Zero de uma função - Zero of a function

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Um gráfico da função para em , com zeros em e marcado em vermelho .

Em matemática , um zero (também às vezes chamado de raiz ) de uma função real -, complexa -, ou geralmente com valor vetorial , é um membro do domínio de tal que desaparece em ; ou seja, a função atinge o valor de 0 em , ou equivalentemente, é a solução para a equação . Um "zero" de uma função é, portanto, um valor de entrada que produz uma saída de 0.

A raiz de um polinômio é um zero da função polinomial correspondente . O teorema fundamental da álgebra mostra que qualquer polinômio diferente de zero tem um número de raízes no máximo igual ao seu grau , e que o número de raízes e o grau são iguais quando se considera as raízes complexas (ou mais geralmente, as raízes em um extensão algebricamente fechada ) contados com suas multiplicidades . Por exemplo, o polinômio de grau dois, definido por

tem as duas raízes e , desde

.

Se a função mapeia números reais em números reais, então seus zeros são as coordenadas dos pontos onde seu gráfico encontra o eixo x . Um nome alternativo para tal ponto neste contexto é um -intercept.

Solução de uma equação

Cada equação no desconhecido pode ser reescrita como

reagrupando todos os termos no lado esquerdo. Segue-se que as soluções de tal equação são exatamente os zeros da função . Em outras palavras, um "zero de uma função" é precisamente uma "solução da equação obtida ao igualar a função a 0", e o estudo de zeros de funções é exatamente o mesmo que o estudo de soluções de equações.

Raízes polinomiais

Todo polinômio real de grau ímpar tem um número ímpar de raízes reais (contando multiplicidades ); da mesma forma, um polinômio real de grau par deve ter um número par de raízes reais. Conseqüentemente, os polinômios ímpares reais devem ter pelo menos uma raiz real (porque o menor número inteiro ímpar é 1), enquanto os polinômios pares podem não ter nenhuma. Este princípio pode ser comprovado por referência ao teorema do valor intermediário : como as funções polinomiais são contínuas , o valor da função deve cruzar zero, no processo de mudança de negativo para positivo ou vice-versa (o que sempre acontece para funções ímpares).

Teorema fundamental da álgebra

O teorema fundamental da álgebra afirma que todo polinômio de grau tem raízes complexas, contadas com suas multiplicidades. As raízes não reais de polinômios com coeficientes reais vêm em pares conjugados . As fórmulas de Vieta relacionam os coeficientes de um polinômio às somas e produtos de suas raízes.

Raízes de computação

O cálculo de raízes de funções, por exemplo funções polinomiais , freqüentemente requer o uso de técnicas especializadas ou de aproximação (por exemplo, o método de Newton ). No entanto, algumas funções polinomiais, incluindo todas aquelas de grau não superior a 4, podem ter todas as suas raízes expressas algebricamente em termos de seus coeficientes (para mais informações, consulte a solução algébrica ).

Zero definido

Em várias áreas da matemática, o conjunto zero de uma função é o conjunto de todos os seus zeros. Mais precisamente, se for uma função com valor real (ou, mais geralmente, uma função que assume valores em algum grupo aditivo ), seu conjunto zero é a imagem inversa de in .

O termo conjunto de zeros é geralmente usado quando há infinitos zeros e eles têm algumas propriedades topológicas não triviais . Por exemplo, um conjunto de nível de uma função é o conjunto zero de . O conjunto cozero de é o complemento do conjunto zero de (ou seja, o subconjunto de em que é diferente de zero).

Formulários

Na geometria algébrica , a primeira definição de uma variedade algébrica é por meio de conjuntos de zero. Especificamente, um conjunto algébrico afim é a interseção dos conjuntos de zero de vários polinômios, em um anel polinomial sobre um campo . Nesse contexto, um conjunto zero é às vezes chamado de locus zero .

Em análise e geometria , qualquer subconjunto fechado de é o conjunto zero de uma função suave definida em todos os . Isso se estende a qualquer variedade lisa como um corolário da paracompactabilidade .

Na geometria diferencial , conjuntos de zero são freqüentemente usados ​​para definir variedades . Um caso especial importante é o caso de uma função suave de a . Se zero é um valor regular de , então o conjunto de zero de é uma variedade suave de dimensão pelo teorema do valor regular .

Por exemplo, a unidade - esfera na é o ponto zero da função real .

Veja também

Referências

Leitura adicional