Código Goppa - Goppa code

Em matemática , um código geométrico algébrico ( código AG ), também conhecido como código Goppa , é um tipo geral de código linear construído usando uma curva algébrica sobre um corpo finito . Esses códigos foram introduzidos por Valerii Denisovich Goppa . Em casos particulares, eles podem ter propriedades extremas interessantes . Eles não devem ser confundidos com códigos binários Goppa que são usados, por exemplo, no criptossistema McEliece . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {q}}$

Construção

Tradicionalmente, um código AG é construído a partir de uma curva projetiva não singular X sobre um campo finito usando um número de pontos fixos distintos - racionais em : ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {q}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {P}}: = \ {P_ {1}, \ ldots, P_ {n} \} \ subset \ mathbf {X} (\ mathbb {F} _ {q}).}

Let Ser um divisor em X , com um suporte que consiste em apenas pontos racionais e que é disjunto do (ie, ). ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle P_ {i}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} \ cap \ operatorname {supp} (G) = \ varnothing}$

Pelo teorema de Riemann-Roch , existe um único espaço vetorial de dimensão finita,, com respeito ao divisor . O espaço vectorial é um subespaço do campo função de X . ${\ displaystyle L (G)}$ ${\ displaystyle G}$

Existem dois tipos principais de códigos AG que podem ser construídos usando as informações acima.

Código de função

O código de função (ou código duplo ) em relação a uma curva X , um divisor e o conjunto é construído como segue. ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Let , ser um divisor, com o definido como acima. Normalmente denotamos um código Goppa por C ( D , G ). Agora sabemos tudo o que precisamos para definir o código Goppa: ${\ displaystyle D = P_ {1} + \ cdots + P_ {n}}$ ${\ displaystyle P_ {i}}$

{\ displaystyle C (D, G) = \ left \ {\ left (f (P_ {1}), \ ldots, f (P_ {n}) \ right) \: \ f \ in L (G) \ right \} \ subset \ mathbb {F} _ {q} ^ {n}}

Para uma base fixa para L ( G ) over , o código Goppa correspondente em é estendido pelos vetores ${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {q} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {q}}$

{\ displaystyle \ left (f_ {i} (P_ {1}), \ ldots, f_ {i} (P_ {n}) \ right)}

Portanto,

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} f_ {1} (P_ {1}) & \ cdots & f_ {1} (P_ {n}) \\\ vdots && \ vdots \\ f_ {k} (P_ {1} ) & \ cdots & f_ {k} (P_ {n}) \ end {bmatrix}}}

é uma matriz geradora para ${\ displaystyle C (D, G).}$

Equivalentemente, é definido como a imagem de

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ alpha: L (G) \ to \ mathbb {F} ^ {n} \\ f \ mapsto (f (P_ {1}), \ ldots, f (P_ {n} )) \ end {cases}}}

O seguinte mostra como os parâmetros do código se relacionam com os parâmetros clássicos de sistemas lineares de divisores D em C (cf. teorema de Riemann-Roch para mais). A notação ℓ ( D ) significa a dimensão de L ( D ).

Proposição A. A dimensão do código Goppa é

{\ displaystyle C (D, G)}

{\ displaystyle k = \ ell (G) - \ ell (GD).}

Prova. Uma vez que devemos mostrar que ${\ displaystyle C (D, G) \ cong L (G) / \ ker (\ alpha),}$

{\ displaystyle \ ker (\ alpha) = L (GD).}

Vamos então assim . Assim, por outro lado, suponha, então, uma vez que ${\ displaystyle f \ in \ ker (\ alpha)}$ ${\ displaystyle f (P_ {1}) = \ cdots = f (P_ {n}) = 0}$ ${\ displaystyle \ operatorname {div} (f)> D}$ ${\ displaystyle f \ in L (GD).}$ ${\ displaystyle f \ in L (GD),}$ ${\ displaystyle \ operatorname {div} (f)> D}$

{\ displaystyle P_ {i} <G, \ quad i = 1, \ ldots, n.}

( G não "conserta" os problemas com o , então f deve fazer isso em vez disso.) Segue-se que ${\ displaystyle -D}$ ${\ displaystyle f (P_ {1}) = \ cdots = f (P_ {n}) = 0.}$

Proposição B. A distância mínima entre duas palavras de código é

{\ displaystyle d \ geqslant n- \ deg (G).}

Prova. Suponha que o peso de Hamming de seja d . Isso significa que para os índices temos para Then , e ${\ displaystyle \ alpha (f)}$ ${\ displaystyle nd}$ ${\ displaystyle i_ {1}, \ ldots, i_ {nd}}$ ${\ displaystyle f (P_ {i_ {k}}) = 0}$ ${\ displaystyle k \ in \ {1, \ ldots, nd \}.}$ ${\ displaystyle f \ in L (G-P_ {i_ {1}} - \ cdots -P_ {i_ {nd}})}$