Topologia Zariski - Zariski topology

Na topologia de Zariski no plano afim , este gráfico de um polinômio é fechado.

Em geometria algébrica e álgebra comutativa , a topologia de Zariski é uma topologia que é definida principalmente por seus conjuntos fechados . É muito diferente das topologias comumente usadas na análise real ou complexa ; em particular, não é Hausdorff . Essa topologia foi introduzida principalmente por Oscar Zariski e posteriormente generalizada para tornar o conjunto de ideais primos de um anel comutativo um espaço topológico, denominado espectro do anel.

A topologia Zariski permite que ferramentas da topologia sejam usadas para estudar variedades algébricas, mesmo quando o campo subjacente não é um campo topológico . Esta é uma das idéias básicas da teoria dos esquemas , que permite construir variedades algébricas gerais, colando variedades afins de uma forma semelhante à da teoria das variedades , onde variedades são construídas pela colagem de gráficos , que são subconjuntos abertos de afins reais espaços .

A topologia Zariski de uma variedade algébrica é a topologia cujos conjuntos fechados são os subconjuntos algébricos da variedade. No caso de uma variedade algébrica sobre os números complexos , a topologia de Zariski é, portanto, mais grosseira do que a topologia usual, já que todo conjunto algébrico é fechado para a topologia usual.

A generalização da topologia de Zariski para o conjunto de ideais primos de um anel comutativo segue do Nullstellensatz de Hilbert , que estabelece uma correspondência bijetiva entre os pontos de uma variedade afim definida sobre um campo algébricamente fechado e os ideais máximos do anel de suas funções regulares . Isso sugere definir a topologia de Zariski no conjunto dos ideais máximos de um anel comutativo como a topologia tal que um conjunto de ideais máximos é fechado se e somente se for o conjunto de todos os ideais máximos que contêm um dado ideal. Outra ideia básica da teoria dos esquemas de Grothendieck é considerar como pontos , não apenas os pontos usuais correspondentes aos ideais máximos, mas também todas as variedades algébricas (irredutíveis), que correspondem aos ideais primos. Assim, a topologia de Zariski no conjunto de ideais primos (espectro) de um anel comutativo é a topologia tal que um conjunto de ideais primos é fechado se e somente se for o conjunto de todos os ideais primos que contenham um ideal fixo.

Topologia de variedades de Zariski

Na geometria algébrica clássica (isto é, a parte da geometria algébrica na qual não se usam esquemas , que foram introduzidos por Grothendieck por volta de 1960), a topologia de Zariski é definida em variedades algébricas . A topologia Zariski, definida nos pontos da variedade, é a topologia tal que os conjuntos fechados são os subconjuntos algébricos da variedade. Como as variedades algébricas mais elementares são variedades afins e projetivas , é útil tornar esta definição mais explícita em ambos os casos. Assumimos que estamos trabalhando sobre um campo fixo algebricamente fechado k (na geometria clássica k quase sempre são os números complexos ).

Variedades afins

Primeiro, definimos a topologia no espaço afim formado pelas n- duplas de elementos de k . A topologia é definida especificando seus conjuntos fechados, ao invés de seus conjuntos abertos, e estes são considerados simplesmente como todos os conjuntos algébricos em. Ou seja, os conjuntos fechados são aqueles da forma

onde S é qualquer conjunto de polinômios em n variáveis ​​sobre k . É uma verificação direta para mostrar que:

  • V ( S ) = V (( S )), onde ( S ) é o ideal gerado pelos elementos de S ;
  • Para quaisquer dois ideais de polinômios I , J , temos

Segue-se que uniões finitas e interseções arbitrárias dos conjuntos V ( S ) também são desta forma, de modo que esses conjuntos formam os conjuntos fechados de uma topologia (equivalentemente, seus complementos, denotados D ( S ) e chamados de conjuntos abertos principais , formam a própria topologia). Esta é a topologia Zariski em

Se X for um conjunto algébrico afim (irredutível ou não), então a topologia de Zariski nele é definida simplesmente para ser a topologia do subespaço induzida por sua inclusão em algum Equivalente, pode ser verificado que:

  • Os elementos do anel de coordenada afim

atuam como funções em X da mesma forma que os elementos de atuam como funções em ; aqui, I (X) é o ideal de todos os polinômios fuga em X .

  • Para qualquer conjunto de polinômios S , seja T o conjunto de suas imagens em A (X) . Então, o subconjunto de X

(essas notações não são padrão) é igual à interseção com X de V (S) .

Isso estabelece que a equação acima, claramente uma generalização da anterior, define a topologia de Zariski em qualquer variedade afim.

