Interferômetro Fabry-Pérot - Fabry–Pérot interferometer

Franjas de interferência, apresentando estrutura fina , de um etalon de Fabry – Pérot. A fonte é uma lâmpada de deutério resfriada .

Em óptica , um interferômetro Fabry-Pérot ( FPI ) ou etalon é uma cavidade óptica feita de duas superfícies refletoras paralelas (isto é: espelhos finos ). As ondas ópticas podem passar pela cavidade óptica apenas quando estão em ressonância com ela. Tem o nome de Charles Fabry e Alfred Perot , que desenvolveram o instrumento em 1899. Etalon vem do francês étalon , que significa "medidor de medição" ou "padrão".

Etalons são amplamente usados ​​em telecomunicações , lasers e espectroscopia para controlar e medir os comprimentos de onda da luz. Avanços recentes na técnica de fabricação permitem a criação de interferômetros Fabry-Pérot sintonizáveis ​​muito precisos. O dispositivo é tecnicamente um interferômetro quando a distância entre as duas superfícies (e com ele o comprimento de ressonância) pode ser alterada, e um etalon quando a distância é fixa (no entanto, os dois termos são freqüentemente usados ​​alternadamente).

Descrição básica

Interferômetro Fabry-Pérot, usando um par de planos óticos parcialmente reflexivos e levemente em cunha. O ângulo da cunha é altamente exagerado nesta ilustração; apenas uma fração de grau é realmente necessária para evitar franjas de fantasmas. Imagens de baixa finesse versus high-finesse correspondem a refletividades de espelho de 4% (vidro sem revestimento) e 95%.

O coração do interferômetro Fabry-Pérot é um par de placas ópticas de vidro parcialmente reflexivas espaçadas entre micrômetros e centímetros, com as superfícies reflexivas voltadas uma para a outra. (Alternativamente, um Fabry-Pérot etalon usa uma única placa com duas superfícies refletoras paralelas.) As partes planas em um interferômetro são geralmente feitas em forma de cunha para evitar que as superfícies traseiras produzam franjas de interferência; as superfícies traseiras muitas vezes também têm um revestimento anti-reflexo .

Em um sistema típico, a iluminação é fornecida por uma fonte difusa definida no plano focal de uma lente de colimação . Uma lente de foco após o par de apartamentos produziria uma imagem invertida da fonte se os apartamentos não estivessem presentes; toda a luz emitida de um ponto na fonte é focada em um único ponto no plano de imagem do sistema. Na ilustração a seguir, apenas um raio emitido do ponto A na fonte é traçado. À medida que o raio passa pelos planos emparelhados, ele é refletido de forma múltipla para produzir vários raios transmitidos que são coletados pela lente de foco e trazidos ao ponto A 'na tela. O padrão de interferência completo tem a aparência de um conjunto de anéis concêntricos. A nitidez dos anéis depende da refletividade dos apartamentos. Se a refletividade for alta, resultando em um fator Q alto , a luz monocromática produz um conjunto de anéis estreitos e brilhantes contra um fundo escuro. Diz-se que um interferômetro Fabry-Pérot com Q alto tem alta finesse .

Formulários

Um dispositivo Fabry-Perot comercial

• As redes de telecomunicações que empregam multiplexação por divisão de comprimento de onda têm multiplexadores add-drop com bancos de sílica fundida sintonizada em miniatura ou etalons de diamante . São pequenos cubos iridescentes com cerca de 2 mm de lado, montados em pequenos racks de alta precisão. Os materiais são escolhidos para manter distâncias estáveis ​​de espelho a espelho e para manter frequências estáveis ​​mesmo quando a temperatura varia. O diamante é preferido porque tem maior condução de calor e ainda tem um baixo coeficiente de expansão. Em 2005, algumas empresas de equipamentos de telecomunicações começaram a usar etalons sólidos que também são fibras ópticas. Isso elimina a maioria das dificuldades de montagem, alinhamento e resfriamento.
• Os filtros dicróicos são feitos depositando uma série de camadas etalônicas em uma superfície óptica por deposição de vapor . Esses filtros ópticos geralmente têm bandas reflexivas e de passagem mais exatas do que os filtros de absorção. Quando projetados corretamente, eles funcionam mais frios do que os filtros de absorção porque podem refletir comprimentos de onda indesejados. Os filtros dicróicos são amplamente usados ​​em equipamentos ópticos, como fontes de luz, câmeras, equipamentos astronômicos e sistemas a laser.
• Os medidores de onda óticos e alguns analisadores de espectro ótico usam interferômetros Fabry – Pérot com diferentes faixas espectrais livres para determinar o comprimento de onda da luz com grande precisão.
• Os ressonadores a laser são frequentemente descritos como ressonadores Fabry-Pérot, embora para muitos tipos de laser a refletividade de um espelho seja próxima de 100%, tornando-o mais semelhante a um interferômetro Gires-Tournois . Lasers de diodo semicondutor às vezes usam uma verdadeira geometria Fabry-Pérot, devido à dificuldade de revestir as facetas finais do chip. Lasers em cascata quântica frequentemente empregam cavidades Fabry-Pérot para sustentar o laser sem a necessidade de qualquer revestimento de faceta, devido ao alto ganho da região ativa.
• Etalons são frequentemente colocados dentro do ressonador de laser durante a construção de lasers de modo único. Sem um etalon, um laser geralmente produz luz em uma faixa de comprimento de onda correspondente a uma série de modos de cavidade , que são semelhantes aos modos Fabry-Pérot. A inserção de um etalon na cavidade do laser, com finesse bem escolhida e faixa espectral livre, pode suprimir todos os modos de cavidade, exceto um, alterando assim a operação do laser de multimodo para modo único.
• Os etalons de Fabry-Pérot podem ser usados ​​para prolongar o comprimento da interação em espectrometria de absorção a laser , particularmente em técnicas de ring-down de cavidade .
• Um Fabry-Pérot etalon pode ser usado para fazer um espectrômetro capaz de observar o efeito Zeeman , onde as linhas espectrais estão muito próximas para serem distinguidas com um espectrômetro normal.
• Na astronomia, um etalon é usado para selecionar uma única transição atômica para a geração de imagens. O mais comum é a linha H-alfa do sol . A linha Ca-K do sol também é comumente representada por etalons.
• O sensor de metano para Marte (MSM) a bordo do Mangalyaan da Índia é um exemplo de instrumento Fabry-Perot. Foi o primeiro instrumento Fabry Perot no espaço quando Mangalyaan foi lançado. Como não distinguia a radiação absorvida pelo metano da radiação absorvida pelo dióxido de carbono e outros gases, foi posteriormente chamado de mapeador de albedo.
• Na detecção de ondas gravitacionais , uma cavidade Fabry-Pérot é usada para armazenar fótons por quase um milissegundo enquanto eles saltam para cima e para baixo entre os espelhos. Isso aumenta o tempo que uma onda gravitacional pode interagir com a luz, o que resulta em uma melhor sensibilidade em baixas frequências. Esse princípio é usado por detectores como LIGO e Virgo , que consistem em um interferômetro de Michelson com uma cavidade de Fabry-Pérot com vários quilômetros de comprimento em ambos os braços. Cavidades menores, geralmente chamadas de limpadores de modo , são usadas para filtragem espacial e estabilização de frequência do laser principal.

