Traga radical - Bring radical

Em álgebra , o radical Bring ou ultraradical de um número real  a é a única raiz real do polinômio

${\ displaystyle x ^ {5} + x + a.}$

O radical Bring de um número complexo a é qualquer uma das cinco raízes do polinômio acima (é, portanto , multivalorado ) ou uma raiz específica, que geralmente é escolhida de modo que o radical Bring tenha valor real para o real a e é uma função analítica em uma vizinhança da linha real. Devido à existência de quatro pontos de ramificação , o radical Bring não pode ser definido como uma função contínua ao longo de todo o plano complexo e seu domínio de continuidade deve excluir quatro cortes de ramificação .

George Jerrard mostrou que algumas equações quínticas podem ser resolvidas de forma fechada usando radicais e radicais Bring, que foram introduzidos por Erland Bring .

Neste artigo, o radical Bring de a é denotado Para argumento real, é estranho, monotonicamente decrescente e ilimitado, com comportamento assintótico para grande . ${\ displaystyle \ operatorname {BR} (a).}$${\ displaystyle \ mathrm {BR} (a) \ sim -a ^ {1/5}}$${\ displaystyle a}$

Formas normais

A equação quíntica é bastante difícil de obter soluções para diretamente, com cinco coeficientes independentes em sua forma mais geral:

${\ displaystyle x ^ {5} + a_ {4} x ^ {4} + a_ {3} x ^ {3} + a_ {2} x ^ {2} + a_ {1} x + a_ {0} = 0. \,}$

Os vários métodos para resolver a quíntica que foram desenvolvidos geralmente tentam simplificar a quíntica usando transformações de Tschirnhaus para reduzir o número de coeficientes independentes.

Forma quíntica principal

A cíntica geral pode ser reduzida ao que é conhecido como a forma quíntica principal , com os termos quártico e cúbico removidos:

${\ displaystyle y ^ {5} + c_ {2} y ^ {2} + c_ {1} y + c_ {0} = 0 \,}$

Se as raízes de uma quíntica geral e de uma quíntica principal forem relacionadas por uma transformação de Tschirnhaus quadrática

${\ displaystyle y_ {k} = x_ {k} ^ {2} + \ alpha x_ {k} + \ beta \ ,,}$

os coeficientes α e β podem ser determinados usando a resultante , ou por meio das somas de poder das raízes e das identidades de Newton . Isso leva a um sistema de equações em α e β consistindo em uma equação quadrática e uma linear, e qualquer um dos dois conjuntos de soluções pode ser usado para obter os três coeficientes correspondentes da forma quíntica principal.

Esta forma é usada pela solução de Felix Klein para a quíntica.

Forma normal de Bring-Jerrard

É possível simplificar ainda mais a quíntica e eliminar o termo quadrático, produzindo a forma normal de Bring-Jerrard :

${\ displaystyle v ^ {5} + d_ {1} v + d_ {0} = 0. \,}$

Usar as fórmulas de soma de poder novamente com uma transformação cúbica como Tschirnhaus tentou não funciona, uma vez que o sistema de equações resultante resulta em uma equação de sexto grau. Mas, em 1796, Bring encontrou uma maneira de contornar isso usando uma transformação de Tschirnhaus quártica para relacionar as raízes de um quíntico principal às de um quíntico Bring-Jerrard:

${\ displaystyle v_ {k} = y_ {k} ^ {4} + \ alpha y_ {k} ^ {3} + \ beta y_ {k} ^ {2} + \ gamma y_ {k} + \ delta \, .}$

O parâmetro extra que esta transformação de quarta ordem fornece permitiu Bring diminuir os graus dos outros parâmetros. Isso leva a um sistema de cinco equações em seis incógnitas, que então requer a solução de uma equação cúbica e uma equação quadrática. Este método também foi descoberto por Jerrard em 1852, mas é provável que ele não tivesse conhecimento do trabalho anterior de Bring nesta área. A transformação completa pode ser realizada prontamente usando um pacote de álgebra de computador , como Mathematica ou Maple . Como seria de se esperar pela complexidade dessas transformações, as expressões resultantes podem ser enormes, principalmente quando comparadas às soluções em radicais para equações de grau inferior, levando muitos megabytes de armazenamento para uma quíntica geral com coeficientes simbólicos.

Considerada uma função algébrica, as soluções para

${\ displaystyle v ^ {5} + d_ {1} v + d_ {0} = 0 \,}$

envolvem duas variáveis, d ₁ e d ₀ ; entretanto, a redução é na verdade para uma função algébrica de uma variável, muito análoga a uma solução em radicais, uma vez que podemos reduzir ainda mais a forma Bring-Jerrard. Se nós, por exemplo, definirmos

${\ displaystyle z = {v \ over {\ sqrt [{4}] {- {\ frac {d_ {1}} {5}}}}} \,}$

então reduzimos a equação à forma

${\ displaystyle z ^ {5} -5z-4t = 0 \ ,,}$

que envolve z como uma função algébrica de uma única variável  t , onde . Uma transformação semelhante é suficiente para reduzir a equação para ${\ displaystyle t = - (d_ {0} / 4) (- d_ {1} / 5) ^ {- 5/4}}$

${\ displaystyle u ^ {5} -u + a = 0 \ ,,}$

que é a forma exigida pelo método Hermite – Kronecker – Brioschi, método de Glasser e o método Cockle – Harley de resolventes diferenciais descritos abaixo.

