Modelo girador-capacitor - Gyrator–capacitor model

Um transformador simples e seu modelo girator-capacitor. R é a relutância do circuito magnético físico.

O modelo girador-capacitor - às vezes também o modelo de permeação de capacitor - é um modelo de elemento concentrado para circuitos magnéticos , que pode ser usado no lugar do modelo mais comum de resistência-relutância . O modelo faz elementos de permeance análogos à capacitância elétrica ( veja a seção de capacitância magnética ) em vez de resistência elétrica ( veja relutância magnética ). Os enrolamentos são representados como giradores , fazendo interface entre o circuito elétrico e o modelo magnético.

A principal vantagem do modelo girador-capacitor em comparação com o modelo de relutância magnética é que o modelo preserva os valores corretos de fluxo, armazenamento e dissipação de energia. O modelo girador-capacitor é um exemplo de um grupo de analogias que preservam o fluxo de energia através dos domínios de energia, tornando análogos os pares de variáveis conjugadas de potência nos vários domínios. Ela desempenha o mesmo papel que a analogia da impedância para o domínio mecânico.

Nomenclatura

Circuito magnético pode referir-se ao circuito magnético físico ou ao circuito magnético modelo. Os elementos e variáveis dinâmicas que fazem parte do circuito magnético do modelo têm nomes que começam com o adjetivo magnético , embora essa convenção não seja estritamente seguida. Os elementos do modelo no circuito magnético que representam os elementos elétricos são normalmente os duais elétricos dos elementos elétricos. Isso ocorre porque os transdutores entre os domínios elétrico e magnético neste modelo são geralmente representados por giradores. Um girador irá transformar um elemento em seu dual. Por exemplo, uma indutância magnética pode representar uma capacitância elétrica. Os elementos do circuito magnético do modelo podem não ter correspondência de um para um com os componentes do circuito magnético físico. As variáveis dinâmicas no circuito magnético do modelo podem não ser o dual das variáveis no circuito físico. Os símbolos dos elementos e variáveis que fazem parte do circuito magnético do modelo podem ser escritos com um subscrito de M. Por exemplo, seria um capacitor no circuito do modelo. ${\ displaystyle C_ {M}}$

Resumo da analogia entre circuitos magnéticos e circuitos elétricos

A tabela a seguir resume a analogia matemática entre a teoria do circuito elétrico e a teoria do circuito magnético.

Analogia entre circuitos magnéticos e circuitos elétricos usados na abordagem girador-capacitor
Magnético			Elétrico
Nome	Símbolo	Unidades	Nome	Símbolo	Unidades
Força magnetomotriz (MMF)	${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = \ int \ mathbf {H} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {l}}$	ampere de volta	Força eletromotriz (EMF)	${\ displaystyle {\ mathcal {E}} = \ int \ mathbf {E} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {l}}$	volt
Campo magnético	H	ampere / metro = newton / weber	Campo elétrico	E	volt / metro = newton / coulomb
Fluxo magnético	${\ displaystyle \ Phi}$	weber	Carga elétrica	Q	Coulomb
Taxa de mudança de fluxo	${\ displaystyle {\ dot {\ Phi}}}$	weber / segundo = volt	Corrente elétrica	${\ displaystyle {\ mathcal {}} I}$	coulomb / segundo = ampere
Admissão magnética	${\ displaystyle {\ mathcal {}} Y_ {M} (\ omega) = {\ frac {{\ dot {\ Phi}} (\ omega)} {{\ mathcal {F}} (\ omega)}}}$	ohm	Admissão	${\ displaystyle {\ mathcal {}} Y_ {E} (\ omega) = {\ frac {I (\ omega)} {V (\ omega)}}}$	1 / ohm = mho = siemens
Condutância magnética	${\ displaystyle G_ {M} = \ operatorname {Re} (Y_ {M} (\ omega))}$	ohm	Condutância elétrica	${\ displaystyle G_ {E} = \ operatorname {Re} (Y_ {E} (\ omega))}$	1 / ohm = mho = siemens
Permeance	${\ displaystyle {\ mathcal {P}} = {\ frac {\ operatorname {Im} (Y_ {M} (\ omega))} {\ omega}}}$	Henry	Capacitância	${\ displaystyle C = {\ frac {\ operatorname {Im} (Y_ {E} (\ omega))} {\ omega}}}$	Farad

Girador

Definição de girador como usada por Hamill no artigo de abordagem girador-capacitor.

