Matriz aumentada - Augmented matrix

Na álgebra linear , uma matriz aumentada é uma matriz obtida anexando as colunas de duas matrizes fornecidas, geralmente com o propósito de realizar as mesmas operações elementares de linha em cada uma das matrizes fornecidas.

Dadas as matrizes A e B , onde

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 5 & 2 & 2 \ end {bmatrix}}, \ quad B = {\ begin {bmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \ end {bmatrix}},}$

a matriz aumentada ( A | B ) é escrita como

${\ displaystyle (A | B) = \ left [{\ begin {array} {ccc | c} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 2 & 1 \ end {array}} \ right].}$

Isso é útil ao resolver sistemas de equações lineares .

Para um determinado número de incógnitas, o número de soluções para um sistema de equações lineares depende apenas da classificação da matriz que representa o sistema e da classificação da matriz aumentada correspondente. Especificamente, de acordo com o teorema de Rouché-Capelli , qualquer sistema de equações lineares é inconsistente (não tem soluções) se a classificação da matriz aumentada for maior que a classificação da matriz de coeficientes ; se, por outro lado, os ranks dessas duas matrizes são iguais, o sistema deve ter pelo menos uma solução. A solução é única se e somente se a classificação for igual ao número de variáveis. Caso contrário, a solução geral tem k parâmetros livres onde k é a diferença entre o número de variáveis ​​e o posto; portanto, em tal caso, há uma infinidade de soluções.

Uma matriz aumentada também pode ser usada para encontrar o inverso de uma matriz combinando-a com a matriz de identidade .

Para encontrar o inverso de uma matriz

Seja C a matriz quadrada 2 × 2

${\ displaystyle C = {\ begin {bmatrix} 1 e 3 \\ - 5 e 0 \ end {bmatrix}}.}$

Para encontrar o inverso de C, criamos ( C | I ) onde I é a matriz identidade 2 × 2 . Em seguida, reduzimos a parte de ( C | I ) correspondente a C à matriz identidade usando apenas operações de linha elementares em ( C | I ).

${\ displaystyle (C | I) = \ left [{\ begin {array} {cc | cc} 1 & 3 & 1 & 0 \\ - 5 & 0 & 0 & 1 \ end {array}} \ right]}$

${\ displaystyle (I | C ^ {- 1}) = \ left [{\ begin {array} {cc | cc} 1 & 0 & 0 & - {\ frac {1} {5}} \\ 0 & 1 & {\ frac {1} { 3}} & {\ frac {1} {15}} \ end {array}} \ right]}$,

a parte direita é o inverso da matriz original.

Existência e número de soluções

Considere o sistema de equações

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} x + y + 2z & = 2 \\ x + y + z & = 3 \\ 2x + 2y + 2z & = 6. \ end {alinhado}}}$

A matriz de coeficientes é

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\\ end {bmatrix}},}$

e a matriz aumentada é

${\ displaystyle (A | B) = \ left [{\ begin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 2 & 6 \ end {array}} \ right].}$

Uma vez que ambos têm a mesma classificação, ou seja, 2, existe pelo menos uma solução; e como sua classificação é menor que o número de incógnitas, sendo esta última 3, há um número infinito de soluções.

Em contraste, considere o sistema

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} x + y + 2z & = 3 \\ x + y + z & = 1 \\ 2x + 2y + 2z & = 5. \ end {alinhado}}}$

A matriz de coeficientes é

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\\ end {bmatrix}},}$

e a matriz aumentada é

${\ displaystyle (A | B) = \ left [{\ begin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 5 \ end {array}} \ right].}$

Neste exemplo, a matriz de coeficientes tem classificação 2, enquanto a matriz aumentada possui classificação 3; portanto, este sistema de equações não tem solução. Na verdade, um aumento no número de linhas linearmente independentes tornou o sistema de equações inconsistente .

Solução de um sistema linear

Como usado em álgebra linear, uma matriz aumentada é usada para representar os coeficientes e o vetor de solução de cada conjunto de equações. Para o conjunto de equações

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} x + 2y + 3z & = 0 \\ 3x + 4y + 7z & = 2 \\ 6x + 5y + 9z & = 11 \ end {alinhado}}}$

os coeficientes e os termos constantes fornecem as matrizes

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 7 \\ 6 & 5 & 9 \ end {bmatrix}}, \ quad B = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 2 \\ 11 \ end {bmatrix}},}$

e, portanto, dar a matriz aumentada

${\ displaystyle (A | B) = \ left [{\ begin {array} {ccc | c} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 3 & 4 & 7 & 2 \\ 6 & 5 & 9 & 11 \ end {array}} \ right]}$.

Observe que a classificação da matriz de coeficiente, que é 3, é igual à classificação da matriz aumentada, portanto, existe pelo menos uma solução; e como essa classificação é igual ao número de incógnitas, existe exatamente uma solução.

Para obter a solução, as operações de linha podem ser realizadas na matriz aumentada para obter a matriz identidade no lado esquerdo, produzindo

${\ displaystyle \ left [{\ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\\ end {array}} \ right],}$

portanto, a solução do sistema é ( x , y , z ) = (4, 1, -2).

Referências

• Marvin Marcus e Henryk Minc, Um levantamento da teoria da matriz e desigualdades de matriz , Dover Publications , 1992, ISBN  0-486-67102-X . Página 31.