Brioschi forma normal

Há outra forma normal de um parâmetro para a equação quíntica, conhecida como forma normal de Brioschi

${\ displaystyle w ^ {5} -10Cw ^ {3} + 45C ^ {2} wC ^ {2} = 0,}$

que pode ser derivada usando a transformação racional de Tschirnhaus

${\ displaystyle w_ {k} = {\ frac {\ lambda + \ mu x_ {k}} {{\ frac {x_ {k} ^ {2}} {C}} - 3}}}$

para relacionar as raízes de um quíntico geral com um quíntico de Brioschi. Os valores dos parâmetros e podem ser derivados usando funções poliédricas na esfera de Riemann e estão relacionados à partição de um objeto de simetria icosaédrica em cinco objetos de simetria tetraédrica . ${\ displaystyle \ lambda \,}$${\ displaystyle \ mu \,}$

Esta transformação de Tschirnhaus é um pouco mais simples do que a difícil usada para transformar uma quíntica principal na forma de Bring-Jerrard. Essa forma normal é usada pelo método de iteração de Doyle-McMullen e pelo método de Kiepert.

Representação da série

Uma série de Taylor para radicais Bring, bem como uma representação em termos de funções hipergeométricas, pode ser derivada como segue. A equação pode ser reescrita como Ao definir a solução desejada é${\ displaystyle x ^ {5} + x + a = 0}$${\ displaystyle x ^ {5} + x = -a.}$${\ displaystyle f (x) = x ^ {5} + x,}$${\ displaystyle x = f ^ {- 1} (- a).}$

A série para pode então ser obtida por reversão da série de Taylor para (que é simplesmente ), dando ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x + x ^ {5}}$

${\ displaystyle f ^ {- 1} (a) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ binom {5k} {k}} {\ frac {(-1) ^ {k} a ^ {4k + 1}} {4k + 1}} = aa ^ {5} + 5a ^ {9} -35a ^ {13} + \ cdots,}$

onde os valores absolutos dos coeficientes formam a sequência A002294 no OEIS . A série confirma que é estranho, pois ${\ displaystyle f ^ {- 1} (a)}$

${\ displaystyle \ operatorname {BR} (-a) = f ^ {- 1} (a) = - a + a ^ {5} -5a ^ {9} + 35a ^ {13} + \ cdots = -f ^ {-1} (- a).}$

O raio de convergência da série é${\ displaystyle 4 / (5 \ cdot {\ sqrt [{4}] {5}}) \ aproximadamente 0,53499.}$

Na forma hipergeométrica , o radical Bring pode ser escrito

${\ displaystyle \ operatorname {BR} (a) = - a \, \, _ {4} F_ {3} \ left ({\ frac {1} {5}}, {\ frac {2} {5}} , {\ frac {3} {5}}, {\ frac {4} {5}}; {\ frac {1} {2}}, {\ frac {3} {4}}, {\ frac {5 } {4}}; - 5 \ left ({\ frac {5a} {4}} \ right) ^ {4} \ right)}$

Pode ser interessante comparar com as funções hipergeométricas que surgem abaixo na derivação de Glasser e o método dos resolventes diferenciais.

Solução da cíntica geral

As raízes do polinômio

${\ displaystyle x ^ {5} + px + q \,}$

pode ser expresso em termos do radical Bring como

${\ displaystyle {\ sqrt [{4}] {- {\ frac {p} {5}}}} \, \ operatorname {BR} \ left (- {\ frac {1} {4}} \ left (- {\ frac {5} {p}} \ right) ^ {\ frac {5} {4}} q \ right)}$

e seus quatro conjugados . O problema agora está reduzido à forma Bring-Jerrard em termos de equações polinomiais solucionáveis ​​e usando transformações envolvendo expressões polinomiais nas raízes apenas até o quarto grau, o que significa que a inversão da transformação pode ser feita encontrando as raízes de um polinômio solucionável em radicais. Este procedimento fornece soluções estranhas, mas quando as corretas foram encontradas por meios numéricos, as raízes da quíntia podem ser escritas em termos de raízes quadradas, raízes cúbicas e o radical Bring, que é, portanto, uma solução algébrica em termos algébricos funções (definidas de forma ampla para incluir radicais Bring) de uma única variável - uma solução algébrica da cíntica geral.

Outras caracterizações

Muitas outras caracterizações do radical Bring foram desenvolvidas, a primeira das quais é em termos de funções modulares elípticas por Charles Hermite em 1858, e métodos adicionais desenvolvidos posteriormente por outros matemáticos.

