Frase atômica - Atomic sentence

Na lógica e na filosofia analítica , uma sentença atômica é um tipo de sentença declarativa que é verdadeira ou falsa (também pode ser chamada de proposição , afirmação ou portadora da verdade ) e que não pode ser decomposta em outras sentenças mais simples. Por exemplo, "O cachorro correu" é uma frase atômica em linguagem natural, enquanto "O cachorro correu e o gato se escondeu" é uma frase molecular em linguagem natural .

Do ponto de vista da análise lógica, a verdade ou falsidade das frases em geral é determinada por apenas duas coisas: a forma lógica da frase e a verdade ou falsidade de suas frases simples. Isso quer dizer, por exemplo, que a verdade da frase "João é grego e João é feliz" é uma função do significado de " e ", e dos valores de verdade das frases atômicas "João é grego" e "João é feliz". No entanto, a verdade ou falsidade de uma sentença atômica não é uma questão que está dentro do escopo da própria lógica, mas sim de qualquer arte ou ciência sobre a qual o conteúdo da sentença atômica esteja falando.

A lógica desenvolveu linguagens artificiais, por exemplo cálculo sentencial e cálculo de predicados , em parte com o propósito de revelar a lógica subjacente das declarações da linguagem natural, cuja gramática de superfície pode ocultar a estrutura lógica subjacente. Nessas linguagens artificiais, uma sentença atômica é uma cadeia de símbolos que pode representar uma sentença elementar em uma linguagem natural e pode ser definida como segue. Em uma linguagem formal, uma fórmula bem formada (ou wff) é uma cadeia de símbolos constituída de acordo com as regras de sintaxe da linguagem. Um termo é uma variável , uma constante individual ou uma letra de função com n casas seguida por n termos. Uma fórmula atômica é um wff que consiste em uma letra sentencial ou uma letra predicada de n casas seguida por n termos. Uma frase é uma wff na qual todas as variáveis ​​estão vinculadas. Uma frase atômica é uma fórmula atômica que não contém variáveis. Segue-se que uma frase atômica não contém conectivos lógicos , variáveis ​​ou quantificadores . Uma frase que consiste em uma ou mais frases e um conectivo lógico é uma frase composta (ou molecular).

Exemplos

Premissas

Nos exemplos a seguir:

• sejam F , G , H letras predicadas;
• sejam a , b , c constantes individuais;
• sejam x , y , z variáveis.

Frases atômicas

Essas wffs são sentenças atômicas; eles não contêm variáveis ​​livres ou conjunções:

• F ( a )
• G ( a , b )
• H ( a , b , c )

Fórmulas atômicas

Esses wffs são fórmulas atômicas, mas não são sentenças (atômicas ou não) porque incluem variáveis ​​livres:

• F ( x )
• G ( a , z )
• H ( x , y , z )

Frases compostas

Essas wffs são sentenças compostas. Eles são sentenças, mas não são sentenças atômicas porque não são fórmulas atômicas:

• ∀ x ( F ( x ))
• ∃ z ( G ( a , z ))
• ∃ x ∀ y ∃ z ( H ( x , y , z ))
• ∀ x ∃ z ( F ( x ) ∧ G ( a , z ))
• ∃ x ∀ y ∃ z ( G ( a , z ) ∨ H ( x , y , z ))

Fórmulas compostas

Essas wffs são fórmulas compostas. Eles não são fórmulas atômicas, mas são construídos a partir de fórmulas atômicas usando conectivos lógicos. Eles também não são sentenças porque contêm variáveis ​​livres:

• F ( x ) ∧ G ( a , z )
• G ( a , z ) ∨ H ( x , y , z )

Interpretações

Uma frase é verdadeira ou falsa sob uma interpretação que atribui valores às variáveis ​​lógicas. Podemos, por exemplo, fazer as seguintes atribuições:

Constantes individuais

• a: Sócrates
• b: Platão
• c: Aristóteles

Predicados

• Fα: α está dormindo
• Gαβ: α odeia β
• Hαβγ: α fez β atingir γ

Variáveis ​​sentenciais

• p : Está chovendo.

