Potencial Yukawa - Yukawa potential

Na física das partículas , da matéria atômica e condensada , um potencial Yukawa (também chamado de potencial Coulomb filtrado ) é um potencial nomeado em homenagem ao físico japonês Hideki Yukawa . O potencial é da forma:

${\ displaystyle V _ {\ text {Yukawa}} (r) = - g ^ {2} {\ frac {e ^ {- \ alpha mr}} {r}},}$

onde g é uma constante de escala de magnitude, ou seja, é a amplitude do potencial, m é a massa da partícula, r é a distância radial até a partícula e α é outra constante de escala, então esse é o intervalo aproximado. O potencial está aumentando monotonicamente em r e é negativo, o que implica que a força é atrativa. No sistema SI, a unidade do potencial Yukawa é (1 / metro). ${\ displaystyle r \ approx {\ tfrac {1} {\ alpha m}}}$

O potencial Coulomb do eletromagnetismo é um exemplo de potencial Yukawa com o fator igual a 1, em todos os lugares. Isso pode ser interpretado como a afirmação de que a massa do fóton m é igual a 0. O fóton é o portador de força entre as partículas carregadas em interação. ${\ displaystyle e ^ {- \ alpha mr}}$

Nas interações entre um campo de méson e um campo de férmion , a constante g é igual à constante de acoplamento de calibre entre esses campos. No caso da força nuclear , os férmions seriam um próton e outro próton ou nêutron .

História

Antes do artigo de Hideki Yukawa de 1935, os físicos lutaram para explicar os resultados do modelo atômico de James Chadwick , que consistia em prótons e nêutrons carregados positivamente dentro de um pequeno núcleo, com um raio da ordem de ^10-14 metros. Os físicos sabiam que forças eletromagnéticas nesses comprimentos fariam com que esses prótons se repelissem e o núcleo se desintegrasse. Assim veio a motivação para explicar melhor as interações entre as partículas elementares. Em 1932, Werner Heisenberg propôs uma interação "Platzwechsel" (migração) entre os nêutrons e prótons dentro do núcleo, na qual nêutrons eram partículas compostas de prótons e elétrons. Esses nêutrons compostos emitiam elétrons, criando uma força atrativa com os prótons, e depois se transformavam em prótons. Quando, em 1933, na Conferência Solvay , Heisenberg propôs sua interação, os físicos suspeitaram que fosse de duas formas:

${\ displaystyle J (r) = ae ^ {- br} \ quad {\ textrm {ou}} \ quad J (r) = ae ^ {- br ^ {2}}}$

devido ao seu curto alcance. No entanto, havia muitos problemas com sua teoria. Ou seja, é impossível para um elétron de spin1/2 e um próton de spin 1/2 para somar ao spin do nêutron de 1/2. A maneira como Heisenberg tratou esse problema seguiria para formar as idéias de isospin .

A ideia de Heisenberg de uma interação de troca (em vez de uma força Coulombic) entre as partículas dentro do núcleo levou Fermi a formular suas ideias sobre o decaimento beta em 1934. A interação nêutron-próton de Fermi não foi baseada na "migração" de nêutrons e prótons entre cada um de outros. Em vez disso, Fermi propôs a emissão e absorção de duas partículas de luz: o neutrino e o elétron, em vez de apenas o elétron (como na teoria de Heisenberg). Enquanto a interação de Fermi resolveu a questão da conservação do momento linear e angular, os físicos soviéticos Igor Tamm e Dmitri Ivaneko demonstraram que a força associada ao neutrino e à emissão de elétrons não era forte o suficiente para ligar os prótons e nêutrons no núcleo.