A caracterização Hermite – Kronecker – Brioschi

Em 1858, Charles Hermite publicou a primeira solução conhecida para a equação quíntica geral em termos de transcendentes elípticos e, por volta da mesma época, Francesco Brioschi e Leopold Kronecker encontraram soluções equivalentes. Hermite chegou a esta solução generalizando a solução bem conhecida para a equação cúbica em termos de funções trigonométricas e encontra a solução para uma quíntica na forma de Bring-Jerrard:

${\ displaystyle x ^ {5} -x + a = 0 \,}$

em que qualquer equação quíntica pode ser reduzida por meio de transformações de Tschirnhaus, como foi mostrado. Ele observou que as funções elípticas tinham um papel análogo a desempenhar na solução da quântica de Bring-Jerrard como as funções trigonométricas tinham para a cúbica. Se e são os períodos de uma integral elíptica de primeiro tipo: ${\ displaystyle K \,}$${\ displaystyle K '\,}$

${\ displaystyle K = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {d \ varphi} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi }}}}$

${\ displaystyle K '= \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {d \ varphi} {\ sqrt {1-k' ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi}}}}$

o nome elíptico é dado por:

${\ displaystyle q = e ^ {- {\ frac {\ pi K '} {K}}} \,}$

e

${\ displaystyle k ^ {2} + k '^ {2} = 1 \,}$

Com

${\ displaystyle q = e ^ {- {\ frac {\ pi K '} {K}}} = e ^ {{\ mathrm {i}} \ pi \ tau} \,}$

definir as duas funções modulares elípticas :

${\ displaystyle {\ sqrt [{4}] {k}} = \ varphi (\ tau) = {\ sqrt {\ frac {\ vartheta _ {10} (0; \ tau)} {\ vartheta _ {00} (0; \ tau)}}}}$

${\ displaystyle {\ sqrt [{4}] {k '}} = \ psi (\ tau) = {\ sqrt {\ frac {\ vartheta _ {01} (0; \ tau)} {\ vartheta _ {00 } (0; \ tau)}}}}$

onde e semelhantes são funções teta de Jacobi . ${\ displaystyle \ vartheta _ {00} (0; \ tau)}$

Se n for um número primo , podemos definir dois valores u e v da seguinte forma:

${\ displaystyle v = \ varphi (n \ tau) \,}$

e

${\ displaystyle u = \ varphi (\ tau) \,}$

Os parâmetros e são ligados por uma equação de grau n  + 1 conhecida como equação modular , cujas  raízes n + 1 são dadas por: ${\ displaystyle u \,}$${\ displaystyle v \,}$

${\ displaystyle \ epsilon \ varphi (n \ tau) \,}$

e

${\ displaystyle \ varphi \ left ({\ frac {\ tau + 16m} {n}} \ right) \,}$

onde ε é 1 ou −1 dependendo se 2 é um resíduo quadrático em relação a n ou não, e m é um módulo inteiro  n . Para n  = 5, temos a equação modular do sexto grau:

${\ displaystyle u ^ {6} -v ^ {6} + 5u ^ {2} v ^ {2} (u ^ {2} -v ^ {2}) + 4uv (1-u ^ {4} v ^ {4}) = 0 \,}$

com seis raízes como mostrado acima.

A equação modular do sexto grau pode ser relacionada à quântica de Bring-Jerrard pela seguinte função das seis raízes da equação modular:

${\ displaystyle \ Phi (\ tau) = \ left [\ varphi (5 \ tau) + \ varphi \ left ({\ frac {\ tau} {5}} \ right) \ right] \ left [\ varphi \ left ({\ frac {\ tau +16} {5}} \ right) - \ varphi \ left ({\ frac {\ tau +64} {5}} \ right) \ right] \ left [\ varphi \ left ( {\ frac {\ tau +32} {5}} \ right) - \ varphi \ left ({\ frac {\ tau +48} {5}} \ right) \ right] \,}$

Os cinco quantidades , , , , são as raízes de uma equação de grau com coeficientes racionais em : ${\ displaystyle \ Phi (\ tau) \,}$${\ displaystyle \ Phi (\ tau +16) \,}$${\ displaystyle \ Phi (\ tau +32) \,}$${\ displaystyle \ Phi (\ tau +48) \,}$${\ displaystyle \ Phi (\ tau +64) \,}$${\ displaystyle \ varphi (\ tau) \,}$

${\ displaystyle \ Phi ^ {5} -2000 \ varphi ^ {4} (\ tau) \ psi ^ {16} (\ tau) \ Phi +1600 {\ sqrt {5}} \ varphi ^ {3} (\ tau) \ psi ^ {16} (\ tau) \ left [1+ \ varphi ^ {8} (\ tau) \ right] = 0 \,}$

que pode ser facilmente convertido na forma Bring-Jerrard pela substituição:

${\ displaystyle \ Phi = 2 {\ sqrt [{4}] {125}} \ varphi (\ tau) \ psi ^ {4} (\ tau) x \,}$

levando à quântica de Bring-Jerrard:

${\ displaystyle x ^ {5} -x + a = 0 \,}$

Onde

${\ displaystyle a = {\ frac {2 [1+ \ varphi ^ {8} (\ tau)]} {{\ sqrt [{4}] {5 ^ {5}}} \ varphi ^ {2} (\ tau) \ psi ^ {4} (\ tau)}} \,}$

O método Hermite – Kronecker – Brioschi então resulta em encontrar um valor para τ que corresponde ao valor de a , e então usar esse valor de τ para obter as raízes da equação modular correspondente. Para fazer isso, deixe

${\ displaystyle A = {\ frac {a {\ sqrt [{4}] {5 ^ {5}}}} {2}}}$

e calcular o módulo elíptico necessário resolvendo a equação quártica: ${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle k ^ {4} + A ^ {2} k ^ {3} + 2k ^ {2} -A ^ {2} k + 1 = 0 \,}$

As raízes desta equação são:

${\ displaystyle k = \ tan {\ frac {\ alpha} {4}}, \ tan {\ frac {\ alpha +2 \ pi} {4}}, \ tan {\ frac {\ pi - \ alpha} { 4}}, \ tan {\ frac {3 \ pi - \ alpha} {4}} \,}$

onde (observe que algumas referências importantes erroneamente atribuem como ). Qualquer uma dessas raízes pode ser usada como módulo elíptico para os fins do método. O valor de pode ser facilmente obtido a partir do módulo elíptico pelas relações dadas acima. As raízes da quíntica Bring-Jerrard são dadas por: ${\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {4} {A ^ {2}}} \,}$${\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {1} {4A ^ {2}}} \,}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle k \,}$

${\ displaystyle x_ {i} = {\ frac {\ Phi (\ tau + 16i)} {2 {\ sqrt [{4}] {125}} \ varphi (\ tau) \ psi ^ {4} (\ tau )}}}$

para . ${\ displaystyle i = 0, \ ldots, 4}$

Pode-se observar que este processo utiliza uma generalização da enésima raiz , que pode ser expressa como:

${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}} = \ exp \ left ({{\ frac {1} {n}} \ ln x} \ right)}$

ou mais direto ao ponto, como

${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}} = \ exp \ left ({\ frac {1} {n}} \ int _ {1} ^ {x} {\ frac {dt} {t} }\direito).}$

O método Hermite – Kronecker – Brioschi essencialmente substitui o exponencial por uma função modular elíptica, e o integral por uma integral elíptica. Kronecker pensava que essa generalização era um caso especial de um teorema ainda mais geral, que seria aplicável a equações de grau arbitrariamente alto. Este teorema, conhecido como fórmula de Thomae , foi totalmente expresso por Hiroshi Umemura em 1984, que usou formas modulares de Siegel no lugar da função modular exponencial / elíptica, e a integral por uma integral hiperelíptica . ${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {x} {\ frac {dt} {t}}}$

Derivação de Glasser

Esta derivação devido a ML Glasser generaliza o método de série apresentado anteriormente neste artigo para encontrar uma solução para qualquer equação trinomial da forma:

${\ displaystyle x ^ {N} -x + t = 0 \, \!}$

Em particular, a equação quíntica pode ser reduzida a esta forma pelo uso de transformações de Tschirnhaus como mostrado acima. Deixe , a forma geral torna-se: ${\ displaystyle x = \ zeta ^ {- {\ frac {1} {N-1}}} \,}$

${\ displaystyle \ zeta = e ^ {2 \ pi i} + t \ phi (\ zeta) \, \!}$

Onde

${\ displaystyle \ phi (\ zeta) = \ zeta ^ {\ frac {N} {N-1}} \, \!}$

Uma fórmula devido a Lagrange afirma que para qualquer função analítica , na vizinhança de uma raiz da equação geral transformada em termos de , acima pode ser expressa como uma série infinita : ${\ displaystyle f \,}$${\ displaystyle \ zeta \,}$

${\ displaystyle f (\ zeta) = f (e ^ {2 \ pi {\ mathrm {i}}}) + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {n}} {n!}} {\ frac {d ^ {n-1}} {da ^ {n-1}}} [f '(a) | \ phi (a) | ^ {n}] _ {a = e ^ {2 \ pi {\ mathrm {i}}}}}$

Se permitirmos esta fórmula, podemos chegar à raiz: ${\ displaystyle f (\ zeta) = \ zeta ^ {- {\ frac {1} {N-1}}} \,}$

${\ displaystyle x_ {k} = e ^ {- {\ frac {2k \ pi {\ rm {i}}} {N-1}}} - {\ frac {t} {N-1}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(te ^ {\ frac {2k \ pi {\ rm {i}}} {N-1}}) ^ {n}} {\ Gamma (n + 2)}} \ cdot {\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {Nn} {N-1}} + 1 \ right)} {\ Gamma \ left ({\ frac {n} {N-1} } +1 \ direita)}}}$

${\ displaystyle k = 1,2,3, \ dots, N-1 \,}$

Pelo uso do teorema da multiplicação de Gauss, a série infinita acima pode ser dividida em uma série finita de funções hipergeométricas :