Teoria

Perdas do ressonador e luz outcoupled

A resposta espectral de um ressonador Fabry-Pérot é baseada na interferência entre a luz lançada nele e a luz que circula no ressonador. A interferência construtiva ocorre se os dois feixes estão em fase , levando ao aumento ressonante da luz dentro do ressonador. Se os dois feixes estiverem fora de fase, apenas uma pequena parte da luz lançada é armazenada dentro do ressonador. A luz armazenada, transmitida e refletida é modificada espectralmente em comparação com a luz incidente.

Suponha um ressonador Fabry-Pérot de dois espelhos de comprimento geométrico , homogeneamente preenchido com um meio de índice de refração . A luz é lançada no ressonador sob incidência normal. O tempo de ida e volta da luz viajando no ressonador com velocidade , onde é a velocidade da luz no vácuo, e a faixa espectral livre são dados por ${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle t _ {\ rm {RT}}}$${\ displaystyle c = c_ {0} / n}$${\ displaystyle c_ {0}}$ ${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}}$

${\ displaystyle t _ {\ rm {RT}} = {\ frac {1} {\ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}}} = {\ frac {2 \ ell} {c}}.}$

O campo elétrico e refletividades de intensidade e , respectivamente, no espelho são ${\ displaystyle r_ {i}}$${\ displaystyle R_ {i}}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle | r_ {i} | ^ {2} = R_ {i}.}$

Se não houver outras perdas de ressonador, a decadência da intensidade da luz por ida e volta é quantificada pela constante de taxa de decaimento de outcoupling ${\ displaystyle 1 / \ tau _ {\ rm {out}},}$

${\ displaystyle R_ {1} R_ {2} = e ^ {- t _ {\ rm {RT}} / \ tau _ {\ rm {out}}},}$

e o tempo de decaimento do fóton do ressonador é então dado por ${\ displaystyle \ tau _ {c}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ tau _ {c}}} = {\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {out}}}} = {\ frac {- \ ln {(R_ { 1} R_ {2})}} {t _ {\ rm {RT}}}}.}$

Frequências de ressonância e formas de linha espectral

Com a quantificação da mudança de fase de passagem única que a luz exibe ao se propagar de um espelho para o outro, a mudança de fase de ida e volta na frequência acumula para ${\ displaystyle \ phi (\ nu)}$${\ displaystyle \ nu}$

${\ displaystyle 2 \ phi (\ nu) = 2 \ pi \ nu t _ {\ rm {RT}}.}$

As ressonâncias ocorrem em frequências nas quais a luz exibe interferência construtiva após uma viagem de ida e volta. Cada modo de ressonador com seu índice de modo , onde é um número inteiro no intervalo [ , ..., −1, 0, 1, ..., ], está associado a uma frequência de ressonância e número de onda , ${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle - \ infty}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle \ nu _ {q}}$${\ displaystyle k_ {q}}$

${\ displaystyle \ nu _ {q} = q \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}} \ Rightarrow k_ {q} = {\ frac {2 \ pi q \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}} } {c}}.}$

Dois modos com valores opostos e de índice modal e número de onda, respectivamente, representando fisicamente direções de propagação opostas, ocorrem no mesmo valor absoluto de frequência. ${\ displaystyle \ pm q}$${\ displaystyle \ pm k}$${\ displaystyle \ left | \ nu _ {q} \ right |}$

O campo elétrico decadente na frequência é representado por uma oscilação harmônica amortecida com uma amplitude inicial de e uma constante de tempo de decaimento de . Na notação fasorial, pode ser expresso como ${\ displaystyle \ nu _ {q}}$${\ displaystyle E_ {q, s}}$${\ displaystyle 2 \ tau _ {c}}$

${\ displaystyle E_ {q} (t) = E_ {q, s} e ^ {i2 \ pi \ nu _ {q} t} e ^ {- {\ frac {t} {2 \ tau _ {c}} }}.}$

A transformação de Fourier do campo elétrico no tempo fornece o campo elétrico por intervalo de frequência unitário,

${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {q} (\ nu) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} E_ {q} (t) e ^ {- i2 \ pi \ nu t } \, dt = E_ {q, s} {\ frac {1} {(2 \ tau _ {c}) ^ {- 1} + i2 \ pi (\ nu - \ nu _ {q})}}. }$

Cada modo tem uma forma de linha espectral normalizada por intervalo de frequência de unidade dado por

${\ displaystyle {\ tilde {\ gamma}} _ {q} (\ nu) = {\ frac {1} {\ tau _ {c}}} \ left | {\ frac {{\ tilde {E}} _ {q} (\ nu)} {E_ {q, s}}} \ right | ^ {2} = {\ frac {1} {\ tau _ {c}}} {\ frac {1} {(2 \ tau _ {c}) ^ {- 2} +4 \ pi ^ {2} (\ nu - \ nu _ {q}) ^ {2}}},}$

cuja integral de freqüência é a unidade. Apresentando a largura de linha total na metade do máximo (FWHM) da forma da linha espectral Lorentziana, obtemos ${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {c}}$

${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {c} = {\ frac {1} {2 \ pi \ tau _ {c}}} \ Rightarrow {\ tilde {\ gamma}} _ {q} (\ nu) = { \ frac {1} {\ pi}} {\ frac {\ Delta \ nu _ {c} / 2} {(\ Delta \ nu _ {c} / 2) ^ {2} + (\ nu - \ nu _ {q}) ^ {2}}} = {\ frac {2} {\ pi}} {\ frac {\ Delta \ nu _ {c}} {(\ Delta \ nu _ {c}) ^ {2} +4 (\ nu - \ nu _ {q}) ^ {2}}},}$

expresso em termos de largura de linha com metade da largura na metade máxima (HWHM) ou largura de linha FWHM . Calibrado para uma altura máxima de unidade, obtemos as linhas Lorentzianas: ${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {c} / 2}$${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {c}}$

${\ displaystyle \ gamma _ {q, L} (\ nu) = {\ frac {\ pi} {2}} \ Delta \ nu _ {c} {\ tilde {\ gamma}} _ {q} (\ nu ) = {\ frac {(\ Delta \ nu _ {c} / 2) ^ {2}} {(\ Delta \ nu _ {c} / 2) ^ {2} + (\ nu - \ nu _ {q }) ^ {2}}} = {\ frac {(\ Delta \ nu _ {c}) ^ {2}} {(\ Delta \ nu _ {c}) ^ {2} +4 (\ nu - \ nu _ {q}) ^ {2}}}.}$

Ao repetir a transformação de Fourier acima para todos os modos com índice de modo no ressonador, obtém-se o espectro de modo completo do ressonador. ${\ displaystyle q}$

Uma vez que a largura de linha e a faixa espectral livre são independentes da frequência, enquanto no espaço de comprimento de onda a largura de linha não pode ser definida corretamente e a faixa espectral livre depende do comprimento de onda, e como as frequências de ressonância são proporcionais à frequência, a resposta espectral de um Fabry-Pérot ressonador é naturalmente analisado e exibido no espaço de frequência. ${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {c}}$${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}}$${\ displaystyle \ nu _ {q}}$

