Paradoxos de Zenão - Zeno's paradoxes

Os paradoxos de Zenão são um conjunto de problemas filosóficos geralmente pensados ​​como tendo sido inventados pelo filósofo grego Zenão de Eléia (c. 490–430 aC) para apoiar a doutrina de Parmênides de que, ao contrário da evidência de nossos sentidos, a crença na pluralidade e na mudança está errada e, em particular, esse movimento nada mais é do que uma ilusão . É geralmente assumido, com base no Parmênides de Platão (128a – d), que Zenão assumiu o projeto de criar esses paradoxos porque outros filósofos criaram paradoxos contra a visão de Parmênides. Assim, Platão faz Zenão dizer que o propósito dos paradoxos "é mostrar que sua hipótese de que as existências são muitas, se devidamente seguidas, leva a resultados ainda mais absurdos do que a hipótese de que são uma". Platão faz com que Sócrates afirme que Zenão e Parmênides estavam essencialmente argumentando exatamente o mesmo ponto. Alguns dos nove paradoxos sobreviventes de Zenão (preservados na Física de Aristóteles e no comentário de Simplicius sobre ela) são essencialmente equivalentes um ao outro. Aristóteles ofereceu uma refutação de alguns deles. Três dos mais fortes e famosos - o de Aquiles e a tartaruga, o argumento da dicotomia e o de uma flecha em voo - são apresentados em detalhes a seguir.

Os argumentos de Zenão são talvez os primeiros exemplos de um método de prova denominado reductio ad absurdum , também conhecido como prova por contradição . Eles também são creditados como uma fonte do método dialético usado por Sócrates. Alguns matemáticos e historiadores, como Carl Boyer , sustentam que os paradoxos de Zenão são simplesmente problemas matemáticos, para os quais o cálculo moderno fornece uma solução matemática. Alguns filósofos , entretanto, dizem que os paradoxos de Zenão e suas variações (veja a lâmpada de Thomson ) permanecem problemas metafísicos relevantes . As origens dos paradoxos não são claras. Diógenes Laërtius , uma quarta fonte de informações sobre Zenão e seus ensinamentos, citando Favorino , diz que o professor de Zenão, Parmênides, foi o primeiro a introduzir o paradoxo de Aquiles e a tartaruga. Mas em uma passagem posterior, Laërtius atribui a origem do paradoxo a Zenão, explicando que Favorinus discorda.

Paradoxos de movimento

Paradoxo da dicotomia

Aquilo que está em locomoção deve chegar na metade do caminho antes de chegar à meta.

-  conforme recontado por Aristóteles , Física VI: 9, 239b10

Suponha que Atalanta deseje caminhar até o fim de um caminho. Antes que ela possa chegar lá, ela deve estar na metade do caminho. Antes que ela possa chegar na metade do caminho, ela deve chegar a um quarto do caminho. Antes de viajar um quarto, ela deve viajar um oitavo; antes de um oitavo, um décimo sexto; e assim por diante.

A dicotomia

A sequência resultante pode ser representada como:

Esta descrição requer que se complete um número infinito de tarefas, o que Zeno afirma ser uma impossibilidade.

Essa sequência também apresenta um segundo problema, pois não contém a primeira distância a percorrer, pois qualquer possível ( finita ) primeira distância poderia ser dividida pela metade e, portanto, não seria a primeira, afinal. Portanto, a viagem nem pode começar. A conclusão paradoxal, então, seria que a viagem por qualquer distância finita não pode ser concluída nem iniciada e, portanto, todo movimento deve ser uma ilusão .

Esse argumento é chamado de " Dicotomia " porque envolve a divisão repetida de uma distância em duas partes. Um exemplo com o sentido original pode ser encontrado em uma assíntota . É também conhecido como paradoxo do Race Course .

Aquiles e a tartaruga

Aquiles e a tartaruga

Em uma corrida, o corredor mais rápido nunca pode ultrapassar o mais lento, pois o perseguidor deve primeiro chegar ao ponto de onde o perseguido começou, de forma que o mais lento deve sempre manter a liderança.