Em seu artigo de fevereiro de 1935, Hideki Yukawa combina a ideia da interação de força de curto alcance de Heisenberg e a ideia de Fermi de uma partícula de troca para corrigir o problema da interação nêutron-próton. Ele deduziu um potencial que inclui um termo de decaimento exponencial ( ) e um termo eletromagnético ( ). Em analogia à teoria quântica de campos , Yukawa sabia que o potencial e seu campo correspondente devem ser o resultado de uma partícula de troca. No caso do QED , essa partícula de troca era um fóton de massa 0. No caso de Yukawa, a partícula de troca tinha alguma massa, que estava relacionada à faixa de interação (dada por ). Como o alcance da força nuclear era conhecido, Yukawa usou sua equação para prever a massa da partícula mediadora como cerca de 200 vezes a massa do elétron. Os físicos chamam essa partícula de " meson " , pois sua massa está no meio do próton e do elétron. O méson de Yukawa foi encontrado em 1947 e ficou conhecido como píon . ${\ displaystyle e ^ {- \ alpha mr}}$${\ displaystyle 1 / r}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ alpha m}}}$

Relação com o potencial de Coulomb

Figura 1: Uma comparação dos potenciais de Yukawa onde g = 1 e com vários valores para m .

Figura 2: Uma comparação de "longo alcance" das forças dos potenciais de Yukawa e Coulomb onde g = 1 .

Se a partícula não tem massa (isto é, m = 0 ), então o potencial Yukawa se reduz a um potencial Coulomb, e a faixa é considerada infinita. Na verdade, temos:

${\ displaystyle m = 0 \ Rightarrow e ^ {- \ alpha mr} = e ^ {0} = 1.}$

Consequentemente, a equação

${\ displaystyle V _ {\ text {Yukawa}} (r) = - g ^ {2} \; {\ frac {e ^ {- \ alpha mr}} {r}}}$

simplifica para a forma do potencial de Coulomb

${\ displaystyle V _ {\ text {Coulomb}} (r) = - g ^ {2} \; {\ frac {1} {r}}.}$

onde definimos a constante de escala como:

${\ displaystyle g ^ {2} = {\ frac {q_ {1} q_ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}}}$

Uma comparação da força potencial de longo alcance para Yukawa e Coulomb é mostrada na Figura 2. Pode-se ver que o potencial Coulomb tem efeito em uma distância maior, enquanto o potencial Yukawa se aproxima de zero rapidamente. No entanto, qualquer potencial Yukawa ou potencial Coulomb é diferente de zero para qualquer r grande .

transformada de Fourier

A maneira mais fácil de entender que o potencial Yukawa está associado a um campo massivo é examinando sua transformada de Fourier . Um tem

${\ displaystyle V (\ mathbf {r}) = {\ frac {-g ^ {2}} {(2 \ pi) ^ {3}}} \ int e ^ {i \ mathbf {k \ cdot r}} {\ frac {4 \ pi} {k ^ {2} + (\ alpha m) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} ^ {3} k}$

onde a integral é realizada sobre todos os valores possíveis dos momentos k de 3 vetores . Desta forma, e definindo o fator de escala para um ,, a fração é vista como o propagador ou a função de Green da equação de Klein-Gordon . ${\ displaystyle \ alpha = 1}$${\ textstyle {\ frac {4 \ pi} {k ^ {2} + m ^ {2}}}}$

Amplitude de Feynman

Troca de partícula única.

O potencial Yukawa pode ser derivado como a amplitude de ordem mais baixa da interação de um par de férmions. A interação de Yukawa acopla o campo de férmions ao campo de mésons com o termo de acoplamento ${\ displaystyle \ psi (x)}$${\ displaystyle \ phi (x)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {int}} (x) = g ~ {\ overline {\ psi}} (x) ~ \ phi (x) ~ \ psi (x) ~.}$

A amplitude de espalhamento para dois férmions, um com momentum inicial e outro com momentum , trocando um meson com momentum k , é dada pelo diagrama de Feynman à direita. ${\ displaystyle p_ {1}}$${\ displaystyle p_ {2}}$

As regras de Feynman para cada vértice associam um fator de g à amplitude; como este diagrama tem dois vértices, a amplitude total terá um fator de . A linha no meio, conectando as duas linhas de férmions, representa a troca de um méson. A regra de Feynman para a troca de partículas é usar o propagador; o propagador de um méson massivo é . Assim, vemos que a amplitude de Feynman para este gráfico nada mais é do que ${\ displaystyle g ^ {2}}$${\ textstyle {\ frac {-4 \ pi} {~ k ^ {2} + m ^ {2} ~}}}$

${\ displaystyle V (\ mathbf {k}) = - g ^ {2} {\ frac {4 \ pi} {k ^ {2} + m ^ {2}}} ~.}$

Na seção anterior, esta é vista como a transformada de Fourier do potencial Yukawa.

