categoria livre - Free category

Em matemática , a categoria livre ou caminho categoria gerado por um grafo orientado ou tremor é a categoria que resulta de setas concatenando livremente em conjunto, sempre que o alvo de uma seta é a fonte da próxima.

Mais precisamente, os objetos da categoria são os vértices do tremor, e os morfismos são caminhos entre objetos. Aqui, um caminho é definido como uma sequência finita

${\ DisplayStyle V_ {0} {\ xrightarrow {\; \; E_ {0} \; \;}} V_ {1} {\ xrightarrow {\; \; E_ {1} \; \;}} \ cdots { \ xrightarrow {E_ {n-1}}} V_ {n}}$

onde é um vértice do tremor, é uma vantagem do tremor, e n varia ao longo dos inteiros não negativos. Para cada vértice do tremor, há um "caminho vazio" que constitui a morphisms identidade da categoria. ${\ Displaystyle V_ {k}}$${\ Displaystyle E_ {k}}$${\ V} displaystyle$

A operação de composição é a concatenação de caminhos. caminhos dadas

${\ Displaystyle V_ {0} {\ xrightarrow {E_ {0}}} \ cdots {\ xrightarrow {E_ {n-1}}} V_ {n}, \ quad V_ {n} {\ xrightarrow {F_ {0} }} W_ {0} {\ F_ xrightarrow {{1}}} \ cdots {\ F_ xrightarrow {{n-1}}} W_ {m},}$

a sua composição é

${\ Displaystyle \ esquerda (V_ {n} {\ xrightarrow {F_ {0}}} W_ {0} {\ xrightarrow {F_ {1}}} \ cdots {\ xrightarrow {F_ {n-1}}} W_ { m} \ direita) \ circ \ esquerda (V_ {0} {\ xrightarrow {E_ {0}}} \ cdots {\ xrightarrow {E_ {n-1}}} V_ {n} \ direita): = V_ {0 } {\ xrightarrow {E_ {0}}} \ cdots {\ xrightarrow {E_ {n-1}}} V_ {n} {\ xrightarrow {F_ {0}}} W_ {0} {\ xrightarrow {F_ {1 }}} \ cdots {\ F_ xrightarrow {{n-1}}} W_ {m}}$.

Observe que o resultado da composição começa com o operando à direita da composição, e termina com seu operando esquerdo.

Exemplos

• Se Q é o tremor com um vértice e um borda F de que objecto a si mesmo, então a categoria livre em Q tem a forma de setas 1 , f , f ∘ f , f ∘ f ∘ f , etc.
• Deixe Q ser a aljava com dois vértices uma , b e duas bordas e , f a partir de um a b e b a um , respectivamente. Em seguida, a categoria livre em Q tem duas setas de identidade e uma seta para cada sequência finita dos alternada e s e f s, incluindo: e , f , e ∘ f , f ∘ e , f ∘ e ∘ f , e ∘ f ∘ e , etc.
• Se Q é o tremor , em seguida, a categoria livre em Q tem (para além de três setas de identidade), as setas f , g , e g ∘ f .${\ Displaystyle um {\ xrightarrow {f}} b {\ xrightarrow {g}}} c$
• Se um tremor Q tem apenas um vértice, em seguida, a categoria livre em Q tem apenas um objecto, e corresponde ao monóide livre sobre as bordas de Q .

propriedades

A categoria de pequenas categorias Cat tem um functor forgetful U na categoria quiver Quiv :

L  : Cat → Quiv

que leva objetos para vértices e morphisms a flechas. Intuitivamente, U "[esquece] que as setas são compósitos e que são identidades". Este functor forgetful é adjunto direito ao functor enviando um tremor ao correspondente categoria livre.

propriedade universal

A categoria livre em um quiver pode ser descrito até isomorfismo por uma propriedade universal . Vamos C  : Quiv → gato ser o functor que leva um tremor à categoria livre em que aljava (como descrito acima), deixa L ser o functor esquecido acima definido, e deixar L ser qualquer tremor. Depois, há um homomorphism gráfico de I  : L → L ( C ( L )), e dado qualquer categoria D e qualquer gráfico homomorphism F  : G → L (B) , existe uma functor única F'  : C ( L ) → D tal que L ( M' ) ∘ I = F , ou seja, os seguintes diagrama deslocamentos :

O functor C é deixado adjunta ao functor forgetful U .

Veja também

• Livre estrita categoria monoidal
• objeto livre
• funtores adjuntos

Referências