Relação de dualidade onda-partícula - Wave–particle duality relation

A relação de dualidade onda-partícula , muitas vezes referida vagamente como a relação de dualidade Englert-Greenberger-Yasin , ou a relação Englert-Greenberger , relaciona a visibilidade , de franjas de interferência com a definição, ou distinguibilidade, dos caminhos dos fótons em óptica quântica . Como uma desigualdade: ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle D ^ {2} + V ^ {2} \ leq 1 \,}$

Embora seja tratada como uma relação única, na verdade envolve duas relações separadas, que matematicamente parecem muito semelhantes. A primeira relação, derivada por Greenberger e Yasin em 1988, é expressa como . Posteriormente, foi estendido por Jaeger, Shimony e Vaidman em 1995. Essa relação envolve adivinhar corretamente qual dos dois caminhos a partícula teria tomado, com base na preparação inicial. Aqui pode ser chamado de previsibilidade. Um ano depois , Englert , em 1996, derivou uma relação relacionada que tratava da aquisição experimental do conhecimento dos dois caminhos por meio de um aparato, em vez de prever o caminho com base na preparação inicial. Essa relação é . Aqui é chamado de distinguibilidade. ${\ displaystyle P ^ {2} + V ^ {2} \ leq 1 \,}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle D ^ {2} + V ^ {2} \ leq 1 \,}$${\ displaystyle D}$

O significado das relações é que elas expressam quantitativamente a complementaridade dos pontos de vista de ondas e partículas em experimentos de dupla fenda . O princípio da complementaridade em mecânica quântica , formulado por Niels Bohr , diz que os aspectos de onda e partícula de objetos quânticos não podem ser observados ao mesmo tempo. As relações de dualidade onda-partícula tornam a afirmação de Bohr mais quantitativa - um experimento pode fornecer informações parciais sobre os aspectos de onda e partícula de um fóton simultaneamente, mas quanto mais informações um determinado experimento fornece sobre um, menos ele dará sobre o outro. A previsibilidade que expressa o grau de probabilidade com que o caminho da partícula pode ser adivinhado corretamente e a distinguibilidade, que é o grau em que se pode adquirir experimentalmente informações sobre o caminho da partícula, são medidas da informação da partícula, enquanto a visibilidade das franjas é uma medida da informação da onda. As relações mostram que estão inversamente relacionadas, à medida que uma sobe e a outra desce. ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle V}$

A matemática da difração de duas fendas

Esta seção revisa a formulação matemática do experimento de dupla fenda . A formulação é em termos da difração e interferência das ondas. O ponto culminante do desenvolvimento é a apresentação de dois números que caracterizam a visibilidade das franjas de interferência no experimento, ligados entre si pela relação de dualidade Englert-Greenberger . A próxima seção discutirá a interpretação ortodoxa da mecânica quântica da relação de dualidade em termos de dualidade onda-partícula. Sobre esse experimento, Richard Feynman disse certa vez que ele "contém o coração da mecânica quântica. Na realidade, ele contém o único mistério".

A função de onda no experimento de abertura dupla de Young pode ser escrita como

${\ displaystyle \ Psi _ {\ text {Total}} (x) = \ Psi _ {A} (x) + \ Psi _ {B} (x).}$

A função

${\ displaystyle \ Psi _ {A} (x) = C_ {A} \ Psi _ {0} (x-x_ {A})}$

é a função de onda associada ao orifício em A centrado em ; uma relação semelhante é válido para pinhole B . A variável é uma posição no espaço a jusante das fendas. As constantes e são fatores de proporcionalidade para as amplitudes de onda correspondentes e é a função de onda de orifício único para uma abertura centrada na origem. A função de onda de um único orifício é considerada a da difração de Fraunhofer ; o formato do orifício é irrelevante e os orifícios são considerados idealizados. A onda é considerada como tendo um momento de incidente fixo : ${\ displaystyle x_ {A}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle C_ {A}}$${\ displaystyle C_ {B}}$${\ displaystyle \ Psi _ {0} (x)}$${\ displaystyle p_ {0} = h / \ lambda}$

