BL (lógica) - BL (logic)

Na lógica matemática , a lógica fuzzy básica (ou abreviadamente BL ), a lógica das normas t contínuas , é uma das lógicas fuzzy da norma t . Pertence à classe mais ampla de lógicas subestruturais , ou lógicas de redes residuadas ; estende a lógica de todas as normas t contínuas à esquerda MTL .

Sintaxe

Língua

A linguagem da lógica proposicional BL consiste em countably muitas variáveis proposicionais e os seguintes primitivas conectivos lógicos :

• Implicação ( binária )${\ displaystyle \ rightarrow}$
• Conjunção forte (binária). O signo & é uma notação mais tradicional para a conjunção forte na literatura sobre lógica fuzzy, enquanto a notação segue a tradição das lógicas subestruturais.${\ displaystyle \ otimes}$${\ displaystyle \ otimes}$
• Bottom ( nullary - uma constante proposicional ); ou são sinais alternativos comuns e zero um nome alternativo comum para a constante proposicional (já que as constantes bottom e zero das lógicas subestruturais coincidem em MTL).${\ displaystyle \ bot}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle {\ overline {0}}}$

A seguir estão os conectivos lógicos definidos mais comuns:

• Conjunção fraca (binária), também chamada de conjunção em rede (pois é sempre realizada pela operação de rede de encontro na semântica algébrica). Ao contrário de MTL e lógicas subestruturais mais fracas, a conjunção fraca é definível em BL como${\ displaystyle \ wedge}$

${\ displaystyle A \ wedge B \ equiv A \ otimes (A \ rightarrow B)}$

• Negação ( unária ), definida como${\ displaystyle \ neg}$

${\ displaystyle \ neg A \ equiv A \ rightarrow \ bot}$

• Equivalência (binária), definida como${\ displaystyle \ leftrightarrow}$

${\ displaystyle A \ leftrightarrow B \ equiv (A \ rightarrow B) \ wedge (B \ rightarrow A)}$

Como em MTL, a definição é equivalente a ${\ displaystyle (A \ rightarrow B) \ otimes (B \ rightarrow A).}$

• (Fraca) disjunção (binária), também chamada de disjunção de rede (pois é sempre realizada pela operação de rede de junção na semântica algébrica), definida como${\ displaystyle \ vee}$

${\ displaystyle A \ vee B \ equiv ((A \ rightarrow B) \ rightarrow B) \ wedge ((B \ rightarrow A) \ rightarrow A)}$

• Top (nulo), também chamado de um e denotado por ou (como as constantes top e zero das lógicas subestruturais coincidem em MTL), definido como${\ displaystyle \ top}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle {\ overline {1}}}$

${\ displaystyle \ top \ equiv \ bot \ rightarrow \ bot}$

Fórmulas bem formadas de BL são definidas como de costume em lógicas proposicionais . Para salvar os parênteses, é comum usar a seguinte ordem de precedência:

• Conectores unários (ligam mais estreitamente)
• Conetivos binários diferentes de implicação e equivalência
• Implicação e equivalência (vincular o mais vagamente)

Axiomas

Um sistema de dedução do estilo Hilbert para BL foi introduzido por Petr Hájek (1998). Sua regra de derivação única é modus ponens :

de e derivar${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A \ rightarrow B}$${\ displaystyle B.}$

A seguir estão seus esquemas de axioma :

${\ displaystyle {\ begin {array} {ll} {\ rm {(BL1)}} \ dois pontos & (A \ rightarrow B) \ rightarrow ((B \ rightarrow C) \ rightarrow (A \ rightarrow C)) \\ {\ rm {(BL2)}} \ dois pontos & A \ otimes B \ rightarrow A \\ {\ rm {(BL3)}} \ dois pontos e A \ otimes B \ rightarrow B \ otimes A \\ {\ rm {(BL4) }} \ dois pontos & A \ otimes (A \ rightarrow B) \ rightarrow B \ otimes (B \ rightarrow A) \\ {\ rm {(BL5a)}} \ dois pontos & (A \ rightarrow (B \ rightarrow C)) \ rightarrow (A \ otimes B \ rightarrow C) \\ {\ rm {(BL5b)}} \ dois pontos & (A \ otimes B \ rightarrow C) \ rightarrow (A \ rightarrow (B \ rightarrow C)) \\ {\ rm {(BL6)}} \ dois pontos & ((A \ rightarrow B) \ rightarrow C) \ rightarrow (((B \ rightarrow A) \ rightarrow C) \ rightarrow C) \\ {\ rm {(BL7)}} \ colon & \ bot \ rightarrow A \ end {array}}}$

Os axiomas (BL2) e (BL3) do sistema axiomático original mostraram-se redundantes (Chvalovský, 2012) e (Cintula, 2005). Todos os outros axiomas mostraram-se independentes (Chvalovský, 2012).

Semântica

Como em outras lógicas fuzzy de norma t proposicional , a semântica algébrica é usada predominantemente para BL, com três classes principais de álgebras em relação às quais a lógica é completa :

• Semântica geral , formada por todas as álgebras BL - ou seja, todas as álgebras para as quais a lógica é válida
• Semântica linear , formada por todas as álgebras BL lineares - ou seja, todas as álgebras BL cuja ordem de rede é linear
• Semântica padrão , formada por todas as álgebras BL padrão - ou seja, todas as álgebras BL cujo reduto de rede é o intervalo de unidade real [0, 1] com a ordem usual; eles são determinados exclusivamente pela função que interpreta a conjunção forte, que pode ser qualquer norma t contínua .

Bibliografia

• Hájek P., 1998, Metamathematics of Fuzzy Logic . Dordrecht: Kluwer.
• Ono, H., 2003, "Substructural logics and residuated lattices - an Introduction". Em FV Hendricks, J. Malinowski (eds.): Trends in Logic: 50 Years of Studia Logica, Trends in Logic 20 : 177-212.
• Cintula P., 2005, "Breve nota: Sobre a redundância do axioma (A3) em BL e MTL". Soft Computing 9 : 942.
• Chvalovský K., 2012, " On the Independence of Axioms in BL and MTL ". Fuzzy Sets and Systems 197 : 123–129, doi : 10.1016 / j.fss.2011.10.018 .

Referências