Simetria tetraédrica - Tetrahedral symmetry

Grupos de pontos em três dimensões
Grupo poliédrico , [n, 3], (* n32)
Simetria involucional C _s , (*) [] =	Simetria cíclica C _nv , (* nn) [n] =	Simetria diedral D _nh , (* n22) [n, 2] =
Simetria tetraédrica T _d , (* 332) [3,3] =	Simetria octaédrica O _h , (* 432) [4,3] =	Simetria icosaédrica I _h , (* 532) [5,3] =

Um tetraedro regular , um exemplo de um sólido com simetria tetraédrica completa

Um tetraedro regular tem 12 simetrias rotacionais (ou que preservam a orientação ) e uma ordem de simetria de 24, incluindo transformações que combinam um reflexo e uma rotação.

O grupo de todas as simetrias é isomorfo ao grupo S ₄ , o grupo simétrico de permutações de quatro objetos, uma vez que existe exatamente uma tal simetria para cada permutação dos vértices do tetraedro. O conjunto de simetrias que preservam a orientação forma um grupo denominado subgrupo alternado A ₄ de S ₄ .

Detalhes

Quiral e completo (ou simetria tetraédrica aquiral e simetria piritoédrica ) são simetrias pontuais discretas (ou equivalentemente, simetrias na esfera ). Eles estão entre os grupos de pontos cristalográficos do sistema de cristal cúbico .

Eixos giratórios
C ₃	C ₃	C ₂
2	2	3

Visto em projeção estereográfica, as bordas do hexaedro tetraquis formam 6 círculos (ou linhas radiais centrais) no plano. Cada um desses 6 círculos representa uma linha de espelho em simetria tetraédrica. A intersecção desses círculos encontra-se nos pontos de rotação da ordem 2 e 3.

Ortogonal	Projeções estereográficas
Ortogonal	4 vezes	3 vezes	2 vezes
Simetria tetraédrica quiral, T, (332), [3,3] ⁺ = [1 ⁺ , 4,3 ⁺ ], =

Simetria piritoédrica, T _h , (3 * 2), [4,3 ⁺ ],

Simetria tetraédrica aquiral, T _d , (* 332), [3,3] = [1 ⁺ 4,3], =

Simetria tetraédrica quiral

O grupo de rotação tetraédrica T com domínio fundamental ; para o tetraedro triakis , veja abaixo, o último é uma face inteira	Um tetraedro pode ser colocado em 12 posições distintas apenas por rotação . Elas são ilustradas acima no formato de gráfico de ciclo , junto com as rotações de 180 ° (setas azuis) e 120 ° de vértice (setas avermelhadas) que permutam o tetraedro através dessas posições.	No hexaedro de tetraquis, uma face inteira é um domínio fundamental; outros sólidos com a mesma simetria podem ser obtidos ajustando a orientação das faces, por exemplo, aplainando subconjuntos selecionados de faces para combinar cada subconjunto em uma face, ou substituindo cada face por múltiplas faces, ou uma superfície curva.

T , 332 , [3,3]⁺ , ou 23 , de ordem 12 - simetria tetraédrica quiral ou rotacional . Existem três eixos de rotação de duas vezes ortogonais, como a simetria diédrica quiral D ₂ ou 222, além de quatro eixos de três vezes, centralizados entre as três direções ortogonais. Este grupo é isomórfico a A ₄ , o grupo alternado de 4 elementos; na verdade, é o grupo de permutações pares dos quatro eixos triplos: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243) , (12) (34), (13) (24), (14) (23).

As classes de conjugação de T são:

identidade
4 × rotação de 120 ° no sentido horário (visto de um vértice): (234), (143), (412), (321)
4 × rotação de 120 ° no sentido anti-horário (idem)
3 × rotação em 180 °

As rotações de 180 °, juntamente com a identidade, formam um subgrupo normal do tipo Dih ₂ , com grupo quociente do tipo Z ₃ . Os três elementos deste último são a identidade, "rotação no sentido horário" e "rotação anti-horária", correspondendo às permutações dos três eixos ortogonais de 2 dobras, preservando a orientação.