Sob esta interpretação, as sentenças discutidas acima representariam as seguintes declarações em inglês:

• p : "Está chovendo."
• F ( a ): "Sócrates está dormindo."
• H ( b , a , c ): "Platão fez Sócrates bater em Aristóteles."
• ∀ x ( F ( x )): "Todo mundo está dormindo."
• ∃ z ( G ( a , z )): "Sócrates odeia alguém."
• ∃ x ∀ y ∃ z ( H ( x , y , z )): "Alguém fez todo mundo bater em alguém." (Eles podem não ter atingido a mesma pessoa z, mas todos fizeram isso por causa da mesma pessoa x.)
• ∀ x ∃ z ( F ( x ) ∧ G ( a , z )): "Todo mundo está dormindo e Sócrates odeia alguém."
• ∃ x ∀ y ∃ z ( G ( a , z ) ∨ H ( x , y , z )): "Ou Sócrates odeia alguém ou alguém fez todo mundo bater em alguém."

Traduzir frases de uma linguagem natural para uma linguagem artificial

As frases em linguagens naturais podem ser ambíguas, enquanto as linguagens da lógica sentencial e da lógica de predicados são precisas. A tradução pode revelar tais ambigüidades e expressar precisamente o significado pretendido.

Por exemplo, tome a frase em inglês “Padre Ted casado com Jack e Jill”. Isso significa que Jack se casou com Jill? Ao traduzir, podemos fazer as seguintes atribuições: Constantes Individuais

• a : Padre Ted
• b : Jack
• c : Jill

Predicados :

• M αβγ: α oficializado no casamento de β com γ

Usando essas atribuições, a frase acima pode ser traduzida da seguinte forma:

• M ( a , b , c ): Padre Ted oficiou o casamento de Jack e Jill.
• ∃ x ∃ y ( M ( a , b , x ) ∧ M ( a , c , y )): O Padre Ted oficializou o casamento de Jack com alguém e o Padre Ted oficializou o casamento de Jill com alguém.
• ∃ x ∃ y ( M ( x , a , b ) ∧ M ( y , a , c )): Alguém oficializou o casamento do Pai Ted com Jack e alguém oficializou o casamento do Pai Ted com Jill.

Para estabelecer qual é a tradução correta de “Padre Ted casou-se com Jack e Jill”, seria necessário perguntar ao palestrante exatamente o que se quis dizer.

Significado filosófico

As sentenças atômicas são de particular interesse na lógica filosófica e na teoria da verdade e, tem-se argumentado, existem fatos atômicos correspondentes .

Uma sentença atômica (ou possivelmente o significado de uma sentença atômica) é chamada de proposição elementar de Ludwig Wittgenstein e de proposição atômica de Bertrand Russell :

• 4.2 O sentido de uma proposição é sua concordância e desacordo com as possibilidades de existência e não existência de estados de coisas. 4.21 O tipo mais simples de proposição, uma proposição elementar, afirma a existência de um estado de coisas. - Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus .
• Uma proposição (verdadeira ou falsa) que afirma um fato atômico é chamada de proposição atômica. - Russell, "Introdução ao Tractatus Logico-Philosophicus "
• Veja também e especialmente a respeito da proposição elementar e proposição atômica conforme discutido por Russell e Wittgenstein

Observe a distinção entre uma proposição elementar / atômica e um fato atômico .

Nenhuma sentença atômica pode ser deduzida (não é acarretada por) qualquer outra sentença atômica, nem duas sentenças atômicas são incompatíveis e nenhum conjunto de sentenças atômicas é contraditório. Wittgenstein fez muito disso em seu Tractatus . Se houver quaisquer sentenças atômicas, então deve haver "fatos atômicos" que correspondam àqueles que são verdadeiros, e a conjunção de todas as sentenças atômicas verdadeiras diria tudo que foi o caso, ou seja, "o mundo", uma vez que, de acordo com Wittegenstein, “O mundo é tudo o que acontece”. (TLP: 1). Da mesma forma, o conjunto de todos os conjuntos de sentenças atômicas corresponde ao conjunto de todos os mundos possíveis (tudo o que poderia ser o caso).

O esquema T , que incorpora a teoria da verdade proposta por Alfred Tarski , define a verdade de sentenças arbitrárias a partir da verdade de sentenças atômicas.

Veja também

• Constante lógica

Referências

Bibliografia

• Benson Mates, Elementary Logic , Oxford University Press, 1972.
• Elliot Mendelson, Introdução à Lógica Matemática , Van Nostran Reinholds Company, 1964.