Distribuição genérica de Airy: O fator de intensificação de ressonância interna

Campos elétricos em um ressonador Fabry-Pérot. As refletividades do espelho de campo elétrico são e . São indicados os campos elétricos característicos produzidos por um campo elétrico incidente no espelho 1: inicialmente refletido no espelho 1, lançado através do espelho 1 e circulando dentro do ressonador na direção de propagação para frente e para trás, respectivamente, propagando-se dentro do ressonador após uma viagem de ida e volta, transmitido através do espelho 2, transmitido através do espelho 1 e o campo total se propagando para trás. A interferência ocorre nos lados esquerdo e direito do espelho 1 entre e , resultando em , e entre e , resultando em , respectivamente.${\ displaystyle r_ {1}}$${\ displaystyle r_ {2}}$${\ displaystyle E _ {\ rm {inc}}}$${\ displaystyle E _ {\ rm {refl, 1}}}$${\ displaystyle E _ {\ rm {launch}}}$${\ displaystyle E _ {\ rm {circ}}}$${\ displaystyle E _ {\ text {b-circ}}}$${\ displaystyle E _ {\ rm {RT}}}$${\ displaystyle E _ {\ rm {trans}}}$${\ displaystyle E _ {\ rm {back}}}$${\ displaystyle E _ {\ rm {refl}}}$${\ displaystyle E _ {\ rm {refl, 1}}}$${\ displaystyle E _ {\ rm {back}}}$${\ displaystyle E _ {\ rm {refl}}}$${\ displaystyle E _ {\ rm {launch}}}$${\ displaystyle E _ {\ rm {RT}}}$${\ displaystyle E _ {\ rm {circ}}}$

A resposta do ressonador Fabry-Pérot a um campo elétrico incidente no espelho 1 é descrita por várias distribuições de Airy (em homenagem ao matemático e astrônomo George Biddell Airy ) que quantificam a intensidade da luz na direção de propagação para frente ou para trás em diferentes posições dentro ou fora o ressonador em relação à intensidade da luz lançada ou incidente. A resposta do ressonador Fabry-Pérot é mais facilmente derivada pelo uso da abordagem de campo circulante. Esta abordagem assume um estado estacionário e relaciona os vários campos elétricos entre si (consulte a figura "Campos elétricos em um ressonador Fabry-Pérot").

O campo pode ser relacionado ao campo que é lançado no ressonador por ${\ displaystyle E _ {\ rm {circ}}}$${\ displaystyle E _ {\ rm {launch}}}$

${\ displaystyle E _ {\ rm {circ}} = E _ {\ rm {launch}} + E _ {\ rm {RT}} = E _ {\ rm {launch}} + r_ {1} r_ {2} e ^ { -i2 \ phi} E _ {\ rm {circ}} \ Rightarrow {\ frac {E _ {\ rm {circ}}} {E _ {\ rm {launch}}}} = {\ frac {1} {1-r_ {1} r_ {2} e ^ {- i2 \ phi}}}.}$

A distribuição Airy genérica, que considera apenas os processos físicos exibidos pela luz dentro do ressonador, então deriva como a intensidade que circula no ressonador em relação à intensidade lançada,

${\ displaystyle A _ {\ rm {circ}} = {\ frac {I _ {\ rm {circ}}} {I _ {\ rm {launch}}}} = {\ frac {\ left | E _ {\ rm {circ }} \ right | ^ {2}} {\ left | E _ {\ rm {launch}} \ right | ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ left | 1-r_ {1} r_ { 2} e ^ {- i2 \ phi} \ right | ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ left ({1 - {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}}} \ right ) ^ {2} +4 {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} \ sin ^ {2} (\ phi)}}.}$

${\ displaystyle A _ {\ rm {circ}}}$representa o aumento de ressonância interna espectralmente dependente que o ressonador fornece à luz lançada nele (consulte a figura "Aumento de ressonância em um ressonador Fabry-Pérot"). Nas frequências de ressonância , onde é igual a zero, o fator de intensificação de ressonância interna é ${\ displaystyle \ nu _ {q}}$${\ displaystyle \ sin (\ phi)}$

${\ displaystyle A _ {\ rm {circ}} (\ nu _ {q}) = {\ frac {1} {\ left (1 - {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} \ right) ^ {2}}}.}$

Outras distribuições Airy

Aumento de ressonância em um ressonador Fabry-Pérot. (topo) Aumento de ressonância interna dependente do espectro, igualando a distribuição genérica de Airy . A luz lançada no ressonador é intensificada ressonantemente por este fator. Para a curva com , o valor de pico está em , fora da escala da ordenada. (abaixo) Aumento de ressonância externa dependente do espectro, igualando a distribuição de Airy . A luz incidente sobre o ressonador é ressonantemente intensificada por este fator.${\ displaystyle A _ {\ text {circ}}}$${\ displaystyle R_ {1} = R_ {2} = 0,9}$${\ displaystyle A _ {\ text {circ}} (\ nu _ {q}) = 100}$${\ displaystyle A _ {\ text {circ}} ^ {\ prime}}$

Uma vez que o aumento de ressonância interna, a distribuição Airy genérica, é estabelecida, todas as outras distribuições Airy podem ser deduzidas por fatores de escala simples. Uma vez que a intensidade lançada no ressonador é igual à fração transmitida da intensidade incidente no espelho 1,

${\ displaystyle I _ {\ text {launch}} = \ left (1-R_ {1} \ right) I _ {\ text {inc}},}$

e as intensidades transmitidas através do espelho 2, refletidas no espelho 2 e transmitidas através do espelho 1 são as frações transmitidas e refletidas / transmitidas da intensidade que circula dentro do ressonador,

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} I _ {\ text {trans}} & = \ left (1-R_ {2} \ right) I _ {\ text {circ}}, \\ I _ {\ text {b-circ }} & = R_ {2} I _ {\ text {circ}}, \\ I _ {\ text {back}} & = \ left (1-R_ {1} \ right) I _ {\ text {b-circ} }, \ end {alinhado}}}$

respectivamente, as outras distribuições de Airy em relação à intensidade de lançamento e em relação à intensidade de incidente são ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle I _ {\ text {launch}}}$${\ displaystyle A ^ {\ prime}}$${\ displaystyle I _ {\ text {inc}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} A _ {\ text {circ}} & = {\ frac {1} {R_ {2}}} A _ {\ text {b-circ}} = {\ frac {1} { R_ {1} R_ {2}}} A _ {\ text {RT}} = {\ frac {1} {1-R_ {2}}} A _ {\ text {trans}} = {\ frac {1} { (1-R_ {1}) R_ {2}}} A _ {\ text {back}} = {\ frac {1} {1-R_ {1} R_ {2}}} A _ {\ text {emit}} , \\ A _ {\ text {circ}} '& = {\ frac {1} {R_ {2}}} A _ {\ text {b-circ}}' = {\ frac {1} {R_ {1} R_ {2}}} A _ {\ text {RT}} '= {\ frac {1} {1-R_ {2}}} A _ {\ text {trans}}' = {\ frac {1} {(1 -R_ {1}) R_ {2}}} A _ {\ text {back}} '= {\ frac {1} {1-R_ {1} R_ {2}}} A _ {\ text {emit}}' , \\ A _ {\ text {circ}} '& = \ left (1-R_ {1} \ right) A _ {\ text {circ}}. \ End {alinhado}}}$

O índice "emit" denota distribuições de Airy que consideram a soma das intensidades emitidas em ambos os lados do ressonador.

