ângulo teta é negativo), pode-se ver que:

Como antes,

para nós temos

de uma forma análoga à anterior:

Procurando por expressões semelhantes às anteriores:

Últimos comentários

Observe que as funções seno e cosseno inversas geram dois valores possíveis para o argumento. Nesta descrição geométrica, apenas uma das soluções é válida. Quando os ângulos de Euler são definidos como uma sequência de rotações, todas as soluções podem ser válidas, mas haverá apenas uma dentro das faixas de ângulos. Isso ocorre porque a sequência de rotações para atingir o quadro de destino não é única se os intervalos não forem definidos anteriormente.

Para fins computacionais, pode ser útil representar os ângulos usando atan2 ( y , x ) . Por exemplo, no caso de ângulos de Euler adequados:

Conversão para outras representações de orientação

Os ângulos de Euler são uma forma de representar as orientações. Existem outros e é possível mudar de e para outras convenções. Três parâmetros são sempre necessários para descrever as orientações em um espaço euclidiano tridimensional . Eles podem ser dados de várias maneiras, os ângulos de Euler sendo um deles; veja gráficos no SO (3) para outros.

As representações de orientação mais utilizadas são as matrizes de rotação , o eixo-ângulo e os quatérnios , também conhecidos como parâmetros de Euler-Rodrigues , que fornecem outro mecanismo de representação das rotações 3D. Isso é equivalente à descrição do grupo unitário especial.

Expressar rotações em 3D como quatérnios unitários em vez de matrizes tem algumas vantagens:

  • A concatenação de rotações é computacionalmente mais rápida e numericamente mais estável.
  • Extrair o ângulo e o eixo de rotação é mais simples.
  • A interpolação é mais direta. Veja por exemplo slerp .
  • Os quaternions não sofrem de bloqueio do cardan como os ângulos de Euler.

Apesar disso, o cálculo da matriz de rotação é o primeiro passo para obter as outras duas representações.

Matriz de rotação

Qualquer orientação pode ser alcançada compondo três rotações elementares, a partir de uma orientação padrão conhecida. Equivalentemente, qualquer matriz de rotação R pode ser decomposta como um produto de três matrizes de rotação elementares. Por exemplo:

é uma matriz de rotação que pode ser usada para representar uma composição de rotações extrínsecas sobre os eixos z , y , x , (nessa ordem), ou uma composição de rotações intrínsecas sobre os eixos x - y ′ - z ″ (nessa ordem). No entanto, tanto a definição das matrizes de rotação elementar X , Y , Z , e sua ordem de multiplicação dependem das escolhas feitas pelo usuário sobre a definição de ambas as matrizes de rotação e ângulos de Euler (ver, por exemplo, Ambiguidades na definição de rotação matrizes ). Infelizmente, diferentes conjuntos de convenções são adotados por usuários em diferentes contextos. A tabela a seguir foi construída de acordo com este conjunto de convenções:

  1. Cada matriz deve operar por vetores de coluna de pré-multiplicação (consulte Ambiguidades na definição de matrizes de rotação )
  2. Cada matriz representa uma rotação ativa (as matrizes compostas e compostas devem atuar nas coordenadas dos vetores definidos no referencial fixo inicial e dar como resultado as coordenadas de um vetor rotacionado definido no mesmo referencial).
  3. Cada matriz deve representar, principalmente, uma composição de rotações intrínsecas (em torno dos eixos do referencial rotativo) e, secundariamente, a composição de três rotações extrínsecas (que corresponde à avaliação construtiva da matriz R pela multiplicação de três matrizes verdadeiramente elementares, em ordem reversa).
  4. Os referenciais destros são adotados e a regra da mão direita é usada para determinar o sinal dos ângulos α , β , γ .

Por uma questão de simplicidade, a seguinte tabela de produtos de matriz usa a seguinte nomenclatura:

  1. 1, 2, 3 representam os ângulos α , β e γ , ou seja, os ângulos correspondentes à primeira, segunda e terceira rotações elementares, respectivamente.
  2. X , Y , Z são as matrizes que representam as rotações elementares em torno dos eixos x , y , z da estrutura fixa (por exemplo, X 1 representa uma rotação em torno de x por um ângulo α ).
  3. s e c representam seno e cosseno (por exemplo, s 1 representa o seno de α ).
Ângulos de Euler adequados Ângulos Tait – Bryan

Esses resultados tabulares estão disponíveis em vários livros didáticos. Para cada coluna, a última linha constitui a convenção mais comumente usada.