${\ displaystyle \ psi _ {n} (q) = \ left ({\ frac {e ^ {\ frac {2n \ pi {\ rm {i}}} {N-1}} t} {N-1} } \ right) ^ {q} N ^ {\ frac {qN} {N-1}} {\ frac {\ prod _ {k = 0} ^ {N-1} \ Gamma \ left ({\ frac {q } {N-1}} + {\ frac {1 + k} {N}} \ right)} {\ Gamma \ left ({\ frac {q} {N-1}} + 1 \ right) \ prod _ {k = 0} ^ {N-2} \ Gamma \ left ({\ frac {q + k + 2} {N-1}} \ right)}} = \ left ({\ frac {te ^ {\ frac {2n \ pi {\ rm {i}}} {N-1}}} {N-1}} \ direita) ^ {q} N ^ {\ frac {qN} {N-1}} \ prod _ { k = 2} ^ {N} {\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {q} {N-1}} + {\ frac {k-1} {N}} \ right)} {\ Gamma \ esquerda ({\ frac {q + k} {N-1}} \ direita)}}}$

${\ displaystyle x_ {n} = e ^ {- {\ frac {2n \ pi {\ rm {i}}} {N-1}}} - {\ frac {t} {(N-1) ^ {2 }}} {\ sqrt {\ frac {N} {2 \ pi (N-1)}}} \ sum _ {q = 0} ^ {N-2} \ psi _ {n} (q) _ {( N + 1)} F_ {N} {\ begin {bmatrix} {\ frac {qN + N-1} {N (N-1)}}, \ ldots, {\ frac {q + N-1} {N -1}}, 1; \\ [8pt] {\ frac {q + 2} {N-1}}, \ ldots, {\ frac {q + N} {N-1}}, {\ frac {q + N-1} {N-1}}; \\ [8pt] \ left ({\ frac {te ^ {\ frac {2n \ pi {\ rm {i}}} {N-1}}} {N -1}} \ right) ^ {N-1} N ^ {N} \ end {bmatrix}}, \ quad n = 1,2,3, \ dots, N-1}$

${\ displaystyle x_ {N} = \ sum _ {m = 1} ^ {N-1} {\ frac {t} {(N-1) ^ {2}}} {\ sqrt {\ frac {N} { 2 \ pi (N-1)}}} \ sum _ {q = 0} ^ {N-2} \ psi _ {m} (q) _ {(N + 1)} F_ {N} {\ begin { bmatrix} {\ frac {qN + N-1} {N (N-1)}}, \ ldots, {\ frac {q + N-1} {N-1}}, 1; \\ [8pt] { \ frac {q + 2} {N-1}}, \ ldots, {\ frac {q + N} {N-1}}, {\ frac {q + N-1} {N-1}}; \ \ [8pt] \ left ({\ frac {te ^ {\ frac {2m \ pi {\ rm {i}}} {N-1}}} {N-1}} \ right) ^ {N-1} N ^ {N} \ end {bmatrix}}}$

e o trinômio da forma tem raízes

${\ displaystyle {} _ {ax ^ {N} + bx ^ {2} + c = 0, N \ equiv 1 {\ pmod {2}}} \, \!}$

${\ displaystyle {} _ {x_ {N} = - {\ frac {a} {2b}} {\ sqrt {\ left ({\ frac {c} {b}} \ right) ^ {N-1}} } {} _ {N-1} F_ {N-2} {\ begin {bmatrix} {\ frac {N + 1} {2N}}, {\ frac {N + 3} {2N}}, \ cdots, {\ frac {N-2} {N}}, {\ frac {N-1} {N}}, {\ frac {N + 1} {N}}, {\ frac {N + 2} {N} }, \ cdots, {\ frac {3N-3} {2N}}, {\ frac {3N-1} {2N}}; \\ [8pt] {\ frac {N + 1} {2N-4}} , {\ frac {N + 3} {2N-4}}, \ cdots, {\ frac {N-4} {N-2}}, {\ frac {N-3} {N-2}}, { \ frac {N-1} {N-2}}, {\ frac {N} {N-2}}, \ cdots, {\ frac {3N-5} {2N-4}}, {\ frac {3 } {2}}; \\ [8pt] - {\ frac {a ^ {2} c ^ {N-2}} {4b ^ {N} \ left (N-2 \ right) ^ {N-2} }} \ end {bmatrix}} + {\ sqrt {\ frac {c} {b}}} {\ rm {i}} {} _ {N-1} F_ {N-2} {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {2N}}, {\ frac {3} {2N}}, \ cdots, {\ frac {N-4} {2N}}, {\ frac {N-2} {2N}} , {\ frac {N + 2} {2N}}, {\ frac {N + 4} {2N}}, \ cdots, {\ frac {2N-3} {2N}}, {\ frac {2N-1 } {2N}}; \\ [8pt] {\ frac {3} {2N-4}}, {\ frac {5} {2N-4}}, \ cdots, {\ frac {2N-3} {2N -4}}; \\ [8pt] - {\ frac {a ^ {2} c ^ {N-2}} {4b ^ {N} \ left (N-2 \ right) ^ {N-2}} } \ end {bmatrix}}}}$