Um girador é um elemento de duas portas usado na análise de rede. O girador é o complemento do transformador ; enquanto em um transformador, uma tensão em uma porta se transformará em uma tensão proporcional na outra porta, em um girador, uma tensão em uma porta se transformará em uma corrente na outra porta, e vice-versa.

O papel dos giradores no modelo girador-capacitor é como transdutores entre o domínio da energia elétrica e o domínio da energia magnética. Um fem no domínio elétrico é análogo a um mmf no domínio magnético, e um transdutor fazendo tal conversão seria representado como um transformador. No entanto, os transdutores eletromagnéticos reais geralmente se comportam como giradores. Um transdutor do domínio magnético para o domínio elétrico obedecerá à lei da indução de Faraday , ou seja, uma taxa de variação do fluxo magnético (uma corrente magnética nesta analogia) produz uma fem proporcional no domínio elétrico. Da mesma forma, um transdutor do domínio elétrico para o domínio magnético obedecerá à lei circuital de Ampère , ou seja, uma corrente elétrica produzirá um mmf.

Um enrolamento de N voltas é modelado por um girador com uma resistência de giro de N ohms.

Transdutores que não são baseados em indução magnética não podem ser representados por um girador. Por exemplo, um sensor de efeito Hall é modelado por um transformador.

Voltagem magnética

Tensão magnético , , é um nome alternativo para força magnetomotriz (FMM), ( unidade SI : Um ou ampères-volta ), que é análoga à eléctrico voltagem num circuito eléctrico. Nem todos os autores usam o termo voltagem magnética . A força magnetomotriz aplicada a um elemento entre o ponto A e o ponto B é igual à integral da linha através do componente da força do campo magnético ,. ${\ displaystyle v_ {m}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H}}$

{\ displaystyle v_ {m} = {\ mathcal {F}} = - \ int _ {A} ^ {B} \ mathbf {H} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {l}}

O modelo de resistência-relutância usa a mesma equivalência entre a tensão magnética e a força magnetomotriz.

Corrente magnética

Corrente magnética , , é um nome alternativo para a taxa de tempo de mudança de fluxo , ( unidade SI : Wb / seg ou volts ), que é análoga à corrente eléctrica num circuito eléctrico. No circuito físico,, é a corrente de deslocamento magnético . A corrente magnética fluindo através de um elemento de seção transversal,, é a área integral da densidade do fluxo magnético . ${\ displaystyle i_ {m}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ Phi}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ Phi}}}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$

{\ displaystyle i_ {m} = {\ dot {\ Phi}} = {\ frac {d} {dt}} \ int _ {S} \ mathbf {B} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {S} }

O modelo de resistência-relutância usa uma equivalência diferente, tomando corrente magnética como um nome alternativo para fluxo ,. Essa diferença na definição de corrente magnética é a diferença fundamental entre o modelo do capacitor-girador e o modelo de resistência-relutância. A definição de corrente magnética e voltagem magnética implica nas definições dos outros elementos magnéticos. ${\ displaystyle \ Phi}$

Capacitância magnética

Permeance de um elemento de prisma retangular

Capacitância magnética é um nome alternativo para permeance , ( unidade SI : H ). É representado por uma capacitância no circuito magnético do modelo. Alguns autores usam para denotar a capacitância magnética, enquanto outros usam e se referem à capacitância como uma permança. Permeância de um elemento é um grande propriedade definida como o fluxo magnético, através da superfície em corte transversal do elemento dividida pela força magnetomotriz , , através do elemento' ${\ displaystyle C _ {\ mathrm {M}}}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle \ Phi}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle C _ {\ mathrm {M}} = P = {\ frac {\ int \ mathbf {B} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {S}} {\ int \ mathbf {H} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {l}}} = {\ frac {\ Phi} {\ mathcal {F}}}}$

Para uma barra de seção transversal uniforme, a capacitância magnética é dada por,

${\ displaystyle C _ {\ mathrm {M}} = P = \ mu _ {\ mathrm {r}} \ mu _ {0} {\ frac {S} {l}}}$

onde: é a permeabilidade magnética , é a seção transversal do elemento e é o comprimento do elemento. ${\ displaystyle \ mu _ {\ mathrm {r}} \ mu _ {0} = \ mu}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle l}$

Para a análise fasorial , a permeabilidade magnética e a permeabilidade são valores complexos.