Para alterar as fórmulas para rotações passivas (ou encontrar a rotação ativa reversa), transponha as matrizes (então cada matriz transforma as coordenadas iniciais de um vetor que permanece fixo nas coordenadas do mesmo vetor medido no sistema de referência girado; mesmo eixo de rotação, mesmo ângulos, mas agora o sistema de coordenadas gira, em vez do vetor).

A tabela a seguir contém fórmulas para ângulos α , β e γ a partir de elementos de uma matriz de rotação .

Ângulos de Euler adequados Ângulos Tait-Bryan

Propriedades

Os ângulos de Euler formam um gráfico em todo o SO (3) , o grupo ortogonal especial de rotações no espaço 3D. O gráfico é suave, exceto por uma singularidade de estilo de coordenada polar ao longo de β = 0 . Veja os gráficos no SO (3) para um tratamento mais completo.

O espaço de rotações é geralmente chamado de "A hiperesfera de rotações ", embora seja um nome impróprio: o grupo Spin (3) é isométrico à hiperesfera S 3 , mas o espaço de rotação SO (3) é isométrico ao projetivo real espaço RP 3 que é um espaço quociente de 2 vezes da hiperesfera. Essa ambigüidade 2 para 1 é a origem matemática do spin na física .

Uma decomposição de três ângulos semelhante se aplica a SU (2) , o grupo especial unitário de rotações no espaço 2D complexo, com a diferença de que β varia de 0 a 2 π . Eles também são chamados de ângulos de Euler.

A medida de Haar para SO (3) em ângulos de Euler é dada pela parametrização do ângulo de Hopf de SO (3) , onde parametrizar , o espaço dos eixos de rotação.

Por exemplo, para gerar orientações uniformemente aleatórias, sejam α e γ uniformes de 0 a 2 π , sejam z uniformes de -1 a 1, e sejam β = arccos ( z ) .

Álgebra geométrica

Outras propriedades dos ângulos e rotações de Euler em geral podem ser encontradas na álgebra geométrica , uma abstração de nível superior, na qual os quatérnions são uma subálgebra uniforme. A principal ferramenta em álgebra geométrica é o rotor onde o ângulo de rotação , eixo de rotação (vetor unitário) e pseudoescalar (trivector em )

Dimensões superiores

É possível definir parâmetros análogos aos ângulos de Euler em dimensões superiores a três.

O número de graus de liberdade de uma matriz de rotação é sempre menor do que a dimensão da matriz ao quadrado. Ou seja, os elementos de uma matriz de rotação não são totalmente independentes. Por exemplo, a matriz de rotação na dimensão 2 tem apenas um grau de liberdade, uma vez que todos os quatro de seus elementos dependem de um único ângulo de rotação. Uma matriz de rotação na dimensão 3 (que tem nove elementos) tem três graus de liberdade, correspondendo a cada rotação independente, por exemplo por seus três ângulos de Euler ou um quatérnio de magnitude um (unidade).

Em SO (4), a matriz de rotação é definida por dois quatérnios e, portanto, é 6-paramétrica (três graus de liberdade para cada quatérnio). Os 4 × 4 matrizes de rotação tem, portanto, seis dos 16 componentes independentes.

Qualquer conjunto de 6 parâmetros que definem a matriz de rotação pode ser considerado uma extensão dos ângulos de Euler para a dimensão 4.

Em geral, o número de ângulos de euler na dimensão D é quadrático em D; uma vez que qualquer rotação consiste em escolher duas dimensões entre as quais girar, o número total de rotações disponíveis na dimensão é , que para rendimentos .

