Chandrasekhar-Wentzel lema - Chandrasekhar–Wentzel lemma

No cálculo de vetor , Chandrasekhar-Wentzel lema foi derivado por Subrahmanyan Chandrasekhar e Gregor Wentzel em 1965, enquanto o estudo da estabilidade de rotação da gota de líquido. O lema afirma que se é uma superfície delimitada por um contorno fechado simples , em seguida,${\ Displaystyle \ mathbf {S}}$${\ Displaystyle C}$

${\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ onto _ {C} \ mathbf {x} \ vezes (d \ mathbf {x} \ vezes \ mathbf {n}) = - \ int _ {\ mathbf {S}} ( \ mathbf {x} \ \ vezes mathbf {n}) \ nabla \ cdot \ mathbf {n} \} dS.$

Aqui é o vetor posição e é a unidade normais na superfície. Uma consequência imediata é que, se é uma superfície fechada, em seguida, o integral de linha tende a zero, que conduz ao resultado, ${\ Displaystyle \ mathbf {x}}$${\ Displaystyle \ mathbf {n}}$${\ Displaystyle \ mathbf {S}}$

${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbf {S}} (\ mathbf {x} \ vezes \ mathbf {n}) \ nabla \ cdot \ mathbf {n} \ ds = 0,}$

ou, em notação índice, temos

${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbf {S}} x_ {j} \ nabla \ cdot \ mathbf {n} \ DS_ {k} = \ int _ {\ mathbf {S}} x_ {k} \ nabla \ cdot \ mathbf {n} \ DS_ {j}.}$

Isso quer dizer que o tensor

${\ Displaystyle T_ {ij} = \ int _ {\ mathbf {S}} x_ {j} \ nabla \ cdot \ mathbf {n} \ DS_ {i}}$

definida sobre uma superfície fechada é sempre simétrica, isto é, . ${\ Displaystyle T_ {ij} = T_ {ji}}$

Prova

Vamos escrever o vetor na notação de índice, mas convenção somatório serão evitados durante todo a prova. Em seguida, do lado esquerdo pode ser escrita como

${\ Displaystyle L_ {i} = \ onto _ {C} [dx_ {i} (n_ {i} x_ {j} + n_ {k} x_ {k}) + dx_ {j} (- N_ {i} x_ {J}) + dx_ {k} (-. n_ {i} x_ {k})]}$

Convertendo a integral de linha à superfície integral usando o teorema de Stokes , obtemos

${\ Displaystyle L_ {i} = \ int _ {\ mathbf {S}} \ esquerda \ {n_ {i} \ esquerda [{\ frac {\ parcial} {\ x_ parcial {j}}} (- N_ {i } x_ {k}) - {\ frac {\ parcial} {\ x_ parcial {k}}} (- N_ {i} x_ {J}) \ direita] + n_ {j} \ esquerda [{\ frac {\ parcial} {\ x_ parcial {k}}} (n_ {j} x_ {j} + n_ {k} x_ {k}) - {\ frac {\ parcial} {\ x_ parcial {i}}} (- n_ {i} x_ {k}) \ direita] + n_ {k} \ esquerda [{\ frac {\ parcial} {\ x_ parcial {i}}} (- N_ {i} x_ {J}) - {\ frac {\ parciais} {\ x_ parcial {j}}} (n_ {j} x_ {j} + N_ {k} {k} X_) \] \ certas direitas \} \} dS.$

Realizar a diferenciação necessária e depois de algum rearranjo, obtemos

${\ Displaystyle L_ {i} = \ int _ {\ mathbf {S}} \ esquerda [- {\ frac {1} {2}} x_ {k} {\ frac {\ parcial} {\ x_ parcial {j} }} (n_ {i} ^ {2} + n_ {k} ^ {2}) + {\ frac {1} {2}} x_ {j} {\ frac {\ parcial} {\ x_ parcial {k} }} (n_ {i} ^ {2} + n_ {j} ^ {2}) + n_ {j} x_ {k} \ esquerda ({\ frac {\ n_ parcial {i}} {\ x_ parcial {i }}} + {\ frac {\ n_ parcial {k} {} \ x_ parcial {k}}} \ direita) -n_ {k} x_ {j} \ esquerda ({\ frac {\ n_ parcial {i}} {\ x_ parcial {i}}} + {\ frac {\ N_ parcial {j}} {\ x_ parcial {j}}} \ direita) \ direita] \ dS,}$

ou, em outras palavras,

${\ Displaystyle L_ {i} = \ int _ {\ mathbf {S}} \ esquerda [{\ frac {1} {2}} \ esquerda (x_ {j} {\ frac {\ parcial} {\ x_ parcial { k}}} - x_ {k} {\ frac {\ parcial} {\ x_ parcial {j}}} \ direita) | \ mathbf {n} | ^ {2} - (x_ {j} n_ {k} - x_ {k} N_ {j}) \ nabla \ cdot \ mathbf {n} \] \ certas dS.}$

E uma vez que , temos ${\ Displaystyle | \ mathbf {n} | ^ {2} = 1}$

${\ Displaystyle L_ {i} = - \ int _ {\ mathbf {S}} (x_ {j} n_ {k} {k} -x_ N_ {j}) \ nabla \ cdot \ mathbf {n} \ DS, }$

provando assim o lema.

Referências