Soma de Euler-Boole - Euler–Boole summation

A soma de Euler-Boole é um método para somar séries alternadas com base nos polinômios de Euler , que são definidos por

${\ displaystyle {\ frac {2e ^ {xt}} {e ^ {t} +1}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} E_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}}.}$

O conceito tem o nome de Leonhard Euler e George Boole .

As funções periódicas de Euler são

${\ displaystyle {\ widetilde {E}} _ {n} (x + 1) = - {\ widetilde {E}} _ {n} (x) {\ text {e}} {\ widetilde {E}} _ {n} (x) = E_ {n} (x) {\ text {para}} 0 <x <1.}$

A fórmula de Euler-Boole para somar séries alternadas é

${\ displaystyle \ sum _ {j = a} ^ {n-1} (- 1) ^ {j} f (j + h) = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {m-1} {\ frac {E_ {k} (h)} {k!}} \ left ((- 1) ^ {n-1} f ^ {(k)} (n) + (- 1 ) ^ {a} f ^ {(k)} (a) \ direita) + {\ frac {1} {2 (m-1)!}} \ int _ {a} ^ {n} f ^ {(m )} (x) {\ widetilde {E}} _ {m-1} (hx) \, dx,}$

onde e é a derivada k . ${\ displaystyle a, m, n \ in \ mathbb {N}, a <n, h \ in [0,1]}$${\ displaystyle f ^ {(k)}}$

Referências

• Jonathan M. Borwein, Neil J. Calkin, Dante Manna: Euler – Boole Summation Revisited . The American Mathematical Monthly , vol. 116, No. 5 (maio de 2009), pp. 387–412 ( online , JSTOR )
• Nico M. Temme: Funções Especiais: Uma Introdução às Funções Clássicas da Física Matemática . Wiley, 2011, ISBN  9781118030813 , pp. 17-18