Formulários

Veículos e quadros móveis

Sua principal vantagem sobre outras descrições de orientação é que elas são mensuráveis ​​diretamente a partir de um cardan montado em um veículo. Como os giroscópios mantêm seu eixo de rotação constante, os ângulos medidos em uma estrutura do giroscópio são equivalentes aos ângulos medidos na estrutura do laboratório. Portanto, os giroscópios são usados ​​para saber a orientação real da espaçonave em movimento, e os ângulos de Euler são mensuráveis ​​diretamente. O ângulo de rotação intrínseco não pode ser lido a partir de um único cardan, então deve haver mais de um cardan em uma espaçonave. Normalmente, existem pelo menos três para redundância. Há também uma relação com o conhecido problema de travamento do cardan da engenharia mecânica  .

Ao estudar corpos rígidos em geral, chamamos as coordenadas de espaço do sistema xyz e as coordenadas de corpo do sistema XYZ . As coordenadas do espaço são tratadas como imóveis, enquanto as coordenadas do corpo são consideradas embutidas no corpo em movimento. Cálculos envolvendo aceleração , aceleração angular , velocidade angular , momento angular e energia cinética são freqüentemente mais fáceis nas coordenadas do corpo, porque então o momento do tensor de inércia não muda com o tempo. Se alguém também diagonaliza o tensor do momento de inércia do corpo rígido (com nove componentes, seis dos quais são independentes), então temos um conjunto de coordenadas (chamados de eixos principais) em que o tensor do momento de inércia tem apenas três componentes.

A velocidade angular de um corpo rígido assume uma forma simples usando ângulos de Euler na estrutura móvel. Além disso, as equações do corpo rígido de Euler são mais simples porque o tensor de inércia é constante nesse referencial.

Textura cristalográfica

Figuras de pólo exibindo textura cristalográfica de gama-TiAl em uma liga alfa2-gama, medida por raios-X de alta energia.

Na ciência dos materiais, a textura cristalográfica (ou orientação preferencial) pode ser descrita usando ângulos de Euler. Na análise de textura, os ângulos de Euler fornecem uma representação matemática da orientação de cristalitos individuais dentro de um material policristalino, permitindo a descrição quantitativa do material macroscópico. A definição mais comum dos ângulos deve-se à Bunge e corresponde à convenção ZXZ . É importante notar, no entanto, que a aplicação geralmente envolve transformações de eixo de grandezas de tensor, ou seja, rotações passivas. Assim, a matriz que corresponde aos ângulos de Bunge Euler é a transposta daquela mostrada na tabela acima.

Outros

Robô industrial operando em uma fundição

Os ângulos de Euler, normalmente na convenção Tait – Bryan, também são usados ​​na robótica para falar sobre os graus de liberdade de um pulso . Eles também são usados ​​no controle eletrônico de estabilidade de maneira semelhante.

Os sistemas de controle de tiro requerem correções nos ângulos de ordem dos canhões (rumo e elevação) para compensar a inclinação do convés (inclinação e rotação). Em sistemas tradicionais, um giroscópio estabilizador com um eixo de rotação vertical corrige a inclinação do convés e estabiliza a mira óptica e a antena do radar. No entanto, os canos das armas apontam em uma direção diferente da linha de visão do alvo, para antecipar o movimento do alvo e a queda do projétil devido à gravidade, entre outros fatores. Os suportes do canhão giram e se inclinam com o plano do convés, mas também exigem estabilização. Os pedidos de armas incluem ângulos calculados a partir dos dados do giroscópio vertical, e esses cálculos envolvem ângulos de Euler.

Os ângulos de Euler também são usados ​​extensivamente na mecânica quântica do momento angular. Na mecânica quântica, as descrições explícitas das representações de SO (3) são muito importantes para os cálculos, e quase todo o trabalho foi feito usando ângulos de Euler. No início da história da mecânica quântica, quando físicos e químicos tinham uma reação fortemente negativa em relação aos métodos teóricos de grupos abstratos (chamados de Gruppenpest ), a confiança nos ângulos de Euler também era essencial para o trabalho teórico básico.

Muitos dispositivos de computação móvel contêm acelerômetros que podem determinar os ângulos de Euler desses dispositivos em relação à atração gravitacional da Terra. Eles são usados ​​em aplicativos como jogos, simulações de nível de bolha e caleidoscópios .

Veja também

Referências

Bibliografia

links externos