A priori probabilidade - A priori probability

Uma a priori probabilidade é uma probabilidade que é derivado puramente por dedutivo . Uma maneira de obter a priori probabilidades é o princípio da indiferença , que tem o caráter de dizer que, se houver N mutuamente exclusivas e coletivamente exaustivas eventos e se eles são igualmente prováveis, então a probabilidade de um determinado evento ocorrer é 1 / N . Do mesmo modo a probabilidade de uma de uma dada colecção de K eventos é K / N .

Uma desvantagem de definir probabilidades no caminho acima é que ela se aplica somente a coleções finitas de eventos.

Em inferência bayesiana , " priores uninformative " ou "priores objetivos" são escolhas particulares da priori probabilidades. Note-se que " probabilidade prévia " é um conceito mais amplo.

Semelhante à distinção na filosofia entre a priori e a posteriori , no inferência Bayesiana a priori indica conhecimento geral sobre a distribuição dos dados antes de fazer uma inferência, enquanto a posteriori indica conhecimento que incorpora os resultados de fazer uma inferência.

Uma probabilidade a priori em mecânica estatística

A probabilidade a priori tem uma aplicação importante na mecânica estatística . A versão clássico é definido como a razão entre o número de acontecimentos elementares (por exemplo, o número de vezes que um dado é jogado) o número total de eventos - e estes considerada puramente deductively, ou seja, sem qualquer experimentação. No caso do dado, se olharmos para o sobre a mesa, sem jogá-lo, cada evento primário é fundamentado deductively ter a mesma probabilidade -, assim, a probabilidade de cada resultado de um arremesso imaginária do (perfeito) morrer ou simplesmente pela contagem o número de faces é 1/6. Cada face do dado aparece com igual probabilidade - probabilidade de ser uma medida definida para cada evento primário. O resultado é diferente se jogar a morrer vinte vezes e perguntar quantas vezes (em 20) o número 6 aparece na face superior. Neste caso o tempo entra em jogo e nós temos um tipo diferente de probabilidade, dependendo do tempo ou o número de vezes que o dado é jogado. Por outro lado a probabilidade a priori é independente do tempo - você pode olhar para o dado sobre a mesa enquanto você gosta sem tocá-lo e você deduzir a probabilidade para o número 6 para aparecer na face superior é 1/6.

Em mecânica estatística, por exemplo a de um gás contido num volume finito , tanto as coordenadas espaciais e o impulso coordenadas dos elementos individuais de gás (átomos ou moléculas) são finito no espaço de fase gerado por estas coordenadas. Em analogia com o caso da fieira, a probabilidade a priori é aqui (no caso de um processo contínuo) proporcional ao elemento de volume do espaço de fase dividido por , e é o número de ondas estacionárias (isto é, estados) no seu interior, onde é o intervalo da variável e é a gama da variável (aqui para simplicidade considerado em uma dimensão). Em uma dimensão (comprimento ), este número ou peso estatístico ou uma ponderação é a priori . Em habituais 3 dimensões (volume ) o número correspondente pode ser calculada para ser . Tendo em vista a relação de incerteza , o qual em uma dimensão espacial é ${\ V} displaystyle$${\ Displaystyle Q_ {i}}$${\ Displaystyle p_ {i}}$${\ Displaystyle \ Delta q \ Delta p}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle \ Delta q}$${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle \ Delta p}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle L \ Delta p / h}$${\ V} displaystyle$${\ Displaystyle V4 \ pi p ^ {2} \ delta p / h ^ {3}}$

${\ Displaystyle \ Delta q \ Delta p \ geq h}$,

estes estados são indistinguíveis (ou seja, esses estados não carregam etiquetas). Uma consequência importante é um resultado conhecido como teorema de Liouville , ou seja, a independência do tempo de este elemento de volume do espaço de fase e, portanto, da probabilidade a priori. A dependência do tempo desta quantidade implicaria informações conhecidas sobre a dinâmica do sistema, e, portanto, não seria uma probabilidade a priori. Assim, a região

${\ Displaystyle \ Omega: = {\ frac {\ Delta q \ Delta p} {\ int \ Delta q \ Delta p}}, \; \; \; \ int \ Delta q \ Delta p = const,.}$

quando diferenciados no que diz respeito ao tempo de rendimentos de zero (com o auxílio das equações de Hamilton): O volume no tempo , é a mesma que no tempo zero. Um descreve este também como conservação da informação. ${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle t}$

Na mecânica quântica um tem uma lei de conservação análoga. Neste caso, a região de espaço a fase é substituído por um subespaço do espaço de estados expressa em termos de um operador de projecção , e em vez da probabilidade no espaço de fase, tem-se a densidade de probabilidade ${\ Displaystyle P}$