Variedades projetivas

Lembre-se de que o espaço projetivo n- dimensional é definido como o conjunto de classes de equivalência de pontos diferentes de zero em identificando dois pontos que diferem por um múltiplo escalar em k . Os elementos do anel polinomial não são funções ativadas porque qualquer ponto tem muitos representantes que produzem valores diferentes em um polinômio; entretanto, para polinômios homogêneos, a condição de ter valor zero ou diferente de zero em qualquer ponto projetivo dado é bem definida, uma vez que os múltiplos fatores escalares saem do polinômio. Portanto, se S é qualquer conjunto de polinômios homogêneos, podemos falar razoavelmente de

Os mesmos fatos acima podem ser estabelecidos para esses conjuntos, exceto que a palavra "ideal" deve ser substituída pela frase " ideal homogêneo ", de modo que o V ( S ), para conjuntos S de polinômios homogêneos, defina uma topologia em As acima, os complementos desses conjuntos são denotados D ( S ) ou, se houver probabilidade de confusão, D ′ ( S ).

A topologia projetiva Zariski é definida para conjuntos algébricos projetivos assim como a afim é definida para conjuntos algébricos afins, tomando a topologia de subespaço. Da mesma forma, pode-se mostrar que esta topologia é definida intrinsecamente por conjuntos de elementos do anel de coordenadas projetivas, pela mesma fórmula acima.

Propriedades

Um fato muito útil sobre essas topologias é que podemos exibir uma base para elas consistindo de elementos particularmente simples, ou seja, o D ( f ) para polinômios individuais (ou para variedades projetivas, polinômios homogêneos) f . De fato, que estes formam uma base segue a fórmula para a interseção de dois conjuntos fechados de Zariski dada acima (aplique-a repetidamente aos principais ideais gerados pelos geradores de ( S )). Eles são chamados de conjuntos abertos distintos ou básicos .

Pelo teorema de base de Hilbert e algumas propriedades elementares dos anéis Noetherianos , todo anel coordenado afim ou projetivo é Noetheriano. Como consequência, os espaços afins ou projetivos com a topologia de Zariski são espaços topológicos Noetherianos , o que implica que qualquer subconjunto fechado desses espaços é compacto .

No entanto, exceto para conjuntos algébricos finitos, nenhum conjunto algébrico é um espaço de Hausdorff . Na antiga literatura topológica, "compacto" era considerado como incluindo a propriedade de Hausdorff, e essa convenção ainda é honrada na geometria algébrica; portanto, compactação no sentido moderno é chamada de "quase compactação" na geometria algébrica. No entanto, uma vez que cada ponto ( a 1 , ..., a n ) é o conjunto zero dos polinômios x 1 - a 1 , ..., x n - a n , os pontos são fechados e, portanto, cada variedade satisfaz o T 1 axioma .

Todo mapa regular de variedades é contínuo na topologia Zariski. Na verdade, a topologia Zariski é a topologia mais fraca (com o menor número de conjuntos abertos) em que isso é verdadeiro e em que os pontos são fechados. Isso é facilmente verificado observando-se que os conjuntos fechados de Zariski são simplesmente as interseções das imagens inversas de 0 pelas funções polinomiais, consideradas como mapas regulares em

Espectro de um anel

Na geometria algébrica moderna, uma variedade algébrica é freqüentemente representada por seu esquema associado , que é um espaço topológico (equipado com estruturas adicionais) que é localmente homeomórfico ao espectro de um anel . O espectro de um anel comutativo A , denotado Spec ( A ) , é o conjunto dos ideais primos de A , equipado com a topologia de Zariski , para a qual os conjuntos fechados são os conjuntos

onde eu é um ideal.

Para ver a conexão com a imagem clássica, observe que para qualquer conjunto S de polinômios (sobre um campo algebraicamente fechado), segue do Nullstellensatz de Hilbert que os pontos de V ( S ) (no antigo sentido) são exatamente as tuplas ( a 1 , ..., a n ) de forma que o ideal gerado pelos polinômios x 1 - a 1 , ..., x n - a n contenha S ; além disso, esses são ideais máximos e, para o Nullstellensatz "fraco", um ideal de qualquer anel coordenado afim é máximo se e somente se for dessa forma. Assim, V ( S ) é "o mesmo que" os ideais máximas contendo S . A inovação de Grothendieck ao definir Spec foi substituir os ideais máximos por todos os ideais principais; nesta formulação é natural simplesmente generalizar esta observação para a definição de um conjunto fechado no espectro de um anel.

Outra maneira, talvez mais semelhante ao original, de interpretar a definição moderna é perceber que os elementos de A podem realmente ser pensados ​​como funções nos ideais primários de A ; ou seja, como as funções em Spec Uma . Simplesmente, qualquer ideal primo P tem um campo de resíduo correspondente , que é o campo de frações do quociente A / P , e qualquer elemento de A tem um reflexo neste campo de resíduo. Além disso, os elementos que são, na verdade, em P são precisamente aquelas cujo reflexo desaparece em P . Portanto, se pensarmos no mapa, associado a qualquer elemento a de A :

("avaliação de a "), que atribui a cada ponto seu reflexo no campo residual ali, como uma função na Spec A (cujos valores, reconhecidamente, estão em campos diferentes em pontos diferentes), então temos

De maneira mais geral, V ( I ) para qualquer ideal I é o conjunto comum no qual todas as "funções" em I desaparecem, o que é formalmente semelhante à definição clássica. Na verdade, eles concordam no sentido de que quando A é o anel de polinômios sobre algum campo algebricamente fechado k , os ideais máximos de A são (como discutido no parágrafo anterior) identificados com n -tuplos de elementos de k , seus campos residuais são apenas k , e os mapas de "avaliação" são, na verdade, avaliações de polinômios nas n- duplas correspondentes . Visto que, como mostrado acima, a definição clássica é essencialmente a definição moderna com apenas ideais máximos considerados, isso mostra que a interpretação da definição moderna como "conjuntos zero de funções" concorda com a definição clássica onde ambas fazem sentido.