Permeance é o recíproco da relutância .

Indutância magnética

Equivalência de circuito entre uma indutância magnética e uma capacitância elétrica.

No contexto do modelo girador-capacitor de um circuito magnético, a indutância magnética (reatância magnética indutiva) é a analogia com a indutância em um circuito elétrico. No sistema SI, é medido em unidades de - Ω ⁻¹ . Este modelo torna a força magnetomotriz (mmf) o análogo da força eletromotriz em circuitos elétricos, e a taxa de variação do fluxo magnético, o análogo da corrente elétrica.

Para a análise fasorial, a reatância magnética indutiva é:

{\ displaystyle x _ {\ mathrm {L}} = \ omega L _ {\ mathrm {M}}}

Onde:

{\ displaystyle L _ {\ mathrm {M}}}

é a indutividade magnética ( unidade SI : s · Ω ⁻¹ )

{\ displaystyle \ omega}

é a frequência angular do circuito magnético

Na forma complexa, é um número imaginário positivo:

{\ displaystyle jx _ {\ mathrm {L}} = j \ omega L _ {\ mathrm {M}}}

A energia potencial magnética sustentada pela indutividade magnética varia com a frequência das oscilações nos campos elétricos. A potência média em um determinado período é igual a zero. Devido à sua dependência da frequência, a indutância magnética é observada principalmente em circuitos magnéticos que operam em frequências VHF e / ou UHF .

A noção de indutividade magnética é empregada na análise e cálculo do comportamento do circuito no modelo girador-capacitor de uma forma análoga à indutância em circuitos elétricos.

Um indutor magnético pode representar um capacitor elétrico. Uma capacitância shunt no circuito elétrico, como a capacitância intra-enrolamento, pode ser representada como uma indutância em série no circuito magnético.

Exemplos

Transformador trifásico

Transformador trifásico com enrolamentos e elementos de permeabilidade.

Esquema usando modelo girador-capacitor para enrolamentos de transformador e capacitores para elementos de permeance

Este exemplo mostra um transformador trifásico modelado pela abordagem girador-capacitor. O transformador neste exemplo tem três enrolamentos primários e três enrolamentos secundários. O circuito magnético é dividido em sete elementos de relutância ou permeabilidade. Cada enrolamento é modelado por um girador. A resistência à rotação de cada girador é igual ao número de voltas do enrolamento associado. Cada elemento de permeance é modelado por um capacitor. O valor de cada capacitor em farads é o mesmo que a indutância da permeance associada em Henry .

N ₁ , N ₂ e N ₃ são o número de voltas nos três enrolamentos primários. N ₄ , N ₅ e N ₆ são o número de voltas nos três enrolamentos secundários. Φ ₁ , Φ ₂ e Φ ₃ são os fluxos nos três elementos verticais. O fluxo magnético em cada elemento de permeance em webers é numericamente igual à carga na capacitância associada em coulombs . A energia em cada elemento de permeação é a mesma que a energia no capacitor associado.

O esquema mostra um gerador trifásico e uma carga trifásica, além do esquema do modelo do transformador.

Transformador com lacuna e fluxo de vazamento

Transformador com gap e fluxo de fuga.

Modelo girador-capacitor de um transformador com gap e fluxo de fuga.

A abordagem girador-capacitor pode acomodar indutância de vazamento e lacunas de ar no circuito magnético. As lacunas e o fluxo de vazamento têm uma permeabilidade que pode ser adicionada ao circuito equivalente como capacitores. A permeabilidade da lacuna é calculada da mesma maneira que os elementos substantivos, exceto que uma permeabilidade relativa da unidade é usada. A permeabilidade do fluxo de vazamento pode ser difícil de calcular devido à geometria complexa. Pode ser calculado a partir de outras considerações, como medidas ou especificações.

C _PL e C _SL representam a indutância de fuga primária e secundária, respectivamente. C _GAP representa a permeabilidade do entreferro.

Impedância magnética

Impedância magnética complexa

Equivalência de circuito entre uma impedância magnética e uma admitância elétrica.