${\ Displaystyle \ Sigma:. = {\ Frac {P} {PG}}, \; \; \; N = PG = const,}$

onde representa a dimensionalidade do subespaço. A lei da conservação de, neste caso, é expressa pela unitariedade do S-matriz . Em ambos os casos, as considerações assumir um sistema isolado fechado. Este sistema fechado isolado é um sistema com uma energia fixo e um número fixo de partículas num estado de equilíbrio. Se se considerar um grande número de réplicas deste sistema, obtém-se o que é chamado um `` ensemble'' microcanônico. É por este sistema que se postula em estatística quântica do `` postulado fundamental da igualdade de probabilidades a priori de uma system'' isolado. Este diz que o sistema isolado em equilíbrio ocupa cada um dos seus estados acessíveis com a mesma probabilidade. Portanto, este postulado fundamental nos permite equacionar a probabilidade a priori à degeneração de um sistema, ou seja, o número de estados diferentes com a mesma energia. ${\ N} displaystyle$${\ Displaystyle E}$${\ N} displaystyle$

Exemplo

O exemplo a seguir ilustra a probabilidade a priori (ou uma ponderação priori) em (a) clássicas e (b) contextos quântica.

(a) uma probabilidade a priori Clássica

Considere a energia E rotacional de uma molécula de diatómico com o momento de inércia I em coordenadas polares esféricas , ou seja ${\ Displaystyle \ theta, \ phi}$

${\ Displaystyle E = {\ frac {1} {2I}} \ esquerda (p _ {\ teta} ^ {2} + {\ frac {p _ {\ phi} ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ right).}$

A curva em para E constante e é uma elipse de área ${\ Displaystyle (p _ {\ theta}, p _ {\ phi})}$${\ Displaystyle \ theta}$

${\ Displaystyle \ onto dp _ {\ theta} dp _ {\ phi} = \ pi {\ sqrt {2iE}} {\ sqrt {2iE}} \ sin \ theta = 2 \ pi IE \ sin \ theta}$.

Ao integrar ao longo e o volume total do espaço de fase coberto por constante de energia E é ${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle \ phi}$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ phi = 2 \ pi} \ int _ {0} ^ {\ teta = \ pi} 2I \ pi E \ sin \ teta d \ teta d \ phi = 8 \ pi ^ {2} IE = \ onto dp _ {\ teta} dp _ {\ phi} d \ d teta phi \}$,

e, portanto, o número de estados no intervalo de energia é ${\ Displaystyle DE}$

${\ Displaystyle \ Omega \ propto}$ (volume do espaço de fase a ) menos (volume do espaço de fase a ) é dada pela${\ Displaystyle E + DE}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle 8 {\ pi} ^ {2} IDE.}$

(b) quântica probabilidade a priori

Assumindo que o número de estados quânticos em um intervalo para cada direcção de movimento é dada, por elemento, por um factor , o número de estados no intervalo de energia dE é, como se vê em (a) para a molécula diatómica rotativo. De mecânica onda sabe-se que os níveis de energia de uma molécula diatómica rotativa são dadas pela ${\ Displaystyle \ Delta q \ Delta p}$${\ Displaystyle \ Delta q \ Delta p / h}$${\ Displaystyle 8 \ pi ^ {2} ide / h ^ {2}}$

${\ Displaystyle E_ {n} = {\ frac {n (n + 1) h ^ {2}} {8 \ pi ^ {2}}} I,}$

cada tal ser nível de (2n + 1) vezes de degenerada. Ao avaliar obtém-se ${\ Displaystyle dn / de_ {n} = 1 / de_ {n} / dn}$

${\ Displaystyle {\ frac {dn} {de_ {n}}} = {\ frac {8 \ pi ^ {2} I} {(2n + 1) h ^ {2}}}, \; \; \; (2n + 1) dn = {\ frac {8 \ pi ^ {2}} {I h ^ {2}}} de_ {n}.}$

Assim, por comparação com o de cima, vê-se que o número aproximado de estados na gama dE é dada pela ${\ Displaystyle \ Omega}$

${\ Displaystyle \ Sigma \ propto (2n + 1) dn.}$

No caso do oscilador harmónico simples unidimensional da frequência natural encontra-se correspondentemente: (a) , e (b) (não degenerescência). Assim, na mecânica quântica a probabilidade a priori é efectivamente uma medição da degenerescência . No caso do átomo de hidrogénio ou potencial de Coulomb (onde a avaliação do volume do espaço de fase por energia constante é mais complicado) sabe-se que a degeneração mecânica quântica é com . Assim, neste caso . ${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle \ Omega \ propto dE / \ nu}$${\ Displaystyle \ Sigma \ propto dn}$${\ Displaystyle n ^ {2}}$${\ Displaystyle E \ propto 1 / n ^ {2}}$${\ Displaystyle \ Sigma \ propto n ^ {2}} dn$

Referências