Valores próprios da equação de Schrödinger

A equação de Schrödinger radial com potencial de Yukawa pode ser resolvida perturbativamente. Usando a equação de Schrödinger radial no formulário

${\ displaystyle \ left [{\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} r ^ {2}}} + k ^ {2} - {\ frac {\ ell (\ ell + 1)} {r ^ {2}}} - V (r) \ right] \ Psi \ left (\ ell, k; \, r \ right) = 0,}$

e o potencial Yukawa na forma de expansão de energia

${\ displaystyle V (r) = \ sum _ {j = -1} ^ {\ infty} M_ {j + 1} \, (- r) ^ {j},}$

e fixando , obtém-se para o momento angular a expressão ${\ displaystyle K = jk}$${\ displaystyle \ ell}$

${\ displaystyle \ ell + n + 1 = - {\ frac {\, \ Delta _ {n} (K) \,} {2K}}}$

para onde ${\ displaystyle | K | \ to \ infty}$

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ Delta _ {n} (K) = M_ {0} - {\ frac {1} {\, 2K ^ {2} \,}} {\ Bigl [} \, n (n + 1) \, M_ {2} + M_ {0} \, M_ {1} \, {\ Bigr]} - {\ frac {\, 2n + 1 \,} {4K ^ {3}} } \, M_ {0} \, M_ {2} ~ + \\ & \ qquad \ qquad \ quad + {\ frac {1} {\, 8K ^ {4} \,}} \, {\ Bigl [} \, 3 (n-1) n (n + 1) (n + 2) \, M_ {4} +2 (3n ^ {2} + 3n-1) \, M_ {3} \, M_ {0} ~ + \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad ~ + ~ 6n (n + 1) \, M_ {2} \, M_ {1} +2 \, M_ {2} \, M_ {0} ^ {2} + 3M_ {1} ^ {2} \, M_ {0} \, {\ Bigr]} ~ + \\ & \ qquad \ qquad \ quad + {\ frac {\, 2n + 1 \,} {\, ​​8K ^ {5} \,}} \, {\ Bigl [} \, 3 (n ^ {2} + n-1) \, M_ {4} \, M_ {0} +3 \, M_ {3} \, M_ {0} ^ {2} + n (n + 1) \, M_ {2} ^ {2} +4 \, M_ {2} \, M_ {1} \, M_ {0} \, {\ Bigr]} ~ + \\ & \ qquad \ qquad \ quad + ~ \ operatorname {\ mathcal {O}} {\ Bigl (} \, {\ frac {1} {\, K ^ {7} \,}} \, {\ Bigr)} ~. \ End {alinhado}}}$