Assim como Spec substitui variedades afins, a construção Proj substitui variedades projetivas na geometria algébrica moderna. Assim como no caso clássico, para passar da definição afim para a projetiva, precisamos apenas substituir "ideal" por "ideal homogêneo", embora haja uma complicação envolvendo o "ideal máximo irrelevante", que é discutida no artigo citado.

Exemplos

O espectro de ℤ
  • Spec k , o espectro de um campo k é o espaço topológico com um elemento.
  • Spec ℤ, o espectro dos inteiros tem um ponto fechado para cada número primo p correspondente ao ideal máximo ( p ) ⊂ ℤ, e um ponto genérico não fechado (ou seja, cujo fechamento é todo o espaço) correspondendo ao ideal zero (0). Assim, os subconjuntos fechados de Spec ℤ são precisamente o espaço inteiro e as uniões finitas de pontos fechados.
  • Spec k [ t ], o espectro do anel polinomial sobre um campo k : tal anel polinomial é conhecido por ser um domínio ideal principal e os polinômios irredutíveis são os elementos principais de k [ t ]. Se k é algebricamente fechado , por exemplo o campo de números complexos , um polinômio não constante é irredutível se e somente se for linear, da forma t - a , para algum elemento a de k . Assim, o espectro consiste em um ponto fechado para cada elemento a de k e um ponto genérico, correspondendo ao ideal zero, e o conjunto dos pontos fechados é homeomórfico com a linha afim k equipada com sua topologia Zariski. Por causa desse homeomorfismo, alguns autores chamam de linha afim o espectro de k [ t ]. Se k não for fechado algebricamente, por exemplo o campo dos números reais , a imagem torna-se mais complicada devido à existência de polinômios irredutíveis não lineares. Por exemplo, o espectro de ℝ [ t ] consiste nos pontos fechados ( x - a ), para a em ℝ, os pontos fechados ( x 2 + px + q ) onde p , q estão em ℝ e com discriminante negativo p 2 - 4 q <0 e, finalmente, um ponto genérico (0). Para qualquer campo, os subconjuntos fechados de Spec k [ t ] são uniões finitas de pontos fechados e de todo o espaço. (Isso fica claro a partir da discussão acima para campos algebraicamente fechados. A prova do caso geral requer alguma álgebra comutativa , a saber, o fato de que a dimensão de Krull de k [ t ] é uma - veja o principal teorema ideal de Krull ).

Outras propriedades

A mudança mais dramática na topologia da imagem clássica para a nova é que os pontos não estão mais necessariamente fechados; ao expandir a definição, Grothendieck introduziu pontos genéricos , que são os pontos com fechamento máximo, ou seja, os ideais primos mínimos . Os pontos fechados correspondem aos ideais máximas de Uma . No entanto, o espectro e o espectro projetivo ainda são espaços T 0 : dados dois pontos P , Q , que são ideais primos de A , pelo menos um deles, digamos P , não contém o outro. Então D ( Q ) contém P mas, é claro, não Q .

Assim como na geometria algébrica clássica, qualquer espectro ou espectro projetivo é (quase) compacto, e se o anel em questão é Noetheriano, então o espaço é um espaço Noetheriano. No entanto, esses fatos são contra-intuitivos: normalmente não esperamos que conjuntos abertos, exceto componentes conectados , sejam compactos, e para variedades afins (por exemplo, espaço euclidiano), nem mesmo esperamos que o próprio espaço seja compacto. Este é um exemplo da inadequação geométrica da topologia Zariski. Grothendieck resolveu esse problema definindo a noção de adequação de um esquema (na verdade, de um morfismo de esquemas), que recupera a ideia intuitiva de compactação: Proj é adequado, mas Spec não é.

Veja também

Citações

Referências

  • Dummit, DS; Foote, R. (2004). Abstract Algebra (3 ed.). Wiley. pp. 71-72. ISBN 9780471433347.
  • Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157 , OCLC  13348052
  • Hulek, Klaus (2003). Geometria Algébrica Elementar . AMS . ISBN 978-0-8218-2952-3.
  • Mumford, David (1999) [1967]. O Livro Vermelho das Variedades e Esquemas . Notas de aula em matemática. 1358 (expandido, Inclui Michigan Lectures (1974) sobre Curves and their Jacobians ed.). Berlim, Nova York: Springer-Verlag . doi : 10.1007 / b62130 . ISBN 978-3-540-63293-1. MR  1748380 .
  • Todd Rowland. "Topologia de Zariski" . MathWorld .