${\ displaystyle {} _ {x_ {N-1} = - {\ frac {a} {2b}} {\ sqrt {\ left ({\ frac {c} {b}} \ right) ^ {N-1 }}} {} _ {N-1} F_ {N-2} {\ begin {bmatrix} {\ frac {N + 1} {2N}}, {\ frac {N + 3} {2N}}, \ cdots, {\ frac {N-2} {N}}, {\ frac {N-1} {N}}, {\ frac {N + 1} {N}}, {\ frac {N + 2} { N}}, \ cdots, {\ frac {3N-3} {2N}}, {\ frac {3N-1} {2N}}; \\ [8pt] {\ frac {N + 1} {2N-4 }}, {\ frac {N + 3} {2N-4}}, \ cdots, {\ frac {N-4} {N-2}}, {\ frac {N-3} {N-2}} , {\ frac {N-1} {N-2}}, {\ frac {N} {N-2}}, \ cdots, {\ frac {3N-5} {2N-4}}, {\ frac {3} {2}}; \\ [8pt] - {\ frac {a ^ {2} c ^ {N-2}} {4b ^ {N} \ left (N-2 \ right) ^ {N- 2}}} \ end {bmatrix}} - {\ sqrt {\ frac {c} {b}}} {\ rm {i}} {} _ {N-1} F_ {N-2} {\ begin { bmatrix} {\ frac {1} {2N}}, {\ frac {3} {2N}}, \ cdots, {\ frac {N-4} {2N}}, {\ frac {N-2} {2N }}, {\ frac {N + 2} {2N}}, {\ frac {N + 4} {2N}}, \ cdots, {\ frac {2N-3} {2N}}, {\ frac {2N -1} {2N}}; \\ [8pt] {\ frac {3} {2N-4}}, {\ frac {5} {2N-4}}, \ cdots, {\ frac {2N-3} {2N-4}}; \\ [8pt] - {\ frac {a ^ {2} c ^ {N-2}} {4b ^ {N} \ left (N-2 \ right) ^ {N-2 }}} \ end {bmatrix}}}}$

${\ displaystyle {} _ {x_ {n} = - e ^ {\ frac {2n \ pi {\ rm {i}}} {N-2}} {\ sqrt [{N-2}] {\ frac { b} {a}}} {} _ {N-1} F_ {N-2} {\ begin {bmatrix} - {\ frac {1} {N \ left (N-2 \ right)}}, - { \ frac {1} {N \ left (N-2 \ right)}} + {\ frac {1} {N}}, - {\ frac {1} {N \ left (N-2 \ right)}} + {\ frac {2} {N}}, \ cdots, - {\ frac {1} {N \ left (N-2 \ right)}} + {\ frac {1} {N}}, {\ frac {N-5} {2N}}, - {\ frac {1} {N \ left (N-2 \ right)}} + {\ frac {N-3} {2N}}, - {\ frac {1 } {N \ esquerda (N-2 \ direita)}} + {\ frac {N + 1} {2N}}, - {\ frac {1} {N \ esquerda (N-2 \ direita)}} + { \ frac {N + 3} {2N}}, \ cdots, - {\ frac {1} {N \ left (N-2 \ right)}} + {\ frac {N-1} {N}} ,; \\ [8pt] {\ frac {1} {N-2}}, {\ frac {2} {N-2}}, \ cdots, {\ frac {2N-5} {2N-4}} ,; \\ [8pt] - {\ frac {a ^ {2} c ^ {N-2}} {4b ^ {N} \ left (N-2 \ right) ^ {N-2}}} \ end {bmatrix }} +}}$

${\ displaystyle {} _ {+ {\ sqrt [{N-2}] {\ frac {b} {a}}} \ sum _ {q = 1} ^ {N-3} {\ frac {\ Gamma \ esquerda ({\ frac {2q-1} {N-2}} + q \ direita)} {\ Gamma \ esquerda ({\ frac {2q-1} {N-2}} + 1 \ direita)}} \ cdot \ left (- {\ frac {c} {b}} {\ sqrt [{N-2}] {\ frac {a ^ {2}} {b ^ {2}}}} \ right) ^ {q } \ cdot {\ frac {e ^ {{\ frac {2n \ left (1-2q \ right)} {N-2}} \ pi {\ rm {i}}}} {q!}} {} _ {N-1} F_ {N-2} {\ begin {bmatrix} {\ frac {Nq-1} {N \ left (N-2 \ right)}}, {\ frac {Nq-1} {N \ esquerda (N-2 \ direita)}} + {\ frac {1} {N}}, {\ frac {Nq-1} {N \ esquerda (N-2 \ direita)}} + {\ frac {2} {N}}, \ cdots, {\ frac {Nq-1} {N \ left (N-2 \ right)}} + {\ frac {N-3} {2N}}, {\ frac {Nq-1 } {N \ left (N-2 \ right)}} + {\ frac {N + 1} {2N}}, \ cdots, {\ frac {Nq-1} {N \ left (N-2 \ right) }} + {\ frac {N-1} {N}}; \\ [8pt] {\ frac {q + 1} {N-2}}, {\ frac {q + 2} {N-2}} , \ cdots, {\ frac {N-4} {N-2}}, {\ frac {N-3} {N-2}}, {\ frac {N-1} {N-2}}, { \ frac {N} {N-2}}, \ cdots, {\ frac {q + N-2} {N-2}}, {\ frac {2q + 2N-5} {2N-4}}; \ \ [8pt] - {\ frac {a ^ {2} c ^ {N-2}} {4b ^ {N} \ left (N-2 \ right) ^ {N-2}}} \ end {bmatrix} }, n = 1,2, \ cdots, N-2}}$