A intensidade retransmitida não pode ser medida, porque também a luz refletida inicialmente de volta adiciona ao sinal de propagação inversa. O caso mensurável da intensidade resultante da interferência de ambos os campos elétricos de propagação reversa resulta na distribuição de Airy. ${\ displaystyle I _ {\ text {back}}}$

${\ displaystyle A _ {\ text {refl}} ^ {\ prime} = {\ frac {I _ {\ text {refl}}} {I _ {\ text {inc}}}} = {\ frac {\ left | E_ {\ text {refl}} \ right | ^ {2}} {\ left | E _ {\ text {inc}} \ right | ^ {2}}} = {\ frac {\ left ({{\ sqrt {R_ {1}}} - {\ sqrt {R_ {2}}}} \ right) ^ {2} +4 {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} \ sin ^ {2} (\ phi) } {\ left ({1 - {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}}} \ right) ^ {2} +4 {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} \ sin ^ { 2} (\ phi)}}.}$

Pode ser facilmente mostrado que em um ressonador Fabry-Pérot, apesar da ocorrência de interferência construtiva e destrutiva, a energia é conservada em todas as frequências:

${\ displaystyle A _ {\ text {trans}} ^ {\ prime} + A _ {\ text {refl}} ^ {\ prime} = {\ frac {I _ {\ text {trans}} + I _ {\ text {refl }}} {I _ {\ text {inc}}}} = 1.}$

O fator de aumento de ressonância externa (ver figura "Aumento de ressonância em um ressonador Fabry-Pérot") é

${\ displaystyle A _ {\ text {circ}} ^ {\ prime} = {\ frac {I _ {\ text {circ}}} {I _ {\ text {inc}}}} = (1-R_ {1}) A _ {\ text {circ}} = {\ frac {1-R_ {1}} {\ left ({1 - {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}}} \ right) ^ {2} + 4 {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} \ sin ^ {2} (\ phi)}}.}$

Nas frequências de ressonância , onde é igual a zero, o fator de intensificação de ressonância externa é ${\ displaystyle \ nu _ {q}}$${\ displaystyle \ sin (\ phi)}$

${\ displaystyle A _ {\ text {circ}} ^ {\ prime} (\ nu _ {q}) = {\ frac {1-R_ {1}} {\ left (1 - {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} \ right) ^ {2}}}.}$

Distribuição aerada (linhas sólidas), correspondente à luz transmitida através de um ressonador Fabry-Pérot, calculada para diferentes valores das refletividades , e comparação com uma única linha Lorentziana (linhas tracejadas) calculada para a mesma . Na metade do máximo (linha preta), com refletividades decrescentes, a largura de linha FWHM da distribuição Airy se amplia em comparação com a largura de linha FWHM de sua linha Lorentziana correspondente: resulta em , respectivamente.${\ displaystyle A _ {\ text {trans}} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle R_ {1} = R_ {2}}$${\ displaystyle R_ {1} = R_ {2}}$${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ text {Airy}}}$${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {c}}$${\ displaystyle R_ {1} = R_ {2} = 0.9,0.6,0.32,0.172}$${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ text {Airy}} / \ Delta \ nu _ {c} = 1.001,1.022,1.132,1.717}$

Normalmente, a luz é transmitida através de um ressonador Fabry-Pérot. Portanto, uma distribuição Airy frequentemente aplicada é

${\ displaystyle A _ {\ text {trans}} ^ {\ prime} = {\ frac {I _ {\ text {trans}}} {I _ {\ text {inc}}}} = (1-R_ {1}) (1-R_ {2}) A _ {\ text {circ}} = {\ frac {(1-R_ {1}) (1-R_ {2})} {\ left ({1 - {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}}} \ right) ^ {2} +4 {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} \ sin ^ {2} (\ phi)}}.}$

Ele descreve a fração da intensidade de uma fonte de luz incidente no espelho 1 que é transmitida através do espelho 2 (ver figura "Distribuição aérea "). Seu valor de pico nas frequências de ressonância é ${\ displaystyle I _ {\ text {trans}}}$${\ displaystyle I _ {\ text {inc}}}$${\ displaystyle A _ {\ text {trans}} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle \ nu _ {q}}$

${\ displaystyle A _ {\ text {trans}} ^ {\ prime} (\ nu _ {q}) = {\ frac {(1-R_ {1}) (1-R_ {2})} {\ left ( {1 - {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}}} \ right) ^ {2}}}.}$

Pois o valor de pico é igual à unidade, ou seja, toda luz incidente sobre o ressonador é transmitida; conseqüentemente, nenhuma luz é refletida, como resultado da interferência destrutiva entre os campos e . ${\ displaystyle R_ {1} = R_ {2}}$${\ displaystyle A _ {\ text {refl}} ^ {\ prime} = 0}$${\ displaystyle E _ {{\ text {refl}}, 1}}$${\ displaystyle E _ {\ text {back}}}$

${\ displaystyle A _ {\ text {trans}} ^ {\ prime}}$foi derivado na abordagem de campo circulante, considerando uma mudança de fase adicional durante cada transmissão através de um espelho, ${\ displaystyle e ^ {i \ pi / 2}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} E _ {\ text {circ}} & = it_ {1} E _ {\ text {inc}} + r_ {1} r_ {2} e ^ {- i2 \ phi} E_ { \ text {circ}} \ Rightarrow {\ frac {E _ {\ text {circ}}} {E _ {\ text {inc}}}} = {\ frac {it_ {1}} {1-r_ {1} r_ {2} e ^ {- i2 \ phi}}}, \\ E _ {\ text {trans}} & = it_ {2} E _ {\ text {circ}} e ^ {- i \ phi} \ Rightarrow {\ frac {E _ {\ text {trans}}} {E _ {\ text {inc}}}} = {\ frac {-t_ {1} t_ {2} e ^ {- i \ phi}} {1-r_ { 1} r_ {2} e ^ {- i2 \ phi}}}, \ end {alinhado}}}$

resultando em

${\ displaystyle A _ {\ text {trans}} ^ {\ prime} = {\ frac {I _ {\ text {trans}}} {I _ {\ text {inc}}}} = {\ frac {\ left | E_ {\ text {trans}} \ right | ^ {2}} {\ left | E _ {\ text {inc}} \ right | ^ {2}}} = {\ frac {\ left | -t_ {1} t_ {2} e ^ {- i \ phi} \ right | ^ {2}} {\ left | 1-r_ {1} r_ {2} e ^ {- i2 \ phi} \ right | ^ {2}}} = {\ frac {(1-R_ {1}) (1-R_ {2})} {\ left ({1 - {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}}} \ right) ^ {2 } +4 {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} \ sin ^ {2} (\ phi)}}.}$

Alternativamente, pode ser obtido por meio da abordagem de decaimento de ida e volta rastreando o número infinito de viagens de ida e volta que o campo elétrico incidente exibe após entrar no ressonador e acumular o campo elétrico transmitido em todas as viagens de ida e volta. O campo transmitido após a primeira propagação e os campos cada vez menores transmitidos após cada propagação consecutiva através do ressonador são ${\ displaystyle A _ {\ text {trans}} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle E _ {\ text {inc}}}$${\ displaystyle E _ {\ text {trans}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} E _ {\ text {trans, 1}} & = E _ {\ text {inc}} it_ {1} it_ {2} e ^ {- i \ phi} = - E _ {\ texto {inc}} t_ {1} t_ {2} e ^ {- i \ phi}, \\ E _ {{\ text {trans}}, m + 1} & = E _ {{\ text {trans}}, m} r_ {1} r_ {2} e ^ {- i2 \ phi}, \ end {alinhado}}}$

respectivamente. Explorando

${\ displaystyle \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} x ^ {m} = {\ frac {1} {1-x}} \ Rightarrow E _ {\ text {trans}} = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} E _ {{\ text {trans}}, m} = E _ {\ text {inc}} {\ frac {-t_ {1} t_ {2} e ^ {- i \ phi} } {1-r_ {1} r_ {2} e ^ {- i2 \ phi}}}}$

resulta no mesmo que acima, portanto, a mesma distribuição Airy deriva. No entanto, esta abordagem é fisicamente enganosa, porque assume que a interferência ocorre entre os feixes externos após o espelho 2, fora do ressonador, ao invés dos feixes lançados e circulantes após o espelho 1, dentro do ressonador. Uma vez que é a interferência que modifica o conteúdo espectral, a distribuição da intensidade espectral dentro do ressonador seria a mesma que a distribuição da intensidade espectral incidente, e nenhum aumento de ressonância ocorreria dentro do ressonador. ${\ displaystyle E _ {\ text {trans}} / E _ {\ text {inc}}}$${\ displaystyle A _ {\ text {trans}} ^ {\ prime}}$

