Limite de Banach - Banach limit
Na análise matemática , um limite de Banach é um funcional linear contínuo definido no espaço de Banach de todas as sequências avaliadas por complexo limitado , de modo que para todas as sequências , em e números complexos :
- (linearidade);
- se para todos , então (positividade);
- , onde é o operador de deslocamento definido por (invariância de deslocamento);
- se for uma sequência convergente , então .
Portanto, é uma extensão do funcional contínuo onde é o espaço vetorial complexo de todas as sequências que convergem para um limite (usual) em .
Em outras palavras, um limite de Banach estende os limites usuais, é linear, invariante ao deslocamento e positivo. No entanto, existem sequências para as quais os valores de dois limites de Banach não concordam. Dizemos que o limite de Banach não é determinado exclusivamente neste caso.
Como consequência das propriedades acima, um limite de Banach com valor real também satisfaz:
A existência de limites de Banach é geralmente provada usando o teorema de Hahn-Banach (abordagem do analista), ou usando ultrafiltros (esta abordagem é mais frequente em exposições teóricas de conjuntos). Essas provas necessariamente usam o axioma de escolha (a chamada prova não efetiva).
Quase convergência
Existem sequências não convergentes que têm um limite de Banach determinado de forma única. Por exemplo, se , então é uma sequência constante, e
detém. Assim, para qualquer limite de Banach, essa sequência tem limite .
Uma sequência limitada com a propriedade de que para cada limite de Banach o valor é o mesmo é chamada quase convergente .
Espaços Banach
Dada uma sequência convergente em , o limite ordinário de não surge de um elemento de , se a dualidade for considerada. O último meio é o espaço dual contínuo ( espaço de Banach dual) de , e conseqüentemente, induz funcionais lineares contínuos em , mas não em todos. Qualquer limite de Banach em é um exemplo de um elemento do espaço de Banach dual do qual não está em . A dupla de é conhecida como o espaço de ba , e consiste em todos os ( assinado ) uma quantidade finita de aditivo medidas sobre o sigma-álgebra de todos os subconjuntos de números naturais , ou de modo equivalente, todos os (assinados) medidas Borel no compactificaç~ao pedra de Cech do números naturais.
links externos
Referências
- Balcar, Bohuslav ; Štěpánek, Petr (2000). Teorie množin (em tcheco) (2 ed.). Praha: Academia. ISBN 802000470X . CS1 maint: parâmetro desencorajado ( link )
- Conway, John B. (1994). Um Curso de Análise Funcional . Textos de Pós-Graduação em Matemática . 96 . Nova York: Springer. ISBN 0-387-97245-5 . CS1 maint: parâmetro desencorajado ( link )