Uma raiz da equação pode, portanto, ser expressa como a soma de no máximo N  - 1 funções hipergeométricas. Aplicando este método ao quíntico Bring-Jerrard reduzido, defina as seguintes funções:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} F_ {1} (t) & = \, _ {4} F_ {3} \ left (- {\ frac {1} {20}}, {\ frac {3} { 20}}, {\ frac {7} {20}}, {\ frac {11} {20}}; {\ frac {1} {4}}, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {3} {4}}; {\ frac {3125t ^ {4}} {256}} \ right) \\ [6pt] F_ {2} (t) & = \, _ {4} F_ {3} \ left ({\ frac {1} {5}}, {\ frac {2} {5}}, {\ frac {3} {5}}, {\ frac {4} {5}}; {\ frac {1} {2}}, {\ frac {3} {4}}, {\ frac {5} {4}}; {\ frac {3125t ^ {4}} {256}} \ right) \\ [ 6pt] F_ {3} (t) & = \, _ {4} F_ {3} \ left ({\ frac {9} {20}}, {\ frac {13} {20}}, {\ frac { 17} {20}}, {\ frac {21} {20}}; {\ frac {3} {4}}, {\ frac {5} {4}}, {\ frac {3} {2}} ; {\ frac {3125t ^ {4}} {256}} \ right) \\ [6pt] F_ {4} (t) & = \, _ {4} F_ {3} \ left ({\ frac {7 } {10}}, {\ frac {9} {10}}, {\ frac {11} {10}}, {\ frac {13} {10}}; {\ frac {5} {4}}, {\ frac {3} {2}}, {\ frac {7} {4}}; {\ frac {3125t ^ {4}} {256}} \ right) \ end {alinhado}}}$

quais são as funções hipergeométricas que aparecem na fórmula da série acima. As raízes da quântica são assim:

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcrcccccc} x_ {1} & = & {} - tF_ {2} (t) \\ [8pt] x_ {2} & = & {} - F_ {1} (t) ) & + & {\ frac {1} {4}} tF_ {2} (t) & + & {\ frac {5} {32}} t ^ {2} F_ {3} (t) & + & { \ frac {5} {32}} t ^ {3} F_ {4} (t) \\ [8pt] x_ {3} & = & F_ {1} (t) & + & {\ frac {1} {4 }} tF_ {2} (t) & - & {\ frac {5} {32}} t ^ {2} F_ {3} (t) & + & {\ frac {5} {32}} t ^ { 3} F_ {4} (t) \\ [8pt] x_ {4} & = & {} - iF_ {1} (t) & + & {\ frac {1} {4}} tF_ {2} (t ) & - & {\ frac {5} {32}} it ^ {2} F_ {3} (t) & - & {\ frac {5} {32}} t ^ {3} F_ {4} (t ) \\ [8pt] x_ {5} & = & iF_ {1} (t) & + & {\ frac {1} {4}} tF_ {2} (t) & + & {\ frac {5} {32 }} it ^ {2} F_ {3} (t) & - & {\ frac {5} {32}} t ^ {3} F_ {4} (t) \ end {array}}}$

Este é essencialmente o mesmo resultado obtido pelo método a seguir.

O método de resolventes diferenciais

James Cockle e Robert Harley desenvolveram, em 1860, um método para resolver a quíntica por meio de equações diferenciais. Eles consideram as raízes como sendo funções dos coeficientes e calculam um resolvente diferencial com base nessas equações. A quíntica Bring-Jerrard é expressa como uma função:

${\ displaystyle f (x) = x ^ {5} -x + a \,}$

e uma função deve ser determinada de modo que: ${\ displaystyle \ phi (a) \,}$

${\ displaystyle f [\ phi (a)] = 0 \,}$

A função também deve satisfazer as seguintes quatro equações diferenciais: ${\ displaystyle \ phi \,}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} {\ frac {df [\ phi (a)]} {da}} = 0 \\ [6pt] {\ frac {d ^ {2} f [\ phi (a)] } {da ^ {2}}} = 0 \\ [6pt] {\ frac {d ^ {3} f [\ phi (a)]} {da ^ {3}}} = 0 \\ [6pt] { \ frac {d ^ {4} f [\ phi (a)]} {da ^ {4}}} = 0 \ end {alinhado}}}$