Distribuição arejada como uma soma dos perfis modais

Fisicamente, a distribuição de Airy é a soma dos perfis modais dos modos do ressonador longitudinal. Partindo do campo elétrico que circula dentro do ressonador, considera-se a decadência exponencial no tempo desse campo através de ambos os espelhos do ressonador, Fourier o transforma em espaço de frequência para obter as formas de linha espectral normalizadas , divide-o pelo tempo de ida e volta para considerar como a intensidade total do campo elétrico circulante é distribuída longitudinalmente no ressonador e acoplada por unidade de tempo, resultando nos perfis de modo emitido, ${\ displaystyle E_ {circ}}$${\ displaystyle {\ tilde {\ gamma}} _ {q} (\ nu)}$${\ displaystyle t _ {\ rm {RT}}}$

${\ displaystyle \ gamma _ {q, {\ rm {emit}}} (\ nu) = {\ frac {1} {t _ {\ rm {RT}}}} {\ tilde {\ gamma}} _ {q } (\ nu),}$

e, em seguida, soma os perfis de modo emitido de todos os modos longitudinais

${\ displaystyle \ sum _ {q = - \ infty} ^ {\ infty} \ gamma _ {q, {\ rm {emit}}} (\ nu) = {\ frac {1-R_ {1} R_ {2 }} {\ left ({1 - {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}}} \ right) ^ {2} +4 {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} \ sin ^ {2} (\ phi)}} = A _ {\ rm {emit}},}$

igualando assim a distribuição de Airy . ${\ displaystyle A _ {\ rm {emit}}}$

Os mesmos fatores de escala simples que fornecem as relações entre as distribuições individuais de Airy também fornecem as relações entre os outros perfis de modo: ${\ displaystyle \ gamma _ {q, {\ rm {emit}}} (\ nu)}$

${\ displaystyle \ gamma _ {q, {\ rm {circ}}} = {\ frac {1} {R_ {2}}} \ gamma _ {q, {\ text {b-circ}}} = {\ frac {1} {R_ {1} R_ {2}}} \ gamma _ {q, {\ rm {RT}}} = {\ frac {1} {1-R_ {2}}} \ gamma _ {q , {\ rm {trans}}} = {\ frac {1} {(1-R_ {1}) R_ {2}}} \ gamma _ {q, {\ rm {back}}} = {\ frac { 1} {1-R_ {1} R_ {2}}} \ gamma _ {q, {\ rm {emit}}},}$

${\ displaystyle \ gamma _ {q, {\ rm {circ}}} ^ {\ prime} = {\ frac {1} {R_ {2}}} \ gamma _ {q, {\ text {b-circ} }} ^ {\ prime} = {\ frac {1} {R_ {1} R_ {2}}} \ gamma _ {q, {\ rm {RT}}} ^ {\ prime} = {\ frac {1 } {1-R_ {2}}} \ gamma _ {q, {\ rm {trans}}} ^ {\ prime} = {\ frac {1} {(1-R_ {1}) R_ {2}} } \ gamma _ {q, {\ rm {back}}} ^ {\ prime} = {\ frac {1} {1-R_ {1} R_ {2}}} \ gamma _ {q, {\ rm { emit}}} ^ {\ prime},}$

${\ displaystyle \ gamma _ {q, {\ rm {circ}}} ^ {\ prime} = (1-R_ {1}) \ gamma _ {q, {\ rm {circ}}}.}$

Caracterizando o ressonador Fabry-Pérot: largura de linha Lorentziana e finesse

O critério de Taylor de resolução espectral propõe que duas linhas espectrais podem ser resolvidas se as linhas individuais se cruzarem na metade da intensidade. Ao lançar luz no ressonador Fabry-Pérot, medindo a distribuição de Airy, pode-se derivar a perda total do ressonador Fabry-Pérot recalculando a largura de linha Lorentziana , exibida (linha azul) em relação à faixa espectral livre na figura "Lorentzian largura de linha e finesse versus largura de linha Airy e finesse de um ressonador Fabry-Pérot ". ${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {c}}$

Largura de linha e finesse Lorentziana versus largura de linha Airy e finesse de um ressonador Fabry-Pérot. [Esquerda] Largura de linha Lorentziana relativa (curva azul), largura de linha Airy relativa (curva verde) e sua aproximação (curva vermelha). [Direita] Finesse Lorentziana (curva azul), Finesse Airy (curva verde) e sua aproximação (curva vermelha) como uma função do valor de refletividade . As soluções exatas da largura de linha e finesse de Airy (linhas verdes) quebram corretamente em , equivalente a , enquanto suas aproximações (linhas vermelhas) incorretamente não quebram. Inserções: Região .${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {c} / \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}}$${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {Airy}} / \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {c}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ rm {Airy}}}$${\ displaystyle R_ {1} R_ {2}}$${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {Airy}} = \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ rm {Airy}} = 1}$${\ displaystyle R_ {1} R_ {2} <0,1}$

O significado físico da finesse Lorentziana de um ressonador Fabry-Pérot. Exibida é a situação para a qual e , isto é, duas linhas Lorentzianas adjacentes (linhas coloridas tracejadas, apenas 5 linhas são mostradas para clareza para cada frequência de ressonância ) cruzada na metade do máximo (linha preta sólida) e o critério de Taylor para resolução espectral dois picos na distribuição de Airy resultante (linha roxa sólida, a soma de 5 linhas que foram normalizadas para o pico de intensidade em si) são alcançados.${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {c}}$${\ displaystyle R_ {1} = R_ {2} \ aproximadamente 4,32 \%}$${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {c} = \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {c} = 1}$${\ displaystyle \ nu _ {q}}$

As linhas Lorentzianas subjacentes podem ser resolvidas desde que o critério de Taylor seja obedecido (consulte a figura "O significado físico da sutileza Lorentziana"). Consequentemente, pode-se definir a finesse Lorentziana de um ressonador Fabry-Pérot:

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {c} = {\ frac {\ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}} {\ Delta \ nu _ {c}}} = {\ frac {2 \ pi} {- \ ln (R_ {1} R_ {2})}}.}$

Ele é exibido como a linha azul na figura "O significado físico da sutileza Lorentziana". A finesse Lorentziana tem um significado físico fundamental: ela descreve como as linhas Lorentzianas subjacentes à distribuição de Airy podem ser resolvidas ao medir a distribuição de Airy. No ponto onde ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {c}}$

${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {c} = \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}} \ Rightarrow R_ {1} R_ {2} = e ^ {- 2 \ pi} \ aprox 0,001867,}$

equivalente a , o critério de Taylor para a resolução espectral de uma única distribuição de Airy é alcançado. Sob este ponto ,, duas linhas espectrais não podem ser distinguidas. Para refletividades de espelho iguais, este ponto ocorre quando . Portanto, a largura de linha das linhas Lorentzianas subjacentes à distribuição de Airy de um ressonador Fabry-Pérot pode ser resolvida medindo a distribuição de Airy, portanto, suas perdas de ressonador podem ser espectroscopicamente determinadas, até este ponto. ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {c} = 1}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {c} <1}$${\ displaystyle R_ {1} = R_ {2} \ aproximadamente 4,32 \%}$

