Conjectura de Legendre - Legendre's conjecture

A conjectura de Legendre , proposta por Adrien-Marie Legendre , afirma que existe um número primo entre n ² e ( n + 1) ² para todo inteiro positivo n . A conjectura é um dos problemas de Landau (1912) com os números primos; em 2021, a conjectura não foi provada nem refutada.

Problema não resolvido em matemática :

Sempre existe pelo menos um primo entre n ² e (n + 1) ² ?

(mais problemas não resolvidos em matemática)

Lacunas primárias

A conjectura de Legendre faz parte de uma família de resultados e conjecturas relacionadas a lacunas primos , ou seja, ao espaçamento entre os números primos.

Gráfico do número de primos entre n ² e ( n + 1) ² OEIS : A014085

O teorema dos números primos sugere que o número real de primos entre n ² e ( n + 1) ² ( OEIS : A014085 ) é assintótico a n / ln ( n ). Como esse número é grande para n grande , isso dá crédito à conjectura de Legendre.

Se a conjectura de Legendre for verdadeira, a lacuna entre qualquer primo p e o próximo maior primo seria sempre da ordem de ; na notação grande O , as lacunas são . Duas conjecturas mais fortes, a conjectura de Andrica e conjectura de Oppermann , também ambos implicam que as lacunas têm a mesma magnitude. ${\ displaystyle {\ sqrt {p}}}$ ${\ displaystyle O ({\ sqrt {p}})}$

Harald Cramér conjeturou que as lacunas são sempre bem menores, da ordem . Se a conjectura de Cramér for verdadeira, a conjectura de Legendre seguiria para todos os n suficientemente grandes . Cramér também provou que a hipótese de Riemann implica um limite mais fraco do tamanho das maiores lacunas primos. ${\ displaystyle (\ log p) ^ {2}}$ ${\ displaystyle O ({\ sqrt {p}} \ log p)}$

Um contra-exemplo próximo a 10 ¹⁸ exigiria um gap primário cinquenta milhões de vezes o tamanho do gap médio.

A conjectura de Legendre implica que pelo menos um primo pode ser encontrado em cada meia revolução da espiral de Ulam .

Resultados parciais

Segue de um resultado de Ingham que para todos suficientemente grandes , há um primo entre os cubos consecutivos e . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n ^ {3}}$ ${\ displaystyle (n + 1) ^ {3}}$

Baker, Harman e Pintz provaram que existe um primo no intervalo para todos os grandes . ${\ displaystyle [x, \, x + O (x ^ {21/40})]}$ ${\ displaystyle x}$

Uma tabela de lacunas primárias máximas mostra que a conjectura se aplica a, pelo menos , significado . ${\ displaystyle n ^ {2} = 4 \ cdot 10 ^ {18}}$ ${\ displaystyle n = 2 \ cdot 10 ^ {9}}$