Definindo todos os coeficientes exceto iguais a zero, obtém-se a expressão bem conhecida para o autovalor de Schrödinger para o potencial de Coulomb, e o número quântico radial é um número inteiro positivo ou zero como consequência das condições de contorno em que as funções de onda do potencial de Coulomb tem que satisfazer. No caso do potencial Yukawa, a imposição de condições de contorno é mais complicada. Assim, no caso de Yukawa, é apenas uma aproximação e o parâmetro que substitui o inteiro n é realmente uma expansão assintótica como aquela acima, com a primeira aproximação do valor inteiro do caso de Coulomb correspondente. A expansão acima para o momento angular orbital ou trajetória de Regge pode ser revertida para obter os autovalores de energia ou de forma equivalente . Obtém-se: ${\ displaystyle M_ {j}}$${\ displaystyle M_ {0}}$${\ displaystyle \, n \,}$${\ displaystyle \ nu = n}$${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle \ ell (K)}$${\ displaystyle {\ bigl |} K {\ bigr |} ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} & {\ bigl |} K {\ bigr |} ^ {2} ~ = ~ -M_ {1} ~ + ~ {\ frac {1} {\, 4 (\ ell + n + 1) ^ {2} \,}} \, {\ biggl \ {} \; M_ {0} ^ {2} -4n (n + 1) (\ ell + n + 1) ^ {2} \ , M_ {2} \, M_ {0} +4 (2n + 1) (\ ell + n + 1) ^ {2} {\ frac {M_ {2}} {\; M_ {0} \,}} ~ + \\ & \ quad + ~ 4 {\ frac {\; (\ ell + n + 1) ^ {4} \,} {M_ {0} ^ {3}}} \, {\ Bigl [} \ , 3 (n-1) n (n + 1) (n + 2 + 3) \, M_ {4} \, M_ {0} ~ + \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad - ~ 3n ^ {2} (n + 1) ^ {2} \, M_ {2} ^ {2} +2 (3n ^ {2} + 3n-1) \, M_ {3} \, M_ {0} ^ {2} +2 \, M_ {2} \, M_ {0} ^ {3} \, {\ Bigr]} ~ + \\ & \ quad - ~ 24 {\ frac {\, (2n + 1) (\ ell + n + 1) ^ {5} \,} {M_ {0} ^ {4}}} \, {\ Bigl [} \, (n ^ {2} + n-1) \, M_ { 0} \, M_ {4} + M_ {0} ^ {3} \, M_ {3} -n (n + 1) \, M_ {2} ^ {2} \, {\ Bigr]} ~ + \ \ & \ quad - ~ 4 \, {\ frac {\, (\ ell + n + 1) ^ {6} \,} {M_ {0} ^ {7}}} \, {\ Bigl [} ~ 10 (n-2) (n-1) n (n + 1) (n + 2) (n + 3) \, M_ {6} \, M_ {0} ^ {2} ~ + \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad + ~ 4 \, M_ {3} \, M_ {0} ^ {5} +2 {\ Bigl (} \, 5n (n + 1) (3n ^ {2} + 3n-10) +12 \, {\ Bigr)} \, M_ {5} \, M_ {0} ^ {3} ~ + \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad + ~ 2 (6n ^ {2} + 6n- 11) \, M_ {4} \, M_ {0} ^ {4} +2 (9n ^ {2} + 9n-1) \, M_ {2} ^ {2} \, M_ {0} ^ {3 } ~ + \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad - ~ 10n (n + 1) (3n ^ {2} + 3n + 2) \, M_ {3} \, M_ {2} \, M_ {0} ^ {2} + 20n ^ {3} (n + 1) ^ {3} \, M_ {2} ^ {3} ~ + \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad - ~ 30 (n-1) n ^ {2} (n + 1) ^ {2} (n + 2) \, M_ {4} \, M_ {2} \, M_ {0} \, {\ Bigr]} \ quad + \ quad \ cdots {\ biggr \}} \ quad. \ End {alinhado}}}$

A expansão assintótica acima do momento angular em potências descendentes de também pode ser derivada com o método WKB . Nesse caso, no entanto, como no caso do potencial de Coulomb, a expressão no termo centrífugo da equação de Schrödinger deve ser substituída por , como foi argumentado originalmente por Langer, a razão sendo que a singularidade é muito forte para uma aplicação inalterada do método WKB . Que esse raciocínio está correto segue da derivação WKB do resultado correto no caso Coulomb (com a correção de Langer ), e mesmo da expansão acima no caso Yukawa com aproximações WKB de ordem superior. ${\ displaystyle \ ell (K)}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ ell (\ ell +1)}$${\ displaystyle \ left (\ ell + {\ tfrac {1} {2}} \ right) ^ {2}}$

Corte transversal

Podemos calcular a seção transversal diferencial entre um próton ou nêutron e o píon usando o potencial de Yukawa. Usamos a aproximação de Born , que nos diz que, em um potencial esférico simétrico, podemos aproximar a função de onda espalhada de saída como a soma da função de onda plana de entrada e uma pequena perturbação:

${\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}}) \ approx A \ left [(e ^ {ipr}) + {\ frac {e ^ {ipr}} {r}} f (\ theta) \ right] }$

onde está o momento de entrada da partícula. A função é dada por: ${\ displaystyle {\ vec {p}} = p {\ hat {z}}}$${\ displaystyle f (\ theta)}$

${\ displaystyle f (\ theta) = {\ frac {-2 \ mu} {\ hbar ^ {2} \ left | {\ vec {p}} - {\ vec {p}} '\ right |}} \ , \ int _ {0} ^ {\ infty} r \, V (r) \, \ sin \ left (\ left | {\ vec {p}} - {\ vec {p}} '\ right | r \ direita) ~ \ mathrm {d} r}$

onde é o momento espalhado de saída da partícula e é a massa das partículas que entram (não deve ser confundida com a massa do píon). Calculamos conectando : ${\ displaystyle {\ vec {p}} '= p {\ hat {r}}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle m,}$${\ displaystyle f (\ theta)}$${\ displaystyle V _ {\ text {Yukawa}}}$

${\ displaystyle f (\ theta) = {\ frac {2 \ mu} {\ hbar ^ {2} \ left | {\ vec {p}} - {\ vec {p}} '\ right |}} \, g ^ {2} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ alpha mr} \, \ sin \ left (\ left | {\ vec {p}} - {\ vec {p}} ' \ right | \, r \ right) \, \ mathrm {d} r}$

Avaliar a integral dá

${\ displaystyle f (\ theta) = {\ frac {2 \ mu g ^ {2}} {\ hbar ^ {2} \, \ left [(\ alpha m) ^ {2} + \ left | {\ vec {p}} - {\ vec {p}} '\ right | ^ {2} \ right]}}}$

A conservação de energia implica

${\ displaystyle {\ bigl |} {\ vec {p}} {\ bigr |} = {\ bigl |} {\ vec {p}} '{\ bigr |} = p ~}$

de modo a

${\ displaystyle \ left | {\ vec {p}} - {\ vec {p}} '\ right | = 2 \, p \, \ sin \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ theta \ direita) ~}$

Conectando, obtemos:

${\ displaystyle f (\ theta) = {\ frac {2 \ mu g ^ {2}} {\ hbar ^ {2} \ left [(\ alpha m) ^ {2} +4 \, p ^ {2} \, \ sin ^ {2} \ left ({{\ frac {1} {2}} \ theta} \ right) \ right]}}}$

Assim, obtemos uma seção transversal diferencial de:

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ sigma} {\ mathrm {d} \ Omega}} = \ left | f (\ theta) \ right | ^ {2} = {\ frac {4 \ mu g ^ {4}} {\ hbar ^ {4} \ \ left [(\ alpha m) ^ {2} + 4p ^ {2} \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {1} {2}} \ theta \ right) \ right] ^ {2}}}}$

Integrando, a seção transversal total é:

${\ displaystyle \ sigma = \ int {\ frac {\ mathrm {d} \ sigma} {\ mathrm {d} \ Omega}} \ mathrm {d} \ Omega = {\ frac {4 \ mu g ^ {4} } {\ hbar ^ {4}}} \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {2 \ pi \ sin (\ theta) \ mathrm {d} \ theta} {\ left [(\ alpha m ) ^ {2} + 4p ^ {2} \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {1} {2}} \ theta \ right) \ right] ^ {2}}} = {\ frac {4 \ mu g ^ {4}} {\ hbar ^ {4}}} {\ frac {4 \ pi} {(\ alpha m) ^ {2} \ left [(\ alpha m) ^ {2} + 4p ^ {2} \ right]}}}$

Veja também

• Interação Yukawa
• Equação de Poisson rastreada
• Potencial de Bessel

Referências

Fontes

• Brown, GE ; Jackson, AD (1976). The Nucleon-Nucleon Interaction . Amsterdã: Publicação do Norte da Holanda. ISBN 0-7204-0335-9.