A ₄ é o menor grupo demonstrando que o inverso do teorema de Lagrange não é verdadeiro em geral: dado um grupo finito G e um divisor d de | G |, não existe necessariamente um subgrupo de G com ordem d : o grupo G = A ₄ não tem subgrupo de ordem 6. Embora seja uma propriedade para o grupo abstrato em geral, é claro a partir do grupo de isometria de quiral simetria tetraédrica: por causa da quiralidade, o subgrupo teria que ser C ₆ ou D ₃ , mas nenhum se aplica.

Subgrupos de simetria tetraédrica quiral

Schoe.	Coxeter		Esfera.	HM	Geradores	Estrutura	Pedido	Índice
T	[3,3] ⁺	=	332	23	2	A ₄	12	1
D ₂	[2,2] ⁺	=	222	222	3	D ₄	4	3
C ₃	[3] ⁺		33	3	1	Z ₃	3	4
C ₂	[2] ⁺		22	2	1	Z ₂	2	6
C ₁	[] ⁺		11	1	1	Z ₁	1	12

Simetria tetraédrica aquiral

O grupo tetraédrico completo T _d com domínio fundamental

T _d , * 332 , [3,3] ou 4 3m, da ordem 24 - simetria aquiral ou tetraédrica completa , também conhecida como grupo de triângulos (2,3,3) . Este grupo tem os mesmos eixos de rotação que T, mas com seis planos espelhados, cada um através de dois eixos triplos. Os eixos duplos são agora eixos S ₄ ( 4 ). T _d e O são isomórficos como grupos abstratos: ambos correspondem a S ₄ , o grupo simétrico em 4 objetos. T _d é a união de T e o conjunto obtido pela combinação de cada elemento de O \ T com inversão. Veja também as isometrias do tetraedro regular .

As classes de conjugação de T _d são:

identidade
8 × rotação de 120 ° (C ₃ )
3 × rotação de 180 ° (C ₂ )
6 × reflexão em um plano através de dois eixos de rotação (C _s )
6 × rotorreflecção em 90 ° (S ₄ )

Subgrupos de simetria tetraédrica aquiral

Subgrupos tetraédricos aquirais

Schoe.	Coxeter	Esfera.	HM	Geradores	Estrutura	Pedido	Índice
T _d	[3,3]	* 332	4 3m	3	S ₄	24	1
C _3v	[3]	* 33	3m	2	D ₆ = S ₃	6	4
C _2v	[2]	* 22	mm2	2	D ₄	4	6
C _s	[]	*	2 ou m	1	Z ₂ = D ₂	2	12
D _2d	[2 ⁺ , 4]	2 * 2	4 2m	2	D ₈	8	3
S ₄	[2 ⁺ , 4 ⁺ ]	2 ×	4	1	Z ₄	4	6
T	[3,3] ⁺	332	23	2	A ₄	12	2
D ₂	[2,2] ⁺	222	222	2	D ₄	4	6
C ₃	[3] ⁺	33	3	1	Z ₃ = A ₃	3	8
C ₂	[2] ⁺	22	2	1	Z ₂	2	12
C ₁	[] ⁺	11	1	1	Z ₁	1	24

Simetria piritoédrica

O grupo piritoédrico T _h com domínio fundamental

As costuras de uma bola de vôlei têm simetria piritoédrica

T _h , 3 * 2 , [4,3 ⁺ ] ou m 3 , da ordem 24 - simetria piritoédrica . Este grupo tem os mesmos eixos de rotação que T, com planos espelhados em duas das direções ortogonais. Os eixos de 3 dobras agora são eixos S ₆ ( 3 ) e há uma simetria de inversão central. T _h é isomórfico a T × Z ₂ : cada elemento de T _h é um elemento de T ou combinado com inversão. Além desses dois subgrupos normais, existe também um subgrupo normal D _2h (o de um cubóide ), do tipo Dih ₂ × Z ₂ = Z ₂ × Z ₂ × Z ₂ . É o produto direto do subgrupo normal de T (veja acima) com C _i . O grupo de quocientes é igual ao anterior: do tipo Z ₃ . Os três elementos deste último são a identidade, "rotação no sentido horário" e "rotação anti-horária", correspondendo às permutações dos três eixos ortogonais de 2 dobras, preservando a orientação.

