Ponto de equilíbrio - Equilibrium point

Diagrama de estabilidade classificando os mapas de Poincaré de sistemas autônomos lineares como estáveis ​​ou instáveis ​​de acordo com suas características. A estabilidade geralmente aumenta à esquerda do diagrama. Alguns sumidouros, fontes ou nós são pontos de equilíbrio.${\ displaystyle x '= Ax,}$

Em matemática , especificamente em equações diferenciais , um ponto de equilíbrio é uma solução constante para uma equação diferencial.

Definição formal

O ponto é um ponto de equilíbrio para a equação diferencial${\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {x}}} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {x}} {dt}} = \ mathbf {f} (t, \ mathbf {x})}$

se por todos . ${\ displaystyle \ mathbf {f} (t, {\ tilde {\ mathbf {x}}}) = \ mathbf {0}}$${\ displaystyle t}$

Da mesma forma, o ponto é um ponto de equilíbrio (ou ponto fixo ) para a equação de diferença${\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {x}}} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ textstyle \ mathbf {x} _ {k + 1} = \ mathbf {f} (k, \ mathbf {x} _ {k})}$

se para . ${\ displaystyle \ mathbf {f} (k, {\ tilde {\ mathbf {x}}}) = {\ tilde {\ mathbf {x}}}}$${\ displaystyle k = 0,1,2, \ ldots}$

Os equilíbrios podem ser classificados olhando os sinais dos autovalores da linearização das equações sobre os equilíbrios. Ou seja, avaliando a matriz Jacobiana em cada um dos pontos de equilíbrio do sistema e, em seguida, encontrando os autovalores resultantes, os equilíbrios podem ser categorizados. Então, o comportamento do sistema na vizinhança de cada ponto de equilíbrio pode ser determinado qualitativamente, (ou mesmo determinado quantitativamente, em alguns casos), encontrando o (s) vetor (es) próprio (s) associado (s) a cada valor próprio.

Um ponto de equilíbrio é hiperbólico se nenhum dos autovalores tiver parte real zero. Se todos os autovalores tiverem partes reais negativas, o ponto é estável . Se pelo menos um tiver uma parte real positiva, o ponto é instável . Se pelo menos um valor próprio tem parte real negativa e pelo menos um tem parte real positiva, o equilíbrio é um ponto de sela e é instável. Se todos os autovalores forem reais e tiverem o mesmo sinal, o ponto é chamado de nó .

Veja também

• Equação autônoma
• Ponto crítico
• Curso estável

Referências

• Boyce, William E .; DiPrima, Richard C. (2012). Equações diferenciais elementares e problemas de valor limite (10ª ed.). Wiley. ISBN 978-0-470-45831-0.
• Perko, Lawrence (2001). Equações diferenciais e sistemas dinâmicos (3ª ed.). Springer. pp. 102–104. ISBN 1-4613-0003-7.