Cross-spectrum - Cross-spectrum

Na análise de séries de tempo , o espectro cruzado é usado como parte de um domínio de frequência análise da correlação cruzada ou transversal covariância entre duas séries de tempo.

Definição

Deixe que representam um par de processos estocásticos que são conjuntamente sentido amplo estacionário com autocovariância funções e e transversal covariância função . Em seguida, o espectro cruzado é definida como a transformada de Fourier de${\ Displaystyle (X_ {t}, Y_ {t})}$${\ Displaystyle \ gamma _ {xx}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {yy}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {xy}}$ ${\ Displaystyle \ Gamma _ {xy}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {xy}}$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {xy} (f) = {\ mathcal {F}} \ {\ gama _ {xy} \} (f) = \ soma _ {\ tau = - \ infty} ^ {\ infty} \, \ _ gama {xy} (\ tau) \, e ^ {- 2 \, \ pi \, i \, \ tau \, f},}$

Onde

${\ Displaystyle \ gama _ {xy} (\ tau) = \ operatorname {E} [(x_ {t} - \ mu _ {x}) (Y_ {t + \ tau} - \ mu _ {y})]}$ .

O espectro cruzado tem representações como uma decomposição em (i) a parte real (co-espectro) e (ii) a sua parte imaginária (espectro de quadratura)

${\ Displaystyle \ Gamma _ {xy} (f) = \ _ {Lambda xy} (f), + i \ _ {Psi xy} (f),}$

e (ii) em coordenadas polares

${\ Displaystyle \ Gamma _ {xy} (f) = A_ {xy} (f) \, e ^ {i \ phi _ {xy} (f)}.}$

Aqui, o espectro de amplitude é dada por ${\ Displaystyle A_ {xy}}$

${\ Displaystyle A_ {xy} (f) = (\ Lambda _ {xy} (f) ^ {2} + \ Psi _ {xy} (f) ^ {2}) ^ {\ frac {1} {2} },}$

e o espectro de fase é dado por ${\ Displaystyle \ Phi _ {xy}}$

${\ Displaystyle {\ begin {casos} \ tan ^ {- 1} (\ Psi _ {xy} (f) / \ Lambda _ {xy} (f)) & {\ text {if}} \ Psi _ {xy } (f) \ neq 0 {\ text {e}} \ Lambda _ {xy} (f) \ neq 0 \\ 0 & {\ text {if}} \ Psi _ {xy} (f) = 0 {\ text {e}} \ Lambda _ {xy} (f)> 0 \\\ pm \ pi & {\ text {if}} \ Psi _ {xy} (f) = 0 {\ text {e}} \ Lambda _ {xy} (f) <0 \\\ pi / 2 & {\ text {if}} \ Psi _ {xy} (f)> 0 {\ text {e}} \ Lambda _ {xy} (f) = 0 \\\ pi / 2 & {\ text {if}} \ Psi _ {xy} (f) <0 {\ text {e}} \ Lambda _ {xy} (f) = 0 \\\ end {casos} }}$

espectro de coerência ao quadrado

O quadrado espectro de coerência é dada por

${\ Displaystyle \ kappa _ {xy} (f) = {\ frac {A_ {xy ^} {2}} {\ Gamma _ {xx} (f) \ _ {Gama yy} (f)}},}$

que expressa o espectro de amplitude em unidades adimensionais.

Veja também

• A correlação cruzada
• Espectro de força
• Correlação escalado

Referências