Lema de Aubin – Lions - Aubin–Lions lemma

Em matemática , o lema (ou teorema ) de Aubin-Lions é o resultado da teoria dos espaços de Sobolev das funções avaliadas no espaço de Banach , que fornece um critério de compactação que é útil no estudo de equações diferenciais parciais evolutivas não lineares . Normalmente, para provar a existência de soluções, um primeiro constrói soluções aproximadas (por exemplo, por um método de Galerkin ou por molificação da equação), então usa o lema de compactação para mostrar que existe uma subsequência convergente de soluções aproximadas cujo limite é uma solução .

O resultado é uma homenagem aos matemáticos franceses Jean-Pierre Aubin e Jacques-Louis Lions . Na prova original de Aubin, os espaços X ₀ e X ₁ na declaração do lema foram considerados reflexivos , mas essa suposição foi removida por Simon, então o resultado também é conhecido como lema de Aubin – Lions – Simon .

Declaração do lema

Sejam X ₀ , X e X ₁ três espaços de Banach com X ₀  ⊆  X  ⊆  X ₁ . Suponha que X ₀ esteja compactamente embutido em X e que X esteja continuamente embutido em X ₁ . Para 1 ≤  p ,  q  ≤ + ∞, deixe

${\ displaystyle W = \ {u \ in L ^ {p} ([0, T]; X_ {0}) \ mid {\ dot {u}} \ in L ^ {q} ([0, T]; X_ {1}) \}.}$

(i) Se p  <+ ∞, então a incorporação de W em L ^p ([0,  T ];  X ) é compacta.

(ii) Se p  = + ∞ eq  > 1, então a incorporação de W em C ([0,  T ];  X ) é compacta.

Veja também

• Lema de Lions-Magenes

Notas

Referências

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