Malha de Coxeter-Todd - Coxeter–Todd lattice

Em matemática, a rede Coxeter-Todd K 12 , descoberta por Coxeter e Todd  ( 1953 ), é uma rede integral par 12-dimensional do discriminante 3 6 sem vetores de norma-2. É a sub- rede da rede Leech fixada por um certo automorfismo de ordem 3 e é análoga à rede Barnes-Wall . O grupo de automorfismo da rede Coxeter – Todd tem ordem 2 10 · 3 7 · 5 · 7 = 78382080, e há 756 vetores nesta rede da norma 4 (os menores vetores não nulos nesta rede).

Propriedades

A rede Coxeter-Todd pode ser transformada em uma rede 6-dimensional autodual sobre os inteiros de Eisenstein. O grupo de automorfismo desta rede complexa tem índice 2 no grupo de automorfismo completo da rede de Coxeter-Todd e é um grupo de reflexão complexo (número 34 na lista) com estrutura 6.PSU 4 ( F 3 ) .2, chamado de Mitchell grupo .

O gênero da rede Coxeter-Todd foi descrito por ( Scharlau & Venkov 1995 ) e tem 10 classes de isometria: todas elas, exceto a rede Coxeter-Todd, têm um sistema de raízes de classificação máxima 12.

Construção

Com base na página da web da Nebe , podemos definir K 12 usando os seguintes 6 vetores em coordenadas complexas de 6 dimensões. ω é um número complexo de ordem 3, ou seja, ω 3 = 1.

(1,0,0,0,0,0), (0,1,0,0,0,0), (0,0,1,0,0,0),

½ (1, ω, ω, 1,0,0), ½ (ω, 1, ω, 0,1,0), ½ (ω, ω, 1,0,0,1)

Adicionando vetores com produto escalar -½ e multiplicando por ω, podemos obter todos os vetores da rede. Temos 15 combinações de dois zeros vezes 16 sinais possíveis, resultando em 240 vetores; mais 6 vetores unitários vezes 2 para sinais resulta em 240 + 12 = 252 vetores. Multiplique por 3 usando a multiplicação por ω e obtemos 756 vetores unitários na rede K 12 .

Leitura adicional

A rede Coxeter-Todd é descrita em detalhes em ( Conway & Sloane 1999 , seção 4.9) e ( Conway & Sloane 1983 ).

Referências

  • Conway, JH; Sloane, NJA (1983), "The Coxeter-Todd lattice, the Mitchell group, and related sphere packings", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 93 (3): 421-440, doi : 10.1017 / S0305004100060746 , MR   0698347
  • Conway, John Horton ; Sloane, Neil JA (1999), Sphere Packings, Lattices and Groups , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3ª ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4757-2016-7 , ISBN   978-0-387-98585-5 , MR   0920369
  • Coxeter, HSM; Todd, JA (1953), "An extreme duodenary form", Canadian Journal of Mathematics , 5 : 384-392, doi : 10.4153 / CJM-1953-043-4 , MR   0055381
  • Scharlau, Rudolf; Venkov, Boris B. (1995), "The genus of the Coxeter-Todd lattice" , Preprint , arquivado do original em 2007-06-12

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