Conjectura de Agoh – Giuga - Agoh–Giuga conjecture

Na teoria dos números, a conjectura Agoh-Giuga sobre os números de Bernoulli B _k postula que p é um número primo se e somente se

${\ displaystyle pB_ {p-1} \ equiv -1 {\ pmod {p}}.}$

Recebeu o nome de Takashi Agoh e Giuseppe Giuga .

Formulação equivalente

A conjectura conforme declarada acima é devida a Takashi Agoh (1990); uma formulação equivalente deve-se a Giuseppe Giuga , de 1950, no sentido de que p é primo se e somente se

${\ displaystyle 1 ^ {p-1} + 2 ^ {p-1} + \ cdots + (p-1) ^ {p-1} \ equiv -1 {\ pmod {p}}}$

que também pode ser escrito como

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {p-1} i ^ {p-1} \ equiv -1 {\ pmod {p}}.}$

É trivial mostrar que p sendo primo é suficiente para a segunda equivalência ser válida, uma vez que se p é primo, o pequeno teorema de Fermat afirma que

${\ displaystyle a ^ {p-1} \ equiv 1 {\ pmod {p}}}$

para , e a equivalência segue, uma vez que ${\ displaystyle a = 1,2, \ dots, p-1}$${\ displaystyle p-1 \ equiv -1 {\ pmod {p}}.}$

Status

A afirmação ainda é uma conjectura, pois ainda não foi provado que se um número n não é primo (ou seja, n é composto ), a fórmula não é válida. Foi demonstrado que um número composto n satisfaz a fórmula se e somente se for um número de Carmichael e um número de Giuga , e se tal número existir, ele tem pelo menos 13.800 dígitos (Borwein, Borwein, Borwein, Girgensohn 1996 ) Laerte Sorini, finalmente, em um trabalho de 2001 mostrou que um possível contra-exemplo deveria ser um número n maior que 10 ³⁶⁰⁶⁷ que representa o limite sugerido por Bedocchi para a técnica de demonstração especificada por Giuga para sua própria conjectura.

Relação com o teorema de Wilson

A conjectura Agoh-Giuga tem uma semelhança com o teorema de Wilson , que foi provado ser verdadeiro. O teorema de Wilson afirma que um número p é primo se e somente se

${\ displaystyle (p-1)! \ equiv -1 {\ pmod {p}},}$

que também pode ser escrito como

${\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {p-1} i \ equiv -1 {\ pmod {p}}.}$

Para um p primo ímpar, temos

${\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {p-1} i ^ {p-1} \ equiv (-1) ^ {p-1} \ equiv 1 {\ pmod {p}},}$

e para p = 2 temos

${\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {p-1} i ^ {p-1} \ equiv (-1) ^ {p-1} \ equiv 1 {\ pmod {p}}.}$

Assim, a verdade da conjectura de Agoh-Giuga combinada com o teorema de Wilson daria: um número p é primo se e somente se

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {p-1} i ^ {p-1} \ equiv -1 {\ pmod {p}}}$

e

${\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {p-1} i ^ {p-1} \ equiv 1 {\ pmod {p}}.}$

Referências

• Giuga, Giuseppe (1951). "Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi". Ist.Lombardo Sci. Lett., Rend., Cl. Sci. Esteira. Natur. (em italiano). 83 : 511–518. ISSN   0375-9164 . Zbl   0045.01801 .
• Agoh, Takashi (1995). "Sobre a conjectura de Giuga". Manuscripta Mathematica . 87 (4): 501–510. doi : 10.1007 / bf02570490 . Zbl   0845.11004 .
• Borwein, D .; Borwein, JM ; Borwein, PB ; Girgensohn, R. (1996). "Conjectura de Giuga sobre a Primalidade" (PDF) . American Mathematical Monthly . 103 (1): 40–50. CiteSeerX   10.1.1.586.1424 . doi : 10.2307 / 2975213 . JSTOR   2975213 . Zbl   0860.11003 . Arquivado do original (PDF) em 31/05/2005 . Página visitada em 29/05/2005 .
• Sorini, Laerte (2001). "Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga". Quaderni di Economia, Matematica e Statistica, DESP, Università di Urbino Carlo Bo (em italiano). 68 . ISSN   1720-9668 .