Distribuição Birnbaum-Saunders - Birnbaum–Saunders distribution
A distribuição Birnbaum-Saunders , também conhecida como distribuição de vida à fadiga , é uma distribuição de probabilidade amplamente usada em aplicações de confiabilidade para modelar tempos de falha. Existem várias formulações alternativas desta distribuição na literatura. É nomeado após ZW Birnbaum e SC Saunders.
Teoria
Esta distribuição foi desenvolvida para modelar falhas por rachaduras. Um material é colocado sob repetidos ciclos de tensão. O j ésimo ciclo leva a um aumento da fissura em X j . A soma de X j é considerada normalmente distribuída com média nμ e variância nσ 2 . A probabilidade de que a fissura não exceda um comprimento crítico ω é
onde Φ () é o cdf de distribuição normal.
Se T é o número de ciclos até a falha, então a função de distribuição cumulativa (cdf) de T é
A forma mais comum dessa distribuição é:
Aqui, α é o parâmetro de forma e β é o parâmetro de escala .
Propriedades
A distribuição Birnbaum-Saunders é unimodal com uma mediana de β .
A média ( μ ), variância (σ 2 ), assimetria ( γ ) e curtose ( κ ) são as seguintes:
Dado um conjunto de dados que se pensa ter uma distribuição de Birnbaum-Saunders, os valores dos parâmetros são mais bem estimados por máxima verossimilhança .
Se T é Birnbaum-Saunders distribuído com parâmetros α e β então T −1 também é Birnbaum-Saunders distribuído com parâmetros α e β −1 .
Transformação
Seja T uma variável distribuída de Birnbaum-Saunders com parâmetros α e β . Uma transformação útil de T é
- .
Equivalentemente
- .
X é, então, distribuído normalmente com uma média de zero e um desvio de α 2 /4.
Função densidade de probabilidade
A fórmula geral para a função de densidade de probabilidade (pdf) é
onde γ é o parâmetro de forma , μ é o parâmetro de localização , β é o parâmetro de escala e é a função de densidade de probabilidade da distribuição normal padrão .
Distribuição padrão da vida de fadiga
O caso em que μ = 0 e β = 1 é denominado distribuição padrão da vida à fadiga . O pdf para a distribuição padrão da vida em fadiga reduz a
Uma vez que a forma geral das funções de probabilidade pode ser expressa em termos da distribuição padrão, todas as fórmulas subsequentes são fornecidas para a forma padrão da função.
Função de distribuição cumulativa
A fórmula para a função de distribuição cumulativa é
onde Φ é a função de distribuição cumulativa da distribuição normal padrão.
Função quantil
A fórmula para a função quantil é
onde Φ −1 é a função de quantil da distribuição normal padrão.
Referências
- Birnbaum, ZW ; Saunders, SC (1969), "A new family of life distributions" , Journal of Applied Probability , 6 (2): 319-327, doi : 10.2307 / 3212003 , JSTOR 3212003
- Desmond, AF (1985), "Modelos estocásticos de falha em ambientes aleatórios", Canadian Journal of Statistics , 13 (3): 171-183, doi : 10.2307 / 3315148 , JSTOR 3315148
- Johnson, N .; Kotz, S .; Balakrishnan, N. (1995), Continuous Univariate Distributions , 2 (2ª ed.), New York: Wiley
- Lemonte, AJ; Cribari-Neto, F .; Vasconcellos, KLP (2007), "Inferência estatística melhorada para a distribuição de Birnbaum-Saunders de dois parâmetros", Computational Statistics and Data Analysis , 51 : 4656-4681, doi : 10.1016 / j.csda.2006.08.016
- Lemonte, AJ; Simas, AB; Cribari-Neto, F. (2008), "Estimadores aprimorados baseados em bootstrap para a distribuição Birnbaum-Saunders de dois parâmetros" , Journal of Statistical Computation and Simulation , 78 : 37-49, doi : 10.1080 / 10629360600903882
- Cordeiro, GM; Lemonte, AJ (2011), "A distribuição β-Birnbaum-Saunders: Uma distribuição melhorada para modelagem de vida em fadiga", Estatística Computacional e Análise de Dados , 55 (3): 1445–1461, doi : 10.1016 / j.csda.2010.10. 007
- Lemonte, AJ (2013), "Uma nova extensão da distribuição Birnbaum – Saunders", Brazilian Journal of Probability and Statistics , 27 (2): 133–149, doi : 10.1214 / 11-BJPS160
links externos
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