-  conforme recontado por Aristóteles , Física VI: 9, 239b15

No paradoxo de Aquiles e a tartaruga , Aquiles está em uma corrida a pé com a tartaruga. Aquiles permite à tartaruga uma vantagem de 100 metros, por exemplo. Suponha que cada piloto comece a correr em alguma velocidade constante, um mais rápido que o outro. Após algum tempo finito, Aquiles terá percorrido 100 metros, levando-o ao ponto de partida da tartaruga. Durante esse tempo, a tartaruga percorreu uma distância muito menor, digamos 2 metros. Então Aquiles levará mais algum tempo para percorrer essa distância, quando então a tartaruga terá avançado mais; e então mais tempo ainda para chegar a este terceiro ponto, enquanto a tartaruga avança. Assim, sempre que Aquiles chega a algum lugar onde a tartaruga já esteve, ele ainda tem uma certa distância a percorrer antes mesmo de alcançá-la. Como Aristóteles observou, esse argumento é semelhante à Dicotomia. Falta, no entanto, a conclusão aparente da imobilidade.

Paradoxo de flecha

A flecha

Se tudo quando ocupa um espaço igual está em repouso naquele instante de tempo, e se aquilo que está em locomoção está sempre ocupando tal espaço em qualquer momento, a flecha voadora está, portanto, imóvel naquele instante de tempo e no próximo instante de tempo, mas se ambos os instantes de tempo forem tomados como o mesmo instante ou instante contínuo de tempo, então ele está em movimento.

-  conforme recontado por Aristóteles , Física VI: 9, 239b5

No paradoxo da flecha, Zeno afirma que para que o movimento ocorra, um objeto deve mudar a posição que ocupa. Ele dá um exemplo de uma flecha em vôo. Ele afirma que em qualquer instante (sem duração) de tempo, a flecha não está se movendo para onde está, nem para onde não está. Ele não pode se mover para onde não está, porque nenhum tempo se passa para que ele se mova para lá; não pode se mover para onde está, porque já está lá. Em outras palavras, a cada instante de tempo nenhum movimento ocorre. Se tudo está imóvel a cada instante e o tempo é inteiramente composto de instantes, o movimento é impossível.

Enquanto os dois primeiros paradoxos dividem o espaço, esse paradoxo começa dividindo o tempo - e não em segmentos, mas em pontos.

Três outros paradoxos dados por Aristóteles

Paradoxo do Lugar

De Aristóteles:

Se tudo o que existe tem um lugar, o lugar também terá um lugar, e assim por diante, ad infinitum .

Paradoxo do grão de painço

Descrição do paradoxo do Dicionário de Filosofia de Routledge :

O argumento é que um único grão de painço não faz barulho ao cair, mas mil grãos fazem barulho. Daí mil nadas se tornarem algo, uma conclusão absurda.

Refutação de Aristóteles:

Zenão está errado ao dizer que não há nenhuma parte do painço que não emita som: pois não há razão para que tal parte não deva em nenhum período deixar de mover o ar que todo o alqueire se move ao cair. Na verdade, ele não move por si mesmo nem mesmo uma quantidade de ar como se moveria se essa parte fosse por si mesma: pois nenhuma parte existe além do potencial.

Descrição de Nick Huggett:

Este é um argumento parmenídico de que não se pode confiar em nosso sentido de audição. A resposta de Aristóteles parece ser que mesmo sons inaudíveis podem se somar a um som audível.

As linhas móveis (ou estádio)

As filas móveis

De Aristóteles:

... em relação às duas fileiras de corpos, cada fileira sendo composta por um número igual de corpos de igual tamanho, passando um pelo outro em uma pista de corrida conforme avançam com velocidade igual em direções opostas, a única fileira originalmente ocupando o espaço entre o gol e o ponto médio do percurso e o outro aquele entre o ponto médio e o poste inicial. Isso ... envolve a conclusão de que metade de um determinado tempo é igual ao dobro desse tempo.

Para uma descrição mais ampla dos argumentos de Zenão apresentados por Aristóteles, consulte o comentário de Simplício sobre a física de Aristóteles .

Soluções propostas

Diógenes, o Cínico

De acordo com Simplício , Diógenes , o Cínico , nada disse ao ouvir os argumentos de Zenão, mas se levantou e caminhou, a fim de demonstrar a falsidade das conclusões de Zenão (ver solvitur ambulando ). Para resolver totalmente qualquer um dos paradoxos, no entanto, é preciso mostrar o que há de errado com o argumento, não apenas as conclusões. Ao longo da história, várias soluções foram propostas, entre as primeiras registradas sendo as de Aristóteles e Arquimedes.

Aristóteles

Aristóteles (384 aC-322 aC) observou que, à medida que a distância diminui, o tempo necessário para cobrir essas distâncias também diminui, de modo que o tempo necessário também se torna cada vez menor. Aristóteles também distinguiu "coisas infinitas em relação à divisibilidade" (como uma unidade de espaço que pode ser mentalmente dividida em unidades cada vez menores, embora permanecendo espacialmente iguais) de coisas (ou distâncias) que são infinitas em extensão ("em relação a suas extremidades "). A objeção de Aristóteles ao paradoxo da flecha era que "O tempo não é composto de agoras indivisíveis mais do que qualquer outra magnitude é composta de indivisíveis."