${\ displaystyle \ Psi _ {0} (x) \ propto {\ frac {e ^ {ip_ {0} \ cdot | x | / \ hbar}} {| x |}}}$

onde é a distância radial do orifício. ${\ displaystyle | x |}$

Para distinguir por qual orifício o fóton passou, é necessário medir a capacidade de distinção entre os orifícios. Tal medida é dada por

${\ displaystyle P = | P_ {A} -P_ {B} |, \,}$

onde e são as probabilidades de descobrir que a partícula passou pela abertura A e pela abertura B, respectivamente. ${\ displaystyle P_ {A}}$${\ displaystyle P_ {B}}$

Uma vez que a medida da probabilidade de Born é dada por

${\ displaystyle P_ {A} = {\ frac {| C_ {A} | ^ {2}} {| C_ {A} | ^ {2} + | C_ {B} | ^ {2}}}}$

e

${\ displaystyle P_ {B} = {\ frac {| C_ {B} | ^ {2}} {| C_ {A} | ^ {2} + | C_ {B} | ^ {2}}}}$

então temos:

${\ displaystyle P = \ left | \; {\ frac {| C_ {A} | ^ {2} - | C_ {B} | ^ {2}} {| C_ {A} | ^ {2} + | C_ {B} | ^ {2}}} \, \ direita |}$

Temos em particular para dois furos simétricos e para uma única abertura (distinção perfeita). No campo distante dos dois furos, as duas ondas interferem e produzem franjas. A intensidade do padrão de interferência em um ponto y no plano focal é dada por ${\ displaystyle P = 0}$${\ displaystyle P = 1}$

${\ displaystyle I (y) \ propto 1 + V \ cos \ left ({\ frac {p_ {y} d} {\ hbar}} + \ varphi \ right)}$

onde é o momento da partícula ao longo da direção y , é um deslocamento de fase fixo e é a separação entre os dois furos. O ângulo α da horizontal é dado por onde é a distância entre a tela de abertura e o plano de análise de campo distante. Se uma lente é usada para observar as franjas no plano focal traseiro, o ângulo é dado por onde é a distância focal da lente. ${\ displaystyle p_ {y} = h / \ lambda \ cdot \ sin (\ alpha)}$${\ displaystyle \ varphi = \ operatorname {Arg} (C_ {A}) - \ operatorname {Arg} (C_ {B})}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle \ sin (\ alpha) \ simeq \ tan (\ alpha) = y / L}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ sin (\ alpha) \ simeq \ tan (\ alpha) = y / f}$${\ displaystyle f}$

A visibilidade das franjas é definida por

${\ displaystyle V = {\ frac {I _ {\ max} -I _ {\ min}} {I _ {\ max} + I _ {\ min}}}}$

onde e denotam a intensidade máxima e mínima das franjas, respectivamente. Pelas regras de interferência construtiva e destrutiva, temos ${\ displaystyle I _ {\ max}}$${\ displaystyle I _ {\ min}}$

${\ displaystyle I _ {\ max} \ propto || C_ {A} | + | C_ {B} || ^ {2}}$

${\ displaystyle I _ {\ min} \ propto || C_ {A} | - | C_ {B} || ^ {2}}$

Equivalentemente, isso pode ser escrito como

${\ displaystyle V = 2 {\ frac {| C_ {A} \ cdot C_ {B} ^ {*} |} {| C_ {A} | ^ {2} + | C_ {B} | ^ {2}} }.}$

E, portanto, obtemos, para um único fóton em um estado quântico puro, a relação de dualidade

${\ displaystyle V ^ {2} + P ^ {2} = 1 \,}$

Existem dois casos extremos com uma interpretação intuitiva direta: Em um experimento de furo único, a visibilidade da franja é zero (já que não há franjas). Isto é, mas já que sabemos (por definição) por qual buraco o fóton passou. Por outro lado, para uma configuração de duas fendas, onde as duas fendas são indistinguíveis com , uma tem visibilidade perfeita com e, portanto . Portanto, em ambos os casos extremos também temos . ${\ displaystyle V = 0}$${\ displaystyle P = 1}$${\ displaystyle P = 0}$${\ displaystyle I _ {\ min} = 0}$${\ displaystyle V = 1}$${\ displaystyle V ^ {2} + P ^ {2} = 1}$

