Símbolo 't Hooft - 't Hooft symbol

O símbolo ' t Hooft η é um símbolo que permite expressar os geradores da álgebra de Lie SU (2) em termos dos geradores da álgebra de Lorentz. O símbolo é uma mistura entre o delta de Kronecker e o símbolo Levi-Civita . Foi apresentado por Gerard 't Hooft . É usado na construção do instanton BPST .

η ^a _μν é o símbolo ' t Hooft :

${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} ^ {a} = {\ begin {cases} \ epsilon ^ {a \ mu \ nu} & \ mu, \ nu = 1,2,3 \\ - \ delta ^ {a \ nu} & \ mu = 4 \\\ delta ^ {a \ mu} & \ nu = 4 \\ 0 & \ mu = \ nu = 4 \ end {casos}}.}$

Em outras palavras, eles são definidos por

( ) ${\ displaystyle a = 1,2,3; ~ \ mu, \ nu = 1,2,3,4; ~ \ epsilon _ {1234} = + 1}$

${\ displaystyle \ eta _ {a \ mu \ nu} = \ epsilon _ {a \ mu \ nu 4} + \ delta _ {a \ mu} \ delta _ {\ nu 4} - \ delta _ {a \ nu } \ delta _ {\ mu 4}}$

${\ displaystyle {\ bar {\ eta}} _ {a \ mu \ nu} = \ epsilon _ {a \ mu \ nu 4} - \ delta _ {a \ mu} \ delta _ {\ nu 4} + \ delta _ {a \ nu} \ delta _ {\ mu 4}}$

onde os últimos são os símbolos anti-self-duais 't Hooft.

Mais explicitamente, esses símbolos são

${\ displaystyle \ eta _ {1 \ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}, \ quad \ eta _ {2 \ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}, \ quad \ eta _ {3 \ mu \} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \ end {bmatrix}},}$

e

${\ displaystyle {\ bar {\ eta}} _ {1 \ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}, \ quad \ bar {\ eta}} _ {2 \ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}, \ quad {\ bar {\ eta}} _ {3 \ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {bmatrix}}.}$

Eles satisfazem as propriedades de auto-dualidade e anti-auto-dualidade:

${\ displaystyle \ eta _ {a \ mu \ nu} = {\ frac {1} {2}} \ epsilon _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} \ eta _ {a \ rho \ sigma} \, \ qquad {\ bar {\ eta}} _ {a \ mu \ nu} = - {\ frac {1} {2}} \ epsilon _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} {\ bar {\ eta}} _ {a \ rho \ sigma} \}$

Algumas outras propriedades são

${\ displaystyle \ epsilon _ {abc} \ eta _ {b \ mu \ nu} \ eta _ {c \ rho \ sigma} = \ delta _ {\ mu \ rho} \ eta _ {a \ nu \ sigma} + \ delta _ {\ nu \ sigma} \ eta _ {a \ mu \ rho} - \ delta _ {\ mu \ sigma} \ eta _ {a \ nu \ rho} - \ delta _ {\ nu \ rho} \ eta _ {a \ mu \ sigma}}$

${\ displaystyle \ eta _ {a \ mu \ nu} \ eta _ {a \ rho \ sigma} = \ delta _ {\ mu \ rho} \ delta _ {\ nu \ sigma} - \ delta _ {\ mu \ sigma} \ delta _ {\ nu \ rho} + \ epsilon _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} \,}$

${\ displaystyle \ eta _ {a \ mu \ rho} \ eta _ {b \ mu \ sigma} = \ delta _ {ab} \ delta _ {\ rho \ sigma} + \ epsilon _ {abc} \ eta _ { c \ rho \ sigma} \,}$

${\ displaystyle \ epsilon _ {\ mu \ nu \ rho \ theta} \ eta _ {a \ sigma \ theta} = \ delta _ {\ sigma \ mu} \ eta _ {a \ nu \ rho} + \ delta _ {\ sigma \ rho} \ eta _ {a \ mu \ nu} - \ delta _ {\ sigma \ nu} \ eta _ {a \ mu \ rho} \,}$

${\ displaystyle \ eta _ {a \ mu \ nu} \ eta _ {a \ mu \ nu} = 12 \, \ quad \ eta _ {a \ mu \ nu} \ eta _ {b \ mu \ nu} = 4 \ delta _ {ab} \, \ quad \ eta _ {a \ mu \ rho} \ eta _ {a \ mu \ sigma} = 3 \ delta _ {\ rho \ sigma} \.}$

O mesmo vale para exceto para ${\ displaystyle {\ bar {\ eta}}}$

${\ displaystyle {\ bar {\ eta}} _ {a \ mu \ nu} {\ bar {\ eta}} _ {a \ rho \ sigma} = \ delta _ {\ mu \ rho} \ delta _ {\ nu \ sigma} - \ delta _ {\ mu \ sigma} \ delta _ {\ nu \ rho} - \ epsilon _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} \.}$

e

${\ displaystyle \ epsilon _ {\ mu \ nu \ rho \ theta} {\ bar {\ eta}} _ {a \ sigma \ theta} = - \ delta _ {\ sigma \ mu} {\ bar {\ eta} } _ {a \ nu \ rho} - \ delta _ {\ sigma \ rho} {\ bar {\ eta}} _ {a \ mu \ nu} + \ delta _ {\ sigma \ nu} {\ bar {\ eta}} _ {a \ mu \ rho} \,}$

Obviamente, devido a diferentes propriedades de dualidade. ${\ displaystyle \ eta _ {a \ mu \ nu} {\ bar {\ eta}} _ {b \ mu \ nu} = 0}$

Muitas propriedades deles estão tabuladas no apêndice do artigo de 't Hooft e também no artigo de Belitsky et al.

Veja também

• Instanton
• Anomalia de 't Hooft
• 't Hooft – Polyakov monopolo
• Operador 't Hooft

Referências