Arquimedes

Antes de 212 aC, Arquimedes havia desenvolvido um método para derivar uma resposta finita para a soma de infinitos termos que ficam progressivamente menores. (Ver: Série geométrica , 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · , A quadratura da parábola .) Seu argumento, aplicando o método da exaustão para provar que a soma infinita em questão é igual à área de um determinado quadrado, é amplamente geométrico, mas bastante rigoroso. A análise de hoje atinge o mesmo resultado, usando limites (ver série convergente ). Esses métodos permitem a construção de soluções com base nas condições estipuladas por Zeno, ou seja, o tempo gasto em cada etapa é geometricamente decrescente.

Tomás de Aquino

Tomás de Aquino , comentando a objeção de Aristóteles, escreveu: "Os instantes não são partes do tempo, pois o tempo não é feito de instantes mais do que uma magnitude é feita de pontos, como já provamos. Portanto, não se segue que uma coisa seja não está em movimento em um determinado momento, apenas porque não está em movimento em nenhum instante daquele tempo. "

Bertrand Russell

Bertrand Russell ofereceu o que é conhecido como a "teoria do movimento at-at". Ela concorda que não pode haver movimento "durante" um instante sem duração e afirma que tudo o que é necessário para o movimento é que a flecha esteja em um ponto em um momento, em outro ponto em outro momento e em pontos apropriados entre esses dois pontos para tempos intermediários. Nesta visão, o movimento é apenas uma mudança de posição ao longo do tempo.

Hermann Weyl

Outra solução proposta é questionar um dos pressupostos que Zenão usou em seus paradoxos (particularmente a Dicotomia), que é que entre quaisquer dois pontos diferentes no espaço (ou tempo), há sempre um outro ponto. Sem essa suposição, há apenas um número finito de distâncias entre dois pontos, portanto, não há sequência infinita de movimentos e o paradoxo é resolvido. Segundo Hermann Weyl , a suposição de que o espaço é feito de unidades finitas e discretas está sujeita a outro problema, dado pelo " argumento da telha " ou "problema da função de distância". De acordo com isso, o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo no espaço discretizado é sempre igual ao comprimento de um dos dois lados, em contradição com a geometria. Jean Paul Van Bendegem argumentou que o argumento da telha pode ser resolvido e que a discretização pode, portanto, remover o paradoxo.

Henri Bergson

Uma conclusão alternativa, proposta por Henri Bergson em seu livro Matter and Memory , de 1896 , é que, embora o caminho seja divisível, o movimento não. Nesse argumento, os instantes no tempo e as magnitudes instantâneas não existem fisicamente. Um objeto em movimento relativo não pode ter uma posição relativa instantânea ou determinada e, portanto, não pode ter seu movimento dissecado fracionariamente.

Peter Lynds

Em 2003, Peter Lynds apresentou um argumento muito semelhante: todos os paradoxos do movimento de Zenão são resolvidos pela conclusão de que os instantes no tempo e as magnitudes instantâneas não existem fisicamente. Lynds argumenta que um objeto em movimento relativo não pode ter uma posição relativa instantânea ou determinada (pois se tivesse, não poderia estar em movimento) e, portanto, não pode ter seu movimento dissecado fracionariamente como se tivesse, como é assumido pelos paradoxos. Para mais informações sobre a incapacidade de saber a velocidade e a localização, consulte o princípio da incerteza de Heisenberg .

Nick Huggett

Nick Huggett argumenta que Zeno está assumindo a conclusão quando diz que os objetos que ocupam o mesmo espaço que ocupam em repouso devem estar em repouso.

Paradoxos nos tempos modernos

Processos infinitos permaneceram teoricamente problemáticos na matemática até o final do século XIX. Com a definição de limite épsilon-delta , Weierstrass e Cauchy desenvolveram uma formulação rigorosa da lógica e do cálculo envolvidos. Esses trabalhos resolveram a matemática envolvendo processos infinitos.

Embora a matemática possa calcular onde e quando o Aquiles em movimento ultrapassará o paradoxo da tartaruga de Zeno, filósofos como Kevin Brown e Moorcroft afirmam que a matemática não aborda o ponto central do argumento de Zenão e que resolver os problemas matemáticos não resolve todos os problemas paradoxos aumentam.