Digitalizando o ressonador Fabry-Pérot: largura de linha arejada e finesse

O significado físico da finesse Airy de um ressonador Fabry-Pérot. Ao escanear o comprimento Fabry-Pérot (ou o ângulo da luz incidente), as distribuições Airy (linhas sólidas coloridas) são criadas por sinais em frequências individuais. O resultado experimental da medição é a soma das distribuições individuais de Airy (linha tracejada preta). Se os sinais ocorrem em frequências , onde é um número inteiro começando em , as distribuições de Airy em frequências adjacentes são separadas umas das outras pela largura de linha , cumprindo assim o critério de Taylor para a resolução espectroscópica de dois picos adjacentes. O número máximo de sinais que podem ser resolvidos é . Uma vez que neste exemplo específico as refletividades foram escolhidas de modo que seja um número inteiro, o sinal para na frequência coincide com o sinal para em . Neste exemplo, um máximo de picos pode ser resolvido ao aplicar o critério de Taylor.${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ rm {Airy}}}$${\ displaystyle \ nu _ {m} = \ nu _ {q} + m \ Delta \ nu _ {\ rm {Airy}}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {Airy}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ rm {Airy}}}$${\ displaystyle R_ {1} = R_ {2} = 0,59928}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ rm {Airy}} = 6}$${\ displaystyle m = {\ mathcal {F}} _ {\ rm {Airy}}}$${\ displaystyle \ nu _ {q} + {\ mathcal {F}} _ {\ rm {Airy}} \ Delta \ nu _ {\ rm {Airy}} = \ nu _ {q} + \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}}$${\ displaystyle m = q}$${\ displaystyle \ nu _ {q}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ rm {Airy}} = 6}$

Exemplo de um ressonador Fabry-Pérot com refletividade de espelho dependente da frequência (superior) e (inferior) os perfis de modo distorcido resultantes dos modos com índices , a soma de 6 milhões de perfis de modo (pontos rosa, exibidos apenas para algumas frequências), e a distribuição Airy . As linhas tracejadas verticais denotam o máximo da curva de refletividade (preto) e as frequências de ressonância dos modos individuais (coloridos).${\ displaystyle \ gamma _ {q, {\ rm {trans}}} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle q = 2000,2001,2002}$${\ displaystyle A _ {\ rm {trans}} ^ {\ prime}}$

Quando o ressonador Fabry-Pérot é usado como um interferômetro de varredura, ou seja, em comprimento de ressonador variável (ou ângulo de incidência), pode-se espectroscopicamente distinguir linhas espectrais em frequências diferentes dentro de uma faixa espectral livre. Várias distribuições de Airy , cada uma criada por uma linha espectral individual, devem ser resolvidas. Portanto, a distribuição Airy torna-se a função fundamental subjacente e a medição fornece uma soma das distribuições Airy. Os parâmetros que quantificam adequadamente essa situação são a largura de linha de Airy e o refinamento de Airy . A largura de linha FWHM da distribuição Airy é ${\ displaystyle A _ {\ rm {trans}} ^ {\ prime} (\ nu)}$${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {Airy}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ rm {Airy}}}$${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {Airy}}}$${\ displaystyle A _ {\ rm {trans}} ^ {\ prime} (\ nu)}$

${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {Airy}} = \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}} {\ frac {2} {\ pi}} \ arcsin \ left ({\ frac {1- {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}}} {2 {\ sqrt [{4}] {R_ {1} R_ {2}}}}} \ right).}$

A largura de linha Airy é exibida como a curva verde na figura "Largura de linha Lorentziana e finesse versus largura de linha Airy e finesse de um ressonador Fabry-Pérot". ${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {Airy}}}$

O conceito de definir a largura de linha dos picos de Airy como FWHM quebra em (linha vermelha sólida na figura "Distribuição de Airy "), porque neste ponto a largura de linha de Airy salta instantaneamente para um valor infinito para função. Para valores de refletividade mais baixos de , a largura de linha FWHM dos picos de Airy é indefinida. O caso limite ocorre em ${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {Airy}} = \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}}$${\ displaystyle A _ {\ rm {trans}} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle \ arcsin}$${\ displaystyle R_ {1} R_ {2}}$

${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {Airy}} = \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}} \ Rightarrow {\ frac {1 - {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} } {2 {\ sqrt [{4}] {R_ {1} R_ {2}}}}} = 1 \ Rightarrow R_ {1} R_ {2} \ aproximadamente 0,02944.}$

Para refletividades de espelho iguais, este ponto é alcançado quando (linha vermelha sólida na figura "Distribuição aérea "). ${\ displaystyle R_ {1} = R_ {2} \ aproximadamente 17,2 \%}$${\ displaystyle A _ {\ rm {trans}} ^ {\ prime}}$

A finesse da distribuição Airy de um ressonador Fabry-Pérot, que é exibida como a curva verde na figura "Largura de linha e finesse Lorentziana versus largura de linha Airy e finesse de um ressonador Fabry-Pérot" em comparação direta com a finesse Lorentziana , é definida como ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {c}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ rm {Aéreo}} = {\ frac {\ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}} {\ Delta \ nu _ {\ rm {Aéreo}}} } = {\ frac {\ pi} {2}} \ left [\ arcsin \ left ({\ frac {1 - {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}}} {2 {\ sqrt [{4 }] {R_ {1} R_ {2}}}}} \ direita) \ direita] ^ {- 1}.}$

Ao escanear o comprimento do ressonador Fabry-Pérot (ou o ângulo da luz incidente), o Airy finesse quantifica o número máximo de distribuições Airy criadas pela luz em frequências individuais dentro da faixa espectral livre do ressonador Fabry-Pérot, cujos picos adjacentes podem ser distinguidos de forma inequívoca espectroscopicamente, ou seja, eles não se sobrepõem em seu FWHM (ver figura "O significado físico da sutileza Airy"). Esta definição de finesse Airy é consistente com o critério de Taylor de resolução de um espectrômetro. Uma vez que o conceito de largura de linha FWHM falha em , conseqüentemente, a finesse Airy é definida apenas até , veja a figura "Largura de linha Lorentziana e finesse versus largura de linha Airy e finesse de um ressonador Fabry-Pérot". ${\ displaystyle \ nu _ {m}}$${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {Airy}} = \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ rm {Airy}} = 1}$

Freqüentemente, a aproximação desnecessária é feita ao derivar da largura de linha de Airy . Em contraste com a solução exata acima, isso leva a ${\ displaystyle \ sin {(\ phi)} \ approx \ phi}$${\ displaystyle A _ {\ rm {trans}} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {Airy}}}$

${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {Airy}} \ approx \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}} {\ frac {1} {\ pi}} {\ frac {1 - {\ sqrt { R_ {1} R_ {2}}}} {\ sqrt [{4}] {R_ {1} R_ {2}}}} \ Rightarrow {\ mathcal {F}} _ {\ rm {Airy}} = { \ frac {\ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}} {\ Delta \ nu _ {\ rm {Aéreo}}}} \ approx \ pi {\ frac {\ sqrt [{4}] {R_ {1 } R_ {2}}} {1 - {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}}}}.}$

