Equação da anã branca de Chandrasekhar - Chandrasekhar's white dwarf equation

Em astrofísica , a equação da anã branca de Chandrasekhar é uma equação diferencial ordinária de valor inicial introduzida pelo astrofísico indiano americano Subrahmanyan Chandrasekhar , em seu estudo do potencial gravitacional de estrelas anãs brancas completamente degeneradas . A equação é lida como

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ eta ^ {2}}} {\ frac {d} {d \ eta}} \ left (\ eta ^ {2} {\ frac {d \ varphi} {d \ eta}} \ right) + (\ varphi ^ {2} -C) ^ {3/2} = 0}

com condições iniciais

{\ displaystyle \ varphi (0) = 1, \ quad \ varphi '(0) = 0}

onde mede a densidade da anã branca, é a distância radial adimensional do centro e é uma constante que está relacionada à densidade da anã branca no centro. O limite da equação é definido pela condição ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle \ eta}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle \ eta = \ eta _ {\ infty}}$

{\ displaystyle \ varphi (\ eta _ {\ infty}) = {\ sqrt {C}}.}

de modo que o intervalo de se torna . Essa condição equivale a dizer que a densidade desaparece em . ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {C}} \ leq \ varphi \ leq 1}$ ${\ displaystyle \ eta = \ eta _ {\ infty}}$

Derivação

A partir da estatística quântica de um gás de elétron completamente degenerado (todos os estados quânticos mais baixos estão ocupados), a pressão e a densidade de uma anã branca são calculadas em termos do momento máximo de elétron padronizado como , ${\ displaystyle p_ {0}}$ ${\ displaystyle x = p_ {0} / mc}$

com pressão ${\ displaystyle P = Af (x)}$

e densidade ${\ displaystyle \ rho = Bx ^ {3}}$

Onde

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} & A = {\ frac {\ pi m_ {e} ^ {4} c ^ {5}} {3h ^ {3}}} = 6,02 \ vezes 10 ^ {21} {\ texto {Pa}}, \\ & B = {\ frac {8 \ pi} {3}} m_ {p} \ mu _ {e} \ left ({\ frac {m_ {e} c} {h}} \ direita) ^ {3} = 9,82 \ vezes 10 ^ {8} \ mu _ {e} {\ text {kg / m}} ^ {3}, \\ & f (x) = x (2x ^ {2} - 3) (x ^ {2} +1) ^ {1/2} +3 \ sinh ^ {- 1} x, \ end {alinhado}}}

${\ displaystyle \ mu _ {e}}$ é o peso molecular médio do gás e é a altura de um pequeno cubo de gás com apenas dois estados possíveis. ${\ displaystyle h}$

Quando isso é substituído na equação de equilíbrio hidrostático

{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ left ({\ frac {r ^ {2}} {\ rho}} {\ frac {dP } {dr}} \ right) = - 4 \ pi G \ rho}

onde está a constante gravitacional e é a distância radial, obtemos ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle r}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ left (r ^ {2} {\ frac {d {\ sqrt {x ^ {2} + 1}}} {dr}} \ right) = - {\ frac {\ pi GB ^ {2}} {2A}} x ^ {3}}

e deixando , nós temos ${\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {2} +1}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ left (r ^ {2} {\ frac {dy} {dr}} \ right) = - {\ frac {\ pi GB ^ {2}} {2A}} (y ​​^ {2} -1) ^ {3/2}}

Se denotarmos a densidade na origem como , então uma escala não dimensional ${\ displaystyle \ rho _ {o} = Bx_ {o} ^ {3} = B (y_ {o} ^ {2} -1) ^ {3/2}}$

