Bimodule - Bimodule

Em álgebra abstrata , um bimódulo é um grupo abeliano que é um módulo esquerdo e um direito , de modo que as multiplicações esquerda e direita são compatíveis. Além de aparecer naturalmente em muitas partes da matemática, os bimódulos desempenham um papel esclarecedor, no sentido de que muitas das relações entre os módulos esquerdo e direito se tornam mais simples quando são expressos em termos de bimódulos.

Definição

Se R e S são dois anéis , então um R - S - bimódulo é um grupo abeliano tal que: ${\ displaystyle (M, +)}$

M é um módulo R esquerdo e um módulo S direito .
Para todo r em R , s em S e m em M :

{\ displaystyle (rm) s = r (ms).}

Um R - R -bimodule também é conhecido como R -bimodule.

Exemplos

Para inteiros positivos n e m , o conjunto de M _{n , m} ( R ) de n x m matrizes de números reais é um R - S -bimodule, onde R é o anel M _n ( R ) de n x n matrizes, e S é o anel m _m ( R ) de m x m matrizes. A adição e a multiplicação são realizadas usando as regras usuais de adição e multiplicação de matrizes ; as alturas e larguras das matrizes foram escolhidas para que a multiplicação seja definida. Observe que M _{n , m} ( R ) em si não é um anel (a menos que n = m ), porque multiplicar uma matriz n × m por outra matriz n × m não é definido. A propriedade bimódulo crucial, que ( rx ) s = r ( xs ) , é a declaração de que a multiplicação de matrizes é associativa .
Se R é um anel, então o próprio R pode ser considerado um R - R -bimódulo considerando as ações esquerda e direita como multiplicação - as ações comutam por associatividade. Isso pode ser estendido para R ⁿ (o produto direto n- dobrado de R ).
Qualquer ideal bilateral de um anel R é um R - R -bimódulo.
Qualquer módulo sobre um anel comutativo R é automaticamente um bimódulo. Por exemplo, se M for um módulo esquerdo, podemos definir a multiplicação à direita como sendo a mesma que a multiplicação à esquerda. (No entanto, nem todos os R- bimódulos surgem desta forma.)
Se M é um módulo R esquerdo, então M é um bimódulo R - Z , onde Z é o anel de inteiros . Do mesmo modo, certas R -modules pode ser interpretado como Z - R -bimodules, e na verdade, um grupo abeliano pode ser tratado como um Z - Z -bimodule.
Se R é um subanel de S , então S é um R - R -bimódulo. É também um R - S - e um S - R - bimódulo.
Se M for um bimódulo S - R e N for um bimódulo R - T , então será um bimódulo S - T. ${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$

Outras noções e fatos

Se M e N são R - S -bimódulos, então um mapa f : M → N é um homomorfismo de bimódulo se for um homomorfismo de R- módulos esquerdos e de S- módulos direitos.

Um R - S -bimodule é na verdade a mesma coisa que um módulo esquerdo sobre o anel , onde está o anel oposto de S (com a multiplicação invertida). Homomorfismos de bimódulos são iguais aos homomorfismos de módulos à esquerda . Usando esses fatos, muitas definições e declarações sobre módulos podem ser imediatamente traduzidas em definições e declarações sobre bimódulos. Por exemplo, a categoria de todos os R - S -bimódulos é abeliana , e os teoremas de isomorfismo padrão são válidos para bimódulos. ${\ displaystyle R \ otimes _ {\ mathbb {Z}} S ^ {op}}$ ${\ displaystyle S ^ {op}}$ ${\ displaystyle R \ otimes _ {\ mathbb {Z}} S ^ {op}}$

No entanto, existem alguns novos efeitos no mundo dos bimódulos, especialmente quando se trata do produto tensorial : se M é um R - S -bimódulo e N é um S - T -bimódulo, então o produto tensorial de M e N (tomado sobre o anel S ) é um R - T -bimódulo de uma forma natural. Este produto tensorial de bimódulos é associativo ( até um isomorfismo canônico único), e pode-se construir uma categoria cujos objetos são os anéis e cujos morfismos são os bimódulos. Esta é de fato uma categoria 2 , de forma canônica - 2 morfismos entre R - S -bimódulos M e N são exatamente homomorfismos bimódulos, isto é, funções

{\ displaystyle f: M \ rightarrow N}

satisfatório

${\ displaystyle f (m + m ') = f (m) + f (m')}$
${\ displaystyle f (rms) = rf (m) s}$ ,

para m ∈ H , r ∈ R , e s ∈ S . Verifica-se imediatamente a lei de intercâmbio para homomorfismos de bimódulos, ou seja,

{\ displaystyle (f '\ otimes g') \ circ (f \ otimes g) = (f '\ circ f) \ otimes (g' ​​\ circ g)}

vale sempre que um (e, portanto, o outro) lado da equação é definido, e onde ∘ é a composição usual de homomorfismos. Nesta interpretação, a categoria End ( R ) = Bimod ( R , R ) é exatamente a categoria monoidal de R - R -bimódulos com o produto tensorial usual sobre R o produto tensorial da categoria. Em particular, se R é um anel conmutativo , cada esquerda ou para a direita R -module é canonicamente um de R - R -bimodule, o que dá uma incorporação monoidal da categoria R - Mod em Bimod ( R , R ) . O caso em que R é um campo K é um exemplo motivador de uma categoria monoidal simétrica, em que R - Mod = K - Vect , a categoria de espaços vetoriais sobre K , com o produto tensorial usual dando a estrutura monoidal, e com unidade K . Também vemos que um monóide em Bimod ( R , R ) é exatamente um R- álgebra. Veja (Street 2003). Além disso, se M é um R - S -bimódulo e L é um T - S -bimódulo, então o conjunto Hom _S ( M , L ) de todos os homomorfismos do módulo S de M a L se torna um módulo T - R em um moda natural. Essas declarações se estendem aos functores derivados Ext e Tor . ${\ displaystyle \ otimes = \ otimes _ {K}}$

Os profuncionais podem ser vistos como uma generalização categórica dos bimódulos.

Observe que os bimódulos não estão relacionados às bialgebras .

Veja também

profunctor

Referências

Jacobson, N. (1989). Álgebra Básica II . WH Freeman and Company. pp. 133–136. ISBN 0-7167-1933-9.

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