Esta aproximação da largura de linha Airy, exibida como a curva vermelha na figura "Largura de linha Lorentziana e finesse versus largura de linha Airy e finesse de um ressonador Fabry-Pérot", desvia-se da curva correta em baixas refletividades e incorretamente não quebra quando . Essa aproximação também é normalmente usada para calcular a sutileza de Airy. ${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {\ rm {Airy}}> \ Delta \ nu _ {\ rm {FSR}}}$

Refletividades de espelho dependentes de frequência

O caso mais geral de um ressonador Fabry-Pérot com refletividades de espelho dependentes da frequência pode ser tratado com as mesmas equações acima, exceto que o tempo de decaimento do fóton e a largura de linha agora se tornam funções locais de frequência. Enquanto o tempo de decaimento do fóton ainda é uma quantidade bem definida, a largura de linha perde seu significado, porque se assemelha a uma largura de banda espectral, cujo valor agora muda dentro dessa mesma largura de banda. Também neste caso, cada distribuição Airy é a soma de todos os perfis de modo subjacentes que podem ser fortemente distorcidos. Um exemplo da distribuição Airy e alguns dos perfis de modo subjacentes são dados na figura "Exemplo de um ressonador Fabry-Pérot com refletividade de espelho dependente da frequência". ${\ displaystyle \ tau _ {c} (\ nu)}$${\ displaystyle \ Delta \ nu _ {c} (\ nu)}$${\ displaystyle A _ {\ rm {trans}} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle \ gamma _ {q, {\ rm {trans}}} ^ {\ prime} (\ nu)}$

Ressonador Fabry-Pérot com perdas ópticas intrínsecas

As perdas de propagação intrínsecas dentro do ressonador podem ser quantificadas por um coeficiente de perda de intensidade por unidade de comprimento ou, de forma equivalente, pela perda de ida e volta intrínseca de modo que ${\ displaystyle \ alpha _ {\ rm {perda}}}$${\ displaystyle L _ {\ rm {RT}},}$

${\ displaystyle 1-L _ {\ rm {RT}} = e ^ {- \ alpha _ {\ rm {perda}} 2 \ ell} = e ^ {- t _ {\ rm {RT}} / \ tau _ { \ rm {perda}}}.}$

A perda adicional encurta o tempo de decaimento do fóton do ressonador: ${\ displaystyle \ tau _ {c}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ tau _ {c}}} = {\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {out}}}} + {\ frac {1} {\ tau _ { \ rm {perda}}}} = {\ frac {- \ ln {[R_ {1} R_ {2} (1-L _ {\ rm {RT}})]}} {t _ {\ rm {RT}} }} = {\ frac {- \ ln {[R_ {1} R_ {2}]}} {t _ {\ rm {RT}}}} + c \ alpha _ {\ rm {perda}}.}$

onde está a velocidade da luz na cavidade. A distribuição Airy genérica ou fator de realce de ressonância interna é então derivada como acima, incluindo as perdas de propagação por meio do coeficiente de perda de amplitude : ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle A _ {\ rm {circ}}}$${\ displaystyle \ alpha _ {\ rm {loss}} / 2}$

${\ displaystyle E _ {\ rm {circ}} = E _ {\ rm {launch}} + E _ {\ rm {RT}} = E _ {\ rm {launch}} + r_ {1} r_ {2} e ^ { - (\ alpha _ {\ rm {perda}} / 2) 2 \ ell} e ^ {- i2 \ phi} E _ {\ rm {circ}} \ Rightarrow {\ frac {E _ {\ rm {circ}}} {E _ {\ rm {launch}}}} = {\ frac {1} {1-r_ {1} r_ {2} e ^ {- \ alpha _ {\ rm {loss}} \ ell} e ^ {- i2 \ phi}}} \ Rightarrow}$

${\ displaystyle A _ {\ rm {circ}} = {\ frac {I _ {\ rm {circ}}} {I _ {\ rm {launch}}}} = {\ frac {\ left | E _ {\ rm {circ }} \ right | ^ {2}} {\ left | E _ {\ rm {launch}} \ right | ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ left | 1-r_ {1} r_ { 2} e ^ {- \ alpha _ {\ rm {perda}} \ ell} e ^ {- i2 \ phi} \ right | ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ left ({1- {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} e ^ {- \ alpha _ {\ rm {perda}} \ ell}} \ right) ^ {2} +4 {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} e ^ {- \ alpha _ {\ rm {perda}} \ ell} \ sin ^ {2} (\ phi)}}.}$

As outras distribuições Airy podem então ser derivadas como acima, levando em consideração adicionalmente as perdas de propagação. Particularmente, a função de transferência com perda torna-se

${\ displaystyle A _ {\ text {trans}} ^ {\ prime} = {\ frac {I _ {\ rm {trans}}} {I _ {\ rm {inc}}}} = (1-R_ {1}) (1-R_ {2}) e ​​^ {- \ alpha _ {\ rm {perda}} \ ell} A _ {\ rm {circ}} = {\ frac {(1-R_ {1}) (1-R_ {2}) e ​​^ {- \ alpha _ {\ rm {perda}} \ ell}} {\ left ({1 - {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} e ^ {- \ alpha _ {\ rm {perda}} \ ell}} \ right) ^ {2} +4 {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} e ^ {- \ alpha _ {\ rm {perda}} \ ell } \ sin ^ {2} (\ phi)}}.}$

Descrição do ressonador Fabry-Perot no espaço de comprimento de onda

Um etalon Fabry-Pérot. A luz entra no etalon e sofre múltiplas reflexões internas.

A transmissão de um etalon em função do comprimento de onda. Um etalon de alta finesse (linha vermelha) mostra picos mais nítidos e mínimos de transmissão mais baixos do que um etalon de baixa finesse (azul).

A fineza em função da refletividade. Fatores de finesse muito altos requerem espelhos altamente refletivos.

Tocar mídia

Análise transitória de um silício ( n = 3,4) Fabry – Pérot etalon com incidência normal. A animação superior é para espessura de etalon escolhida para fornecer transmissão máxima, enquanto a animação inferior é para espessura escolhida para fornecer transmissão mínima.

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Transiente de cor falsa para um alto índice de refração, placa dielétrica no ar. A espessura / frequências foram selecionadas de forma que o vermelho (superior) e o azul (inferior) tenham transmissão máxima, enquanto o verde (meio) experimente transmissão mínima.

A função de transmissão variável de um etalon é causada pela interferência entre as múltiplas reflexões de luz entre as duas superfícies refletoras. A interferência construtiva ocorre se os feixes transmitidos estiverem em fase , e isso corresponde a um pico de alta transmissão do etalon. Se os feixes transmitidos estiverem fora de fase, ocorre interferência destrutiva e isso corresponde a um mínimo de transmissão. Se os feixes múltiplos refletidos estão em fase ou não depende do comprimento de onda (λ) da luz (no vácuo), o ângulo em que a luz viaja através do étalon (θ), a espessura do étalon ( ℓ ) e o índice de refração de o material entre as superfícies refletoras ( n ).

A diferença de fase entre cada par sucessivo transmitida (isto é, T ₂ e T ₁ no diagrama) é dada pela

${\ displaystyle \ delta = \ left ({\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} \ right) 2n \ ell \ cos \ theta.}$

Se ambas as superfícies têm uma refletância R , a função de transmitância do etalon é dada por

${\ displaystyle T_ {e} = {\ frac {(1-R) ​​^ {2}} {1-2R \ cos \ delta + R ^ {2}}} = {\ frac {1} {1 + F \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ delta} {2}} \ right)}},}$

Onde

${\ displaystyle F = {\ frac {4R} {(1-R) ​​^ {2}}}}$

é o coeficiente de finesse .

