Resultados nas áreas de superfície e volumes de superfícies e sólidos de revolução
O teorema aplicado a um cilindro aberto, cone e esfera para obter suas áreas de superfície. Os centróides estão a uma distância
a (em vermelho) do eixo de rotação.
Em matemática, o teorema do centróide de Pappus (também conhecido como teorema de Guldinus , teorema de Pappus-Guldinus ou teorema de Pappus ) é um dos dois teoremas relacionados que lidam com as áreas de superfície e volumes de superfícies e sólidos de revolução.
Os teoremas são atribuídos a Pappus de Alexandria e Paul Guldin . A declaração de Pappus desse teorema aparece na impressão pela primeira vez em 1659, mas já era conhecida antes, por Kepler em 1615 e Guldin em 1640.
O primeiro teorema
O primeiro teorema afirma que a área de superfície A de uma superfície de revolução gerada pela rotação de uma curva plana C em torno de um eixo externo a C e no mesmo plano é igual ao produto do comprimento do arco s de C pela distância d percorrida por o centróide geométrico de C :
Por exemplo, a área de superfície do toro com raio menor r e raio maior R é
O segundo teorema
O segundo teorema que o volume de V de um sólido de revolução gerada pela rotação de uma figura plana F torno de um eixo externo é igual ao produto da área A de F e a distância d percorrida pelo centróide geométrico de F . (O centróide de F é geralmente diferente do centróide de sua curva limite C. ) Ou seja:
Por exemplo, o volume do toro com raio menor r e raio maior R é
Este caso especial foi derivado por Johannes Kepler usando infinitesimais.
Prova
Deixe ser a área de , o sólido de revolução e o volume de . Suponha que comece no plano e gire em torno do eixo. A distância do centróide de do eixo é a sua coordenada
e o teorema afirma que
Para mostrar isso, vamos no plano xz , parametrizado por for , uma região de parâmetro. Como é essencialmente um mapeamento de para , a área de é dada pela fórmula de mudança de variáveis :
onde está o determinante da matriz Jacobiana da mudança de variáveis.
O sólido possui parametrização toroidal para na região do parâmetro ; e seu volume é
Expandindo,
A última igualdade é mantida porque o eixo de rotação deve ser externo a , ou seja . Agora,
por mudança de variáveis.
Generalizações
Os teoremas podem ser generalizados para curvas e formas arbitrárias, sob condições apropriadas.
Goodman & Goodman generalizam o segundo teorema da seguinte maneira. Se o valor F move-se através do espaço de modo a que permaneça perpendicular para a curva G rastreada pelo centróide de F , então ele varre um sólido do volume V = Ad , onde A é a área de F e d é o comprimento de L . (Isso pressupõe que o sólido não se intercepta.) Em particular, F pode girar em torno de seu centróide durante o movimento.
No entanto, a generalização correspondente do primeiro teorema só é verdade se a curva G traçada pelos mentiras centróide num plano perpendicular ao plano de C .
Em n-dimensões
Em geral, pode-se gerar um sólido dimensional girando um sólido dimensional em torno de uma esfera dimensional. Isso é chamado de sólido de revolução das espécies . Deixe o -ésimo centróide de ser definido por
Então os teoremas de Pappus generalizam para:
Volume do -sólido de revolução da espécie = (Volume do -sólido gerador ) (Área de superfície da -esfera traçada pelo -ésimo centróide do sólido gerador)
e
Área de superfície de -sólido de revolução da espécie = (Área de superfície de -sólido de geração ) (Área de superfície de -sfera traçada pelo -ésimo centróide do sólido de geração)
Os teoremas originais são o caso com .
Referências
links externos