A literatura popular freqüentemente deturpa os argumentos de Zenão. Por exemplo, costuma-se dizer que Zeno argumentou que a soma de um número infinito de termos deve ser infinita - com o resultado de que não apenas o tempo, mas também a distância a ser percorrida se tornam infinitas. No entanto, nenhuma das fontes antigas originais tem Zenão discutindo a soma de qualquer série infinita. Simplicius tem Zenão dizendo "é impossível atravessar um número infinito de coisas em um tempo finito". Isso apresenta o problema de Zenão não em encontrar a soma , mas em terminar uma tarefa com um número infinito de etapas: como alguém pode ir de A a B, se um número infinito de eventos (não instantâneos) podem ser identificados que precisam precede a chegada em B, e não se pode chegar nem mesmo ao início de um "último evento"?

Uma abordagem humorística é oferecida por Tom Stoppard em sua peça Jumpers (1972), em que o protagonista principal, o professor de filosofia George Moore, sugere que, de acordo com o paradoxo de Zenão, São Sebastião , um santo cristão do século III martirizado por um tiro de flecha, morreu de susto.

O debate continua sobre a questão de saber se os paradoxos de Zenão foram ou não resolvidos. Em The History of Mathematics: An Introduction (2010), Burton escreve: "Embora o argumento de Zeno tenha confundido seus contemporâneos, uma explicação satisfatória incorpora uma ideia agora familiar, a noção de uma 'série infinita convergente.'".

Bertrand Russell ofereceu uma "solução" para os paradoxos com base na obra de Georg Cantor , mas Brown conclui: "Dada a história das 'resoluções finais', de Aristóteles em diante, é provavelmente temerário pensar que chegamos ao fim. Pode ser que os argumentos de Zenão em movimento, por causa de sua simplicidade e universalidade, sempre servirão como uma espécie de 'imagem de Rorschach' na qual as pessoas podem projetar suas preocupações fenomenológicas mais fundamentais (se houver). "

Uma consideração filosófica chinesa antiga semelhante

Os antigos filósofos chineses da Escola de Nomes Moista durante o período dos Reinos Combatentes da China (479-221 aC) desenvolveram equivalentes para alguns dos paradoxos de Zenão. O cientista e historiador Sir Joseph Needham , em seu Science and Civilization in China , descreve um antigo paradoxo chinês do livro de lógica sobrevivente da Escola de Nomes Moista que afirma, na escrita chinesa antiga arcaica , "uma vara de um pé, todos os dias tire metade dele, em uma miríade de idades ele não se esgotará. " Vários outros paradoxos dessa escola filosófica (mais precisamente, movimento) são conhecidos, mas sua interpretação moderna é mais especulativa.

Efeito Quantum Zeno

Em 1977, os físicos EC George Sudarshan e B. Misra descobriram que a evolução dinâmica (movimento) de um sistema quântico pode ser dificultada (ou mesmo inibida) através da observação do sistema. Esse efeito é geralmente chamado de "efeito zeno quântico", pois lembra fortemente o paradoxo da flecha de Zenão. Este efeito foi teorizado pela primeira vez em 1958.

Comportamento de Zeno

No campo da verificação e projeto de sistemas híbridos e cronometrados , o comportamento do sistema é denominado Zeno se incluir um número infinito de etapas discretas em uma quantidade finita de tempo. Algumas técnicas de verificação formal excluem esses comportamentos da análise, se eles não forem equivalentes ao comportamento não-Zeno. No projeto de sistemas, esses comportamentos também costumam ser excluídos dos modelos de sistema, uma vez que não podem ser implementados com um controlador digital.

Lewis Carroll e Douglas Hofstadter

O que a tartaruga disse a Aquiles , escrito em 1895 por Lewis Carroll , foi uma tentativa de revelar um paradoxo análogo no reino da lógica pura. Se o argumento de Carroll for válido, a implicação é que os paradoxos do movimento de Zenão não são essencialmente problemas de espaço e tempo, mas vão direto ao cerne do próprio raciocínio. Douglas Hofstadter fez do artigo de Carroll uma peça central de seu livro Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid , escrevendo muitos outros diálogos entre Aquiles e a tartaruga para elucidar seus argumentos. Hofstadter conecta os paradoxos de Zeno ao teorema da incompletude de Gödel em uma tentativa de demonstrar que os problemas levantados por Zeno são generalizados e manifestos na teoria dos sistemas formais, computação e filosofia da mente.

Veja também

Notas

Referências

links externos