medida discreta - Discrete measure

Representação esquemática da medida de Dirac por uma linha encimado por uma seta. A medida de Dirac é uma medida discreta cujo apoio é o ponto 0. A medida de Dirac de qualquer conjunto que contém 0 é 1, e a medida de qualquer conjunto não contendo 0 é 0.

Em matemática , mais precisamente na teoria da medida , uma medida sobre a verdadeira linha é chamada de medida discreta (no que diz respeito à medida de Lebesgue ) se ele está concentrado em um , no máximo, conjunto contável . Note-se que o apoio não precisa ser um conjunto discreto . Geometricamente, uma medida discreta (na reta real, em relação à medida de Lebesgue) é uma coleção de massas pontuais.

Definição e propriedades

Uma medida definida sobre os conjuntos mensuráveis Lebesgue da linha real com valores em é dito ser discreto se existe uma (possivelmente limitado) sequência de números ${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle [0, \ infty]}$

${\ Displaystyle s_ {1}, s_ {2}, \ dots \,}$

de tal modo que

${\ Displaystyle \ mu (\ mathbb {R} \ barra invertida \ s_ {{1}, s_ {2}, \ \ pontos}) = 0.}$

O exemplo mais simples de uma medida discreta na linha real é a função delta de Dirac Um tem e ${\ Displaystyle \ delta.}$${\ Displaystyle \ delta (\ mathbb {R} \ barra invertida \ {0 \}) = 0}$${\ Displaystyle \ delta (\ {0 \}) = 1.}$

De modo mais geral, se é uma sequência de (possivelmente finito) de números reais, é uma sequência de números em do mesmo comprimento, pode-se considerar as medidas de Dirac definidos pela ${\ Displaystyle s_ {1}, s_ {2}, \ dots}$${\ Displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ dots}$${\ Displaystyle [0, \ infty]}$ ${\ Displaystyle \ delta _ {s_ {i}}}$

${\ Displaystyle \ delta _ {s_ {i}} (X) = {\ begin {casos} 1 e {\ mbox {if}} s_ {i} \ in X \\ 0 & {\ mbox {if}} s_ {i } \ não \ in X \\\ end {casos}}}$

para qualquer conjunto mensurável Lebesgue Então, a medida ${\ Displaystyle X.}$

${\ Displaystyle \ mu = \ soma _ {i} a_ {i} \ delta _ s_ {{i}}}$

é uma medida discreta. Na verdade, pode-se provar que qualquer medida discreto sobre a linha real tem esta forma para sequências apropriadamente escolhidas e${\ Displaystyle s_ {1}, s_ {2}, \ dots}$${\ Displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ dots}$

extensões

Pode-se estender a noção de medidas discretas para mais gerais espaços de medida . Dado um espaço mensurável e duas medidas e sobre ele, é dito ser discreto em relação ao se existe um subconjunto no máximo contáveis de tal modo que ${\ Displaystyle (X, \ Sigma),}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$

1. Todos os únicos com em são mensuráveis (o que implica que qualquer subconjunto de é mensurável)${\ Displaystyle \ {s \}}$${\ Displaystyle s}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$
2. ${\ Displaystyle \ nu (S) = 0 \,}$
3. ${\ Displaystyle \ mu (X \ barra invertida S) = 0. \,}$

Observe que os dois primeiros sejam satisfeitos para um subconjunto, no máximo contável da linha real, se é a medida de Lebesgue, para que eles não eram necessários na primeira definição acima. ${\ Displaystyle \ nu}$

Como no caso de medidas sobre a linha real, uma medida em é discreto em relação a uma outra medida no mesmo espaço, se e somente se tem a forma ${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle (X, \ Sigma)}$${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle \ mu}$

${\ Displaystyle \ mu = \ soma _ {i} a_ {i} \ delta _ s_ {{i}}}$

onde os singletons estão em e sua medida é 0. ${\ Displaystyle S = \ s_ {{1}, S_ {2}, \ \} pontos,}$${\ Displaystyle \ {s_ {i} \}}$${\ Displaystyle \ Sigma,}$${\ Displaystyle \ nu}$

Pode-se também definir o conceito de singularidade para medidas assinados . Então, em vez de condições 2 e 3 acima deve-se perguntar que ser zero em todos os subconjuntos mensuráveis de e ser zero em subconjuntos mensuráveis de${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle X \ barra invertida S.}$

Referências

• Kurbatov, VG (1999). Funcional operadores diferenciais e equações . Kluwer Academic Publishers. ISBN  0-7923-5624-1 .

links externos

• AP Terekhin (2001) [1994], "medida discreta" , em Hazewinkel, Michiel , Encyclopedia of Mathematics , Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-1-55608-010-4