Conjectura de Andrica - Andrica's conjecture

(a) A função para os primeiros 100 primos. ${\ displaystyle A_ {n}}$

(b) A função para os primeiros 200 primos. ${\ displaystyle A_ {n}}$

(c) A função para os primeiros 500 primos. ${\ displaystyle A_ {n}}$

Prova gráfica para a conjectura de Andrica para os primeiros (a) 100, (b) 200 e (c) 500 números primos. Presume-se que a função seja sempre menor que 1. ${\ displaystyle A_ {n}}$

A conjectura de Andrica (em homenagem a Dorin Andrica ) é uma conjectura a respeito das lacunas entre os números primos .

A conjectura afirma que a desigualdade

${\ displaystyle {\ sqrt {p_ {n + 1}}} - {\ sqrt {p_ {n}}} <1}$

vale para todos , onde é o n º número primo. Se denota a n- ésima lacuna primo , então a conjectura de Andrica também pode ser reescrita como ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p_ {n}}$${\ displaystyle g_ {n} = p_ {n + 1} -p_ {n}}$

${\ displaystyle g_ {n} <2 {\ sqrt {p_ {n}}} + 1.}$

Evidência empírica

Imran Ghory usou dados sobre as maiores lacunas primárias para confirmar a conjectura de até 1.3002 × 10 ¹⁶ . Usando uma tabela de lacunas máximas e a desigualdade de lacuna acima, o valor de confirmação pode ser estendido exaustivamente para 4 × 10 ¹⁸ . ${\ displaystyle n}$

A função discreta é plotada nas figuras ao lado. Os limites máximos de ocorrem para n  = 1, 2 e 4, com A ₄ ≈ 0,670873 ..., sem valor maior entre os primeiros 10 ⁵ primos. Uma vez que a função Andrica diminui assintoticamente à medida que n aumenta, uma lacuna primária de tamanho sempre crescente é necessária para tornar a diferença grande à medida que n se torna grande. Portanto, parece altamente provável que a conjectura seja verdadeira, embora isso ainda não tenha sido provado. ${\ displaystyle A_ {n} = {\ sqrt {p_ {n + 1}}} - {\ sqrt {p_ {n}}}}$${\ displaystyle A_ {n}}$

Generalizações

Valor de x na conjectura de Andrica generalizada para os primeiros 100 primos, com o valor conjecturado de x _min rotulado.

Como uma generalização da conjectura de Andrica, a seguinte equação foi considerada:

${\ displaystyle p_ {n + 1} ^ {x} -p_ {n} ^ {x} = 1,}$

onde é o n º prime e x pode ser qualquer número positivo. ${\ displaystyle p_ {n}}$

A maior solução possível para x é facilmente vista ocorrer para n = 1, quando x _máx  = 1. A menor solução para x é conjecturada como sendo x _min  ≈ 0,567148 ... (sequência A038458 no OEIS ) que ocorre para n  = 30

Essa conjectura também foi afirmada como uma desigualdade , a conjectura Andrica generalizada:

${\ displaystyle p_ {n + 1} ^ {x} -p_ {n} ^ {x} <1}$ para ${\ displaystyle x <x _ {\ min}.}$

Veja também

• Conjectura de Cramér
• Conjectura de Legendre
• Conjectura de Firoozbakht

Referências e notas

• Guy, Richard K. (2004). Problemas não resolvidos na teoria dos números (3ª ed.). Springer-Verlag . ISBN   978-0-387-20860-2 . Zbl   1058.11001 .

links externos

• Conjectura de Andrica no PlanetMath
• Conjectura de Andrica generalizada no PlanetMath
• Weisstein, Eric W. "Andrica's Conjecture" . MathWorld .