A apresentação acima foi limitada a um estado quântico puro. De forma mais geral, para uma mistura de estados quânticos, será necessário

${\ displaystyle V ^ {2} + P ^ {2} \ leq 1. \,}$

Para o restante do desenvolvimento, assumimos que a fonte de luz é um laser , de modo que podemos assumir contenções, seguindo as propriedades de coerência da luz laser. ${\ displaystyle V ^ {2} + P ^ {2} = 1}$

Complementaridade

A discussão matemática apresentada acima não requer a mecânica quântica em seu cerne. Em particular, a derivação é essencialmente válida para ondas de qualquer tipo. Com pequenas modificações para levar em conta o quadrado das amplitudes, a derivação poderia ser aplicada a, por exemplo, ondas sonoras ou ondas de água em um tanque ondulado .

Para que a relação seja uma formulação precisa da complementaridade de Bohr, deve-se introduzir a dualidade onda-partícula na discussão. Isso significa que devemos considerar o comportamento das ondas e das partículas da luz em pé de igualdade. A dualidade onda-partícula implica que se deve A) usar a evolução unitária da onda antes da observação e B) considerar o aspecto da partícula após a detecção (isso é chamado de postulado de colapso de Heisenberg-von Neumann). Na verdade, uma vez que só se pode observar o fóton em um ponto do espaço (um fóton não pode ser absorvido duas vezes), isso implica que o significado da função de onda é essencialmente estatístico e não pode ser confundido com uma onda clássica (como aquelas que ocorrem em ar ou água).

Neste contexto, a observação direta de um fóton no plano de abertura impede o registro seguinte do mesmo fóton no plano focal (F). Reciprocamente, a observação em (F) significa que não absorvemos o fóton antes. Se os dois buracos estiverem abertos, isso significa que não sabemos onde teríamos detectado o fóton no plano de abertura. define, assim, a previsibilidade dos dois orifícios A e  B . ${\ displaystyle P}$

Um valor máximo de previsibilidade significa que apenas um buraco (digamos A ) está aberto. Se agora detectarmos o fóton em (F), sabemos que esse fóton teria sido detectado em A necessariamente. Por outro lado, significa que ambos os furos estão abertos e desempenham um papel simétrico. Se detectarmos o fóton em (F), não sabemos onde o fóton teria sido detectado no plano de abertura e caracteriza nossa ignorância. ${\ displaystyle P = 1}$${\ displaystyle P = 0}$${\ displaystyle P = 0}$

Da mesma forma, se então e isso significa que um acúmulo estatístico de fótons em (F) cria um padrão de interferência com visibilidade máxima. Por outro lado, implica e, portanto, nenhuma franja aparece após um registro estatístico de vários fótons. ${\ displaystyle P = 0}$${\ displaystyle V = 1}$${\ displaystyle P = 1}$${\ displaystyle V = 0}$

O tratamento acima formaliza a dualidade da partícula de onda para o experimento de dupla fenda.

Veja também

• Experimento Afshar
• Emaranhamento quântico
• Indeterminação quântica

Referências e notas

Leitura adicional

• Englert, Berthold-Georg; Scully, Marlan O .; Walther, Herbert (1991). "Testes ópticos quânticos de complementaridade". Nature . 351 (6322): 111–116. Bibcode : 1991Natur.351..111S . doi : 10.1038 / 351111a0 . Demonstra que os efeitos de interferência quântica são destruídos por correlações irreversíveis objeto-aparato ("medição"), não pelo próprio princípio de incerteza de Heisenberg. Veja também "A Dualidade em Matéria e Luz". Scientific American . Dezembro de 1994.
• Drezet, Aurelien (2005). “Complementaridade e experiência de Afshar”. arXiv : quant-ph / 0508091 .

links externos

• Karmela Padavic-Callaghan (1 de setembro de 2021). "Dualidade onda-partícula quantificada pela primeira vez" . Physics World .