Expandir estes e combiná-los produz o resolvente diferencial:

${\ displaystyle {\ frac {(256-3125a ^ {4})} {1155}} {\ frac {d ^ {4} \ phi} {da ^ {4}}} - {\ frac {6250a ^ {3 }} {231}} {\ frac {d ^ {3} \ phi} {da ^ {3}}} - {\ frac {4875a ^ {2}} {77}} {\ frac {d ^ {2} \ phi} {da ^ {2}}} - {\ frac {2125a} {77}} {\ frac {d \ phi} {da}} + \ phi = 0}$

A solução do resolvente diferencial, sendo uma equação diferencial ordinária de quarta ordem, depende de quatro constantes de integração , que devem ser escolhidas de modo a satisfazer a quíntica original. Esta é uma equação diferencial ordinária Fuchsiana do tipo hipergeométrico, cuja solução acaba por ser idêntica à série de funções hipergeométricas que surgiram na derivação de Glasser acima.

Este método também pode ser generalizado para equações de grau arbitrariamente alto, com resolventes diferenciais que são equações diferenciais parciais , cujas soluções envolvem funções hipergeométricas de várias variáveis. Uma fórmula geral para resolvents diferenciais de polinômios univariados arbitrários é dada pela fórmula de powersum de Nahay.

Iteração Doyle-McMullen

Em 1989, Peter Doyle e Curt McMullen derivaram um método de iteração que resolve um quíntico na forma normal de Brioschi:

${\ displaystyle x ^ {5} -10Cx ^ {3} + 45C ^ {2} xC ^ {2} = 0. \,}$

O algoritmo de iteração procede da seguinte forma:

1. Definir ${\ displaystyle Z = 1-1728C \,}$

2. Calcule a função racional

${\ displaystyle T_ {Z} (w) = w-12 {\ frac {g (Z, w)} {g '(Z, w)}} \,}$

onde é uma função polinomial fornecida abaixo, e é a derivada de em relação a${\ displaystyle g (Z, w) \,}$${\ displaystyle g '\,}$${\ displaystyle g (Z, w) \,}$${\ displaystyle w \,}$

3. Itere em uma estimativa inicial aleatória até que converta. Chame o ponto limite e deixe . ${\ displaystyle T_ {Z} [T_ {Z} (w)] \,}$ ${\ displaystyle w_ {1} \,}$${\ displaystyle w_ {2} = T_ {Z} (w_ {1}) \,}$

4. Calcular

${\ displaystyle \ mu _ {i} = {\ frac {100Z (Z-1) h (Z, w_ {i})} {g (Z, w_ {i})}} \,}$

onde é uma função polinomial fornecida abaixo. Faça isso para e .${\ displaystyle h (Z, w) \,}$${\ displaystyle w_ {1} \,}$${\ displaystyle w_ {2} = T_ {Z} (w_ {1}) \,}$

5. Finalmente, calcule

${\ displaystyle x_ {i} = {\ frac {(9 + {\ sqrt {15}} {\ mathrm {i}}) \ mu _ {i} + (9 - {\ sqrt {15}} {\ mathrm {i}}) \ mu _ {3-i}} {90}}}$

para i  = 1, 2. Essas são duas das raízes da quíntica de Brioschi.

As duas funções polinomiais e são como se segue: ${\ displaystyle g (Z, w) \,}$${\ displaystyle h (Z, w) \,}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} g (Z, w) = {} & 91125Z ^ {6} \\ & {} + (- 133650w ^ {2} + 61560w-193536) Z ^ {5} \\ & { } + (- 66825w ^ {4} + 142560w ^ {3} + 133056w ^ {2} -61140w + 102400) Z ^ {4} \\ & {} + (5940w ^ {6} + 4752w ^ {5} + 63360w ^ {4} -140800w ^ {3}) Z ^ {3} \\ & {} + (- 1485w ^ {8} + 3168w ^ {7} -10560w ^ {6}) Z ^ {2} \\ & {} + (- 66w ^ {10} + 440w ^ {9}) Z \\ & {} + w ^ {12} \\ [8pt] h (Z, w) = {} & (1215w-648) Z ^ {4} \\ & {} + (- 540w ^ {3} -216w ^ {2} -1152w + 640) Z ^ {3} \\ & {} + (378w ^ {5} -504w ^ { 4} + 960w ^ {3}) Z ^ {2} \\ & {} + (36w ^ {7} -168w ^ {6}) Z \\ & {} + w ^ {9} \ end {alinhado} }}$

Este método de iteração produz duas raízes da quíntica. As três raízes restantes podem ser obtidas usando a divisão sintética para separar as duas raízes, produzindo uma equação cúbica. Devido à forma como a iteração é formulada, esse método parece sempre encontrar duas raízes conjugadas complexas da quíntica, mesmo quando todos os coeficientes quínticos são reais e a estimativa inicial é real. Esse método de iteração é derivado das simetrias do icosaedro e está intimamente relacionado ao método que Felix Klein descreve em seu livro.

Veja também

• Teoria das Equações

Notas