anel Composição - Composition ring

Em matemática , um anel de composição , introduzido em ( Adler 1962 ), é um anel conmutativo ( R , 0, +, -, ·), possivelmente, sem uma identidade 1 (ver anel não-unital ), em conjunto com uma operação

${\ Displaystyle \ circ: R \ times R \ rightarrow R}$

de tal modo que, para todos os três elementos tem ${\ Displaystyle f, g, h \ em R}$

1. ${\ Displaystyle (f + g) \ circ h = (f \ circ H) + (g \ circ h)}$
2. ${\ Displaystyle (f \ cdot g) \ circ h = (f \ circ H) \ cdot (g \ circ h)}$
3. ${\ Displaystyle (f \ circ g) \ circ h = f \ circ (g \ circ h).}$

É não geralmente o caso que , nem é geralmente o caso que (ou ) tem qualquer relação algébrica para e . ${\ Displaystyle f \ circ g = g \ circ f}$${\ Displaystyle f \ circ (g + h)}$${\ Displaystyle f \ circ (g \ cdot h)}$${\ Displaystyle f \ circ g}$${\ Displaystyle f \ circ h}$

Exemplos

Existem algumas maneiras de fazer um anel comutativo R em um anel composição sem introduzir nada de novo.

• Composição pode ser definida por para todos os f , g . O anel composição resultante é um tanto desinteressante.${\ Displaystyle f \ circ g = 0}$
• Composição pode ser definida por para todos os f , g . Esta é a regra de composição para as funções constantes.${\ Displaystyle f \ circ g = f}$
• Se R é um anel booleano , em seguida multiplicação pode funcionar como composição: para todos os f , g .${\ Displaystyle f \ circ g = FG}$

Mais exemplos interessantes podem ser formados através da definição de uma composição no outro anel construído a partir de R .

• O anel polinomial R [ X ] é um anel onde composição para todos .${\ Displaystyle (f \ circ g) (x) = f (G (x))}$${\ Displaystyle f, g \ em R}$
• O anel de formal de série de potências R [[ X ]] tem também uma operação de substituição, mas ele é apenas definida se a série de g a ser substituído possui de zero constante prazo (se não, o termo constante do resultado seria dado por uma série infinita com coeficientes arbitrárias). Portanto, o subconjunto de R [[ X ]] formado por séries de potência constante com zero de coeficiente pode ser feita em um anel de composição com a composição dada pela mesma regra de substituição como para polinómios. Desde séries constantes diferentes de zero estão ausentes, este anel composição não tem uma unidade multiplicativo.
• Se R é um domínio integral, o campo R ( X ) de funções racionais também tem uma operação de substituição derivado daquele de polinómios: partindo de uma fracção g ₁ / g ₂ para X para um polinómio de grau n dá uma função racional com denominador , e substituindo numa fracção é dada pela${\ Displaystyle g_ {2} ^ {n}}$

${\ Displaystyle {\ frac {f_ {1}} {f_ {2}}} \ circ g = {\ frac {f_ {1} \ circ g} {f_ {2} \ circ g}}.}$

No entanto, como para séries poder formal, a composição pode nem sempre ser definida quando a direita operando g é uma constante: na fórmula dada o denominador não deve ser identicamente zero. Deve-se, portanto, limitar a um subanel de R ( X ) para ter uma operação de composição bem definida; um subanel adequado é dada pelas funções racionais de que o numerador tem zero termo constante, mas diferente de zero o denominador tem termo constante. Novamente este anel composição tem nenhuma unidade multiplicativo; se R é um campo, é na verdade um subanillo do exemplo formais série de potência.${\ F_ displaystyle {2} \ circ g}$

• O conjunto de todas as funções de R para R sob adição pontual e multiplicação, e com determinado pela composição de funções, é um anel de composição. Existem inúmeras variações dessa ideia, como o anel de funções contínuas, lisas, holomorfas, ou polinomiais de um anel para si mesmo, quando esses conceitos faz sentido.${\ Displaystyle \ circ}$

Para um exemplo concreto tirar o anel , considerado como o anel de mapas polinomiais dos inteiros para si. Um anel endomorfismo ${\ Displaystyle {\ mathbb {Z}} [x]}$

${\ Displaystyle F: {\ mathbb {Z}} [x] \ rightarrow {\ mathbb {Z}} [x]}$

de é determinada pela imagem debaixo da variável , que designamos por ${\ Displaystyle {\ mathbb {Z}} [x]}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle f = F (x)}$

e esta imagem pode ser qualquer elemento . Portanto, pode-se considerar os elementos como endomorfismos e atribuir , em conformidade. Verifica-se facilmente que satisfaz os axiomas acima. Por exemplo, tem-se ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle {\ mathbb {Z}} [x]}$${\ Displaystyle f \ em {\ mathbb {Z}} [x]}$${\ Displaystyle \ circ: {\ mathbb {Z}} [x] \ vezes {\ mathbb {Z}} [x] \ rightarrow {\ mathbb {Z}} [x]}$${\ Displaystyle {\ mathbb {Z}} [x]}$

${\ Displaystyle (x ^ {2} + 3x + 5) \ circ (x-2) = (x-2) ^ {2} 3 (x-2) + 5 = x ^ {2} -x + 3 .}$

Este exemplo é isomorfo para o exemplo dado por R [ X ] com R igual a , e também para o subanel de todas as funções formadas pelas funções polinomiais. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ a \ mathbb {Z}}$

Veja também

• operador de composição
• decomposição polinomial
• matriz Carleman

Referências

• Adler, Irving (1962), "anéis de composição" , Duke Mathematical Journal , 29 (4): 607-623, DOI : 10,1215 / S0012-7094-62-02961-7 , ISSN  0.012-7.094 , MR  0.142.573