A transmissão máxima ( ) ocorre quando a diferença de comprimento do caminho óptico ( ) entre cada feixe transmitido é um múltiplo inteiro do comprimento de onda. Na ausência de absorção, a refletância do etalon R _e é o complemento da transmitância, de modo que . A refletividade máxima é dada por ${\ displaystyle T_ {e} = 1}$${\ displaystyle 2nl \ cos \ theta}$${\ displaystyle T_ {e} + R_ {e} = 1}$

${\ displaystyle R _ {\ max} = 1 - {\ frac {1} {1 + F}} = {\ frac {4R} {(1 + R) ^ {2}}},}$

e isso ocorre quando a diferença do comprimento do caminho é igual a meio múltiplo ímpar do comprimento de onda.

A separação de comprimento de onda entre picos de transmissão adjacentes é chamada de faixa espectral livre (FSR) do etalon, Δλ, e é dada por:

${\ displaystyle \ Delta \ lambda = {\ frac {\ lambda _ {0} ^ {2}} {2n _ {\ mathrm {g}} \ ell \ cos \ theta + \ lambda _ {0}}} \ aprox { \ frac {\ lambda _ {0} ^ {2}} {2n _ {\ mathrm {g}} \ ell \ cos \ theta}},}$

onde λ ₀ é o comprimento de onda central do pico de transmissão mais próximo e é o índice de refração do grupo . O FSR está relacionado à metade do máximo de largura total, δλ, de qualquer banda de transmissão por uma quantidade conhecida como finesse : ${\ displaystyle n _ {\ mathrm {g}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = {\ frac {\ Delta \ lambda} {\ delta \ lambda}} = {\ frac {\ pi} {2 \ arcsin \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {F}}} \ right)}}.}$

Isso é comumente aproximado (para R  > 0,5) por

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ approx {\ frac {\ pi {\ sqrt {F}}} {2}} = {\ frac {\ pi R ^ {\ frac {1} {2}}} {1-R}}.}$

Se os dois espelhos não forem iguais, a sutileza torna-se

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ approx {\ frac {\ pi \ left (R_ {1} R_ {2} \ right) ^ {\ frac {1} {4}}} {1- \ left ( R_ {1} R_ {2} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}}.}$

Étalons com alta finesse mostram picos de transmissão mais nítidos com coeficientes de transmissão mínimos mais baixos. No caso da incidência oblíqua, a finesse dependerá do estado de polarização do feixe, uma vez que o valor de R , dado pelas equações de Fresnel , geralmente é diferente para as polarizações pe s.

Dois feixes são mostrados no diagrama à direita, um dos quais (T ₀ ) é transmitido através do etalon e o outro (T ₁ ) é refletido duas vezes antes de ser transmitido. Em cada reflexão, a amplitude é reduzida em , enquanto em cada transmissão por meio de uma interface a amplitude é reduzida em . Assumindo que não absorção, conservação de energia requer T  +  R  = 1. Na derivação abaixo, n é o índice de refracção dentro da etalon, e n ₀ é que o exterior etalon. Presume-se que n > n ₀ . A amplitude do incidente no ponto a é considerada um, e os fasores são usados ​​para representar a amplitude da radiação. A amplitude transmitida no ponto b será então ${\ displaystyle {\ sqrt {R}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {T}}}$

${\ displaystyle t_ {0} = T \, e ^ {ik \ ell / \ cos \ theta},}$

onde é o número de onda dentro do etalon, e λ é o comprimento de onda do vácuo. No ponto c, a amplitude transmitida será ${\ displaystyle k = 2 \ pi n / \ lambda}$

${\ displaystyle t '_ {1} = TR \, e ^ {3ik \ ell / \ cos \ theta}.}$

A amplitude total de ambos os feixes será a soma das amplitudes dos dois feixes medidas ao longo de uma linha perpendicular à direção do feixe. A amplitude t ₀ no ponto b pode, portanto, ser adicionada a t ' ₁ retardada na fase por uma quantidade , onde é o número de onda fora do etalon. Desse modo ${\ displaystyle k_ {0} \ ell _ {0}}$${\ displaystyle k_ {0} = 2 \ pi n_ {0} / \ lambda}$

${\ displaystyle t_ {1} = TR \, e ^ {\ left (3ik \ ell / \ cos \ theta \ right) -ik_ {0} \ ell _ {0}},}$

onde ℓ ₀ é

${\ displaystyle \ ell _ {0} = 2 \ ell \ tan \ theta \ sin \ theta _ {0}.}$

A diferença de fase entre os dois feixes é

${\ displaystyle \ delta = {2k \ ell \ over \ cos \ theta} -k_ {0} \ ell _ {0}.}$

A relação entre θ e θ ₀ é dada pela lei de Snell :

${\ displaystyle n \ sin \ theta = n_ {0} \ sin \ theta _ {0},}$

de modo que a diferença de fase pode ser escrita como

${\ displaystyle \ delta = 2k \ ell \, \ cos \ theta.}$

Para dentro de um factor multiplicativo constante de fase, a amplitude da m th feixe transmitido pode ser escrito como

${\ displaystyle t_ {m} = TR ^ {m} e ^ {im \ delta}.}$

A amplitude total transmitida é a soma das amplitudes de todos os feixes individuais:

${\ displaystyle t = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} t_ {m} = T \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} R ^ {m} \, e ^ {im \ delta }.}$

A série é uma série geométrica , cuja soma pode ser expressa analiticamente. A amplitude pode ser reescrita como

${\ displaystyle t = {\ frac {T} {1-Re ^ {i \ delta}}}.}$

A intensidade do feixe será apenas t vezes seu conjugado complexo . Uma vez que o feixe incidente foi assumido como tendo uma intensidade de um, isso também dará a função de transmissão:

${\ displaystyle T_ {e} = tt ^ {*} = {\ frac {T ^ {2}} {1 + R ^ {2} -2R \ cos \ delta}}.}$

Para uma cavidade assimétrica, ou seja, uma com dois espelhos diferentes, a forma geral da função de transmissão é

${\ displaystyle T_ {e} = {\ frac {T_ {1} T_ {2}} {1 + R_ {1} R_ {2} -2 {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}} \ cos \ delta}}.}$

Um interferômetro Fabry – Pérot difere de um Etalon Fabry – Pérot no fato de que a distância ℓ entre as placas pode ser ajustada para alterar os comprimentos de onda nos quais os picos de transmissão ocorrem no interferômetro. Devido à dependência do ângulo da transmissão, os picos também podem ser deslocados girando o etalon em relação ao feixe.

Outra expressão para a função de transmissão já foi derivada na descrição no espaço de frequência como a soma infinita de todos os perfis de modo longitudinal. A definição da expressão acima pode ser escrita como ${\ displaystyle \ gamma = \ ln \ left ({\ frac {1} {R}} \ right)}$

${\ displaystyle T_ {e} = {\ frac {T ^ {2}} {1-R ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ sinh \ gamma} {\ cosh \ gamma - \ cos \ delta }}\direito).}$

O segundo termo é proporcional a uma distribuição Lorentziana encapsulada, de modo que a função de transmissão pode ser escrita como uma série de funções Lorentzianas :

${\ displaystyle T_ {e} = {\ frac {2 \ pi \, T ^ {2}} {1-R ^ {2}}} \, \ sum _ {\ ell = - \ infty} ^ {\ infty } L (\ delta -2 \ pi \ ell; \ gamma),}$