Teorema de Frisch – Waugh – Lovell - Frisch–Waugh–Lovell theorem

Em econometria , o teorema de Frisch – Waugh – Lovell (FWL) é nomeado após os econometras Ragnar Frisch , Frederick V. Waugh e Michael C. Lovell .

O teorema de Frisch-Waugh-Lovell afirma que se a regressão com a qual estamos preocupados é:

${\ displaystyle Y = X_ {1} \ beta _ {1} + X_ {2} \ beta _ {2} + u}$

onde e são e matrizes respectivamente e onde e são conformes , a estimativa de será a mesma que a estimativa de uma regressão modificada da forma: ${\ displaystyle X_ {1}}$${\ displaystyle X_ {2}}$${\ displaystyle n \ times k_ {1}}$${\ displaystyle n \ times k_ {2}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {1}}$${\ displaystyle \ beta _ {2}}$${\ displaystyle \ beta _ {2}}$

${\ displaystyle M_ {X_ {1}} Y = M_ {X_ {1}} X_ {2} \ beta _ {2} + M_ {X_ {1}} u,}$

onde projeta no complemento ortogonal da imagem da matriz de projeção . De forma equivalente, M _{X 1 se} projeta no complemento ortogonal do espaço da coluna de  X ₁ . Especificamente, ${\ displaystyle M_ {X_ {1}}}$ ${\ displaystyle X_ {1} (X_ {1} ^ {\ mathsf {T}} X_ {1}) ^ {- 1} X_ {1} ^ {\ mathsf {T}}}$

${\ displaystyle M_ {X_ {1}} = I-X_ {1} (X_ {1} ^ {\ mathsf {T}} X_ {1}) ^ {- 1} X_ {1} ^ {\ mathsf {T }},}$

e essa matriz de projeção ortogonal específica é conhecida como matriz aniquiladora .

O vetor é o vetor de resíduos da regressão de nas colunas de . ${\ textstyle M_ {X_ {1}} Y}$${\ textstyle Y}$${\ textstyle X_ {1}}$

O teorema implica que a regressão secundária usada para obter é desnecessária quando as variáveis ​​preditoras não estão correlacionadas (isso nunca acontece na prática): usar matrizes de projeção para tornar as variáveis ​​explicativas ortogonais entre si levará aos mesmos resultados que executar a regressão com todas explicadores não ortogonais incluídos. ${\ displaystyle M_ {X_ {1}}}$

Referências

Leitura adicional

• Davidson, Russell; MacKinnon, James G. (1993). Estimation and Inference in Econometrics . Nova York: Oxford University Press. pp. 19–24. ISBN 0-19-506011-3.
• Davidson, Russell; MacKinnon, James G. (2004). Teoria e métodos econométricos . Nova York: Oxford University Press. pp.  62 -75. ISBN 0-19-512372-7.
• Hastie, Trevor ; Tibshirani, Robert ; Friedman, Jerome (2017). "Multiple Regression from Simple Univariate Regression" (PDF) . Os Elementos de Aprendizagem Estatística: Mineração de Dados, Inferência e Previsão (2ª ed.). Nova York: Springer. pp. 52–55. ISBN 978-0-387-84857-0.
• Ruud, PA (2000). Uma introdução à teoria econométrica clássica . Nova York: Oxford University Press. pp. 54–60. ISBN 0-19-511164-8.
• Stachurski, John (2016). A Primer in Economometric Theory . MIT Press. pp. 311–314.