{\ displaystyle r = \ left ({\ frac {2A} {\ pi GB ^ {2}}} \ right) ^ {1/2} {\ frac {\ eta} {y_ {o}}}, \ quad y = y_ {o} \ varphi}

dá

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ eta ^ {2}}} {\ frac {d} {d \ eta}} \ left (\ eta ^ {2} {\ frac {d \ varphi} {d \ eta}} \ right) + (\ varphi ^ {2} -C) ^ {3/2} = 0}

onde . Em outras palavras, uma vez que a equação acima seja resolvida, a densidade é dada por ${\ displaystyle C = 1 / y_ {o} ^ {2}}$

{\ displaystyle \ rho = By_ {o} ^ {3} \ left (\ varphi ^ {2} - {\ frac {1} {y_ {o} ^ {2}}} \ right) ^ {3/2} .}

O interior da massa para um ponto especificado pode então ser calculado

{\ displaystyle M (\ eta) = - {\ frac {4 \ pi} {B ^ {2}}} \ left ({\ frac {2A} {\ pi G}} \ right) ^ {3/2} \ eta ^ {2} {\ frac {d \ varphi} {d \ eta}}.}

A relação raio-massa da anã branca é geralmente traçada no plano - . ${\ displaystyle \ eta _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle M (\ eta _ {\ infty})}$

Solução perto da origem

Na vizinhança da origem , Chandrasekhar proporcionou uma expansão assintótica como ${\ displaystyle \ eta \ ll 1}$

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ varphi = {} & 1 - {\ frac {q ^ {3}} {6}} \ eta ^ {2} + {\ frac {q ^ {4}} {40} } \ eta ^ {4} - {\ frac {q ^ {5} (5q ^ {2} +14)} {7!}} \ eta ^ {6} \\ [6pt] & {} + {\ frac {q ^ {6} (339q ^ {2} +280)} {3 \ vezes 9!}} \ eta ^ {8} - {\ frac {q ^ {7} (1425q ^ {4} + 11346q ^ { 2} +4256)} {5 \ times 11!}} \ Eta ^ {10} + \ cdots \ end {alinhados}}}

onde . Ele também forneceu soluções numéricas para o intervalo . ${\ displaystyle q ^ {2} = C-1}$ ${\ displaystyle C = 0,01-0,8}$

Equação para pequenas densidades centrais

Quando a densidade central é pequena, a equação pode ser reduzida a uma equação de Lane-Emden , introduzindo ${\ displaystyle \ rho _ {o} = Bx_ {o} ^ {3} = B (y_ {o} ^ {2} -1) ^ {3/2}}$

{\ displaystyle \ xi = {\ sqrt {2}} \ eta, \ qquad \ theta = \ varphi ^ {2} -C = \ varphi ^ {2} -1 + x_ {o} ^ {2} + O ( x_ {o} ^ {4})}

para obter na ordem principal, a seguinte equação

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ xi ^ {2}}} {\ frac {d} {d \ xi}} \ left (\ xi ^ {2} {\ frac {d \ theta} {d \ xi}} \ direita) = - \ theta ^ {3/2}}

sujeito às condições e . Observe que, embora a equação se reduza à equação de Lane-Emden com índice politrópico , a condição inicial não é a da equação de Lane-Emden. ${\ displaystyle \ theta (0) = x_ {o} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ theta '(0) = 0}$ ${\ displaystyle 3/2}$

Limitando a massa para grandes densidades centrais

Quando a densidade central se torna grande, ou seja, ou de forma equivalente , a equação governante se reduz a ${\ displaystyle y_ {o} \ rightarrow \ infty}$ ${\ displaystyle C \ rightarrow 0}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ eta ^ {2}}} {\ frac {d} {d \ eta}} \ left (\ eta ^ {2} {\ frac {d \ varphi} {d \ eta}} \ right) = - \ varphi ^ {3}}

sujeito às condições e . Esta é exatamente a equação de Lane-Emden com índice politrópico . Observe que neste limite de grandes densidades, o raio ${\ displaystyle \ varphi (0) = 1}$ ${\ displaystyle \ varphi '(0) = 0}$ ${\ displaystyle 3}$