Elemento absorvente - Absorbing element
Em matemática , um elemento absorvente (ou elemento aniquilador ) é um tipo especial de elemento de um conjunto em relação a uma operação binária naquele conjunto. O resultado da combinação de um elemento absorvente com qualquer elemento do conjunto é o próprio elemento absorvente. Na teoria de semigrupos , o elemento absorvente é chamado de elemento zero porque não há risco de confusão com outras noções de zero , com a notável exceção: sob a notação aditiva, o zero pode, naturalmente, denotar o elemento neutro de um monóide. Neste artigo, "elemento zero" e "elemento absorvente" são sinônimos.
Definição
Formalmente, seja ( S , •) um conjunto S com uma operação binária fechada • sobre ele (conhecido como magma ). Um elemento zero é um elemento z tal que para todos os s em S , z • s = s • z = z . Um refinamento são as noções de zero à esquerda , onde se requer apenas que z • s = z , e zero à direita , onde s • z = z .
Elementos absorventes são particularmente interessantes para semigrupos , especialmente o semigrupo multiplicativo de uma semirrega . No caso de uma semirreção com 0, a definição de um elemento absorvente é às vezes relaxada, de modo que não é necessário absorver 0; caso contrário, 0 seria o único elemento absorvente.
Propriedades
- Se um magma tiver um zero à esquerda z e um zero à direita z ′, então ele terá um zero, pois z = z • z ′ = z ′ .
- Um magma pode ter no máximo um elemento zero.
Exemplos
- O exemplo mais conhecido de um elemento absorvente vem da álgebra elementar, onde qualquer número multiplicado por zero é igual a zero. Zero é, portanto, um elemento absorvente.
- O zero de qualquer anel também é um elemento absorvente. Para um elemento r de um anel R , R0 = r (0 + 0) = r0 + r0 , assim 0 = R0 , como zero é o único elemento de um para o qual RR = um para qualquer r no anel R . Essa propriedade também é verdadeira em um rng, pois a identidade multiplicativa não é necessária.
- A aritmética de vírgula flutuante conforme definida no padrão IEEE-754 contém um valor especial denominado Não-um-Número ("NaN"). É um elemento absorvente para todas as operações; ou seja, x + NaN = NaN + x = NaN , x - NaN = NaN - x = NaN , etc.
- O conjunto de relações binárias sobre um conjunto X , juntamente com a composição das relações, forma um monóide com zero, onde o elemento zero é a relação vazia ( conjunto vazio ).
- O intervalo fechado H = [0, 1] com x • y = min ( x , y ) também é um monóide com zero e o elemento zero é 0.
- Mais exemplos:
Domínio | Operação | Absorvedor | ||
---|---|---|---|---|
Numeros reais | ⋅ | Multiplicação | 0 | |
Inteiros | Maior divisor comum | 1 | ||
matrizes n- por- n quadradas | Multiplicação da matriz | Matriz de todos os zeros | ||
Números reais estendidos | Mínimo / mínimo | −∞ | ||
Máximo / supremo | + ∞ | |||
Jogos | ∩ | Interseção | ∅ | Conjunto vazio |
Subconjuntos de um conjunto M | ∪ | União | M | |
Lógica booleana | ∧ | Lógico e | ⊥ | Falsidade |
∨ | Lógico ou | ⊤ | Verdade |
Veja também
- Idempotente (teoria do anel) - um elemento x de um anel tal que x 2 = x
- Elemento de identidade
- Semigrupo nulo
Notas
Referências
- Howie, John M. (1995). Fundamentos da Teoria de Semigrupos . Clarendon Press . ISBN 0-19-851194-9.
- M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoids, Atos e Categorias com Aplicações a Gráficos e Produtos de Coroas , De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7 .
- Golan, Jonathan S. (1999). Semirings e suas aplicações . Springer. ISBN 0-7923-5786-8.
links externos
- Elemento absorvente no PlanetMath