É a simetria de um cubo com em cada face um segmento de linha que divide a face em dois retângulos iguais, de modo que os segmentos de linha de faces adjacentes não se encontram na aresta. As simetrias correspondem às permutações pares das diagonais do corpo e as mesmas combinadas com inversão. É também a simetria de um piritoedro , que é extremamente semelhante ao cubo descrito, com cada retângulo substituído por um pentágono com um eixo de simetria e 4 lados iguais e 1 lado diferente (o que corresponde ao segmento de linha que divide a face do cubo) ; ou seja, as faces do cubo se projetam na linha divisória e se tornam mais estreitas ali. É um subgrupo do grupo de simetria icosaédrica completa (como grupo de isometria, não apenas como grupo abstrato), com 4 dos 10 eixos de 3 vezes.

As classes de conjugação de T _h incluem aquelas de T, com as duas classes de 4 combinadas e cada uma com inversão:

identidade
8 × rotação de 120 ° (C ₃ )
3 × rotação de 180 ° (C ₂ )
inversão (S ₂ )
8 × rotorreflecção em 60 ° (S ₆ )
3 × reflexão em um plano (C _s )

Subgrupos de simetria piritoédrica

Subgrupos piritoédricos

Schoe.	Coxeter	Esfera.	HM	Geradores	Estrutura	Pedido	Índice
T _h	[3 ⁺ , 4]	3 * 2	m 3	2	A ₄ × 2	24	1
D _2h	[2,2]	* 222	mmm	3	D ₄ × D ₂	8	3
C _2v	[2]	* 22	mm2	2	D ₄	4	6
C _s	[]	*	2 ou m	1	D ₂	2	12
C _2h	[2 ⁺ , 2]	2 *	2 / m	2	Z ₂ × D ₂	4	6
S ₂	[2 ⁺ , 2 ⁺ ]	×	1	1	Z ₂	2	12
T	[3,3] ⁺	332	23	2	A ₄	12	2
D ₃	[2,3] ⁺	322	3	2	D ₆	6	4
D ₂	[2,2] ⁺	222	222	3	D ₈	4	6
C ₃	[3] ⁺	33	3	1	Z ₃	3	8
C ₂	[2] ⁺	22	2	1	Z ₂	2	12
C ₁	[] ⁺	11	1	1	Z ₁	1	24

Sólidos com simetria tetraédrica quiral

O icosaedro colorido como um tetraedro esquisito tem simetria quiral.

Sólidos com simetria tetraédrica completa

Classe	Nome	Rostos	Arestas	Vértices
Sólido platônico	tetraedro	4	6	4
Sólido de Arquimedes	tetraedro truncado	8	18	12
Sólido catalão	triakis tetraedro	12	18	8
Sólido de quase acidente Johnson	Tetraedro truncado truncado	16	42	28
Sólido de quase acidente Johnson	Dodecaedro tetrado	28	54	28
Poliedro estrela uniforme	Tetrahemihexahedron	7	12	6

Veja também

Simetria octaédrica
Simetria icosaédrica
Grupo tetraédrico binário
Materiais de aprendizagem relacionados ao grupo Simétrico S4 na Wikiversidade

Referências

Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), p. 295
The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
NW Johnson : Geometries and Transformations , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetria finita , 11,5 grupos de Coxeter esféricos

links externos

Weisstein, Eric W. "Tetrahedral group" . MathWorld .

Languages

In other projects