Magnética impedância complexa , também chamado de resistência magnética total, é o quociente de uma tensão magnética (sinusoidal complexa força magnetomotriz , ) em um passiva circuito magnético e a corrente sinusoidal resultante complexo magnético ( ) no circuito. A impedância magnética é análoga à impedância elétrica . ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ Phi}}}$

Impedância magnética complexa ( unidade SI : Ω ⁻¹ ) é determinada por:

${\ displaystyle Z_ {M} = {\ frac {\ mathcal {F}} {\ dot {\ Phi}}} = z_ {M} e ^ {j \ phi}}$

onde está o módulo de e é sua fase. O argumento de uma impedância magnética complexa é igual à diferença das fases da tensão magnética e da corrente magnética. A impedância magnética complexa pode ser apresentada da seguinte forma: ${\ displaystyle z_ {M}}$ ${\ displaystyle Z_ {M}}$ ${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle Z_ {M} = z_ {M} e ^ {j \ phi} = z_ {M} \ cos \ phi + jz_ {M} \ sin \ phi = r_ {M} + jx_ {M}}$

onde está a parte real da impedância magnética complexa, chamada de resistência magnética efetiva; é a parte imaginária da impedância magnética complexa, chamada de resistência magnética reativa. A impedância magnética é igual a ${\ displaystyle r_ {M} = z_ {M} \ cos \ phi}$ ${\ displaystyle x_ {M} = z_ {M} \ sin \ phi}$

${\ displaystyle z_ {M} = {\ sqrt {r_ {M} ^ {2} + x_ {M} ^ {2}}}}$ , ${\ displaystyle \ phi = \ arctan {\ frac {x_ {M}} {r_ {M}}}}$

Resistência magnética efetiva

A resistência magnética efetiva é o componente real da impedância magnética complexa. Isso faz com que um circuito magnético perca energia potencial magnética. A potência ativa em um circuito magnético é igual ao produto da resistência magnética efetiva e da corrente magnética ao quadrado . ${\ displaystyle r _ {\ mathrm {M}}}$ ${\ displaystyle I _ {\ mathrm {M}} ^ {2}}$

${\ displaystyle P = r _ {\ mathrm {M}} I _ {\ mathrm {M}} ^ {2}}$

A resistência magnética efetiva em um plano complexo aparece como o lado do triângulo de resistência para o circuito magnético de uma corrente alternada. A resistência magnética efetiva é limitada pela condutância magnética efetiva pela expressão ${\ displaystyle g _ {\ mathrm {M}}}$

{\ displaystyle g _ {\ mathrm {M}} = {\ frac {r _ {\ mathrm {M}}} {z _ {\ mathrm {M}} ^ {2}}}}

onde está a impedância magnética total de um circuito magnético. ${\ displaystyle z _ {\ mathrm {M}}}$

Reatância magnética

Reatância magnética é o parâmetro de um circuito magnético passivo ou um elemento do circuito, que é igual à raiz quadrada da diferença dos quadrados da impedância magnética complexa e da resistência magnética efetiva a uma corrente magnética, tomada com o sinal mais, se a corrente magnética fica atrás da tensão magnética na fase, e com o sinal negativo, se a corrente magnética lidera a tensão magnética na fase.

A reatância magnética é o componente da impedância magnética complexa do circuito de corrente alternada , que produz a mudança de fase entre uma corrente magnética e a tensão magnética no circuito. É medido em unidades de e denotado por (ou ). Pode ser indutivo ou capacitivo , onde é a frequência angular de uma corrente magnética, é a indutividade magnética de um circuito, é a capacidade magnética de um circuito. A reatância magnético de um circuito não desenvolvida com a indutância e a capacitivity, que estão ligados em série, é igual: . Se , então, a reatância e a ressonância líquidas ocorrem no circuito. No caso geral . Quando uma perda de energia está ausente ( ) ,. O ângulo da mudança de fase em um circuito magnético . Em um plano complexo, a reatância magnética aparece como o lado do triângulo de resistência para o circuito de uma corrente alternada. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ Omega}}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x_ {L} = \ omega L_ {M}}$ ${\ displaystyle x_ {C} = {\ tfrac {1} {\ omega C_ {M}}}}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle L_ {M}}$ ${\ displaystyle C_ {M}}$ ${\ displaystyle x = x_ {L} -x_ {C} = \ omega L_ {M} - {\ frac {1} {\ omega C_ {M}}}}$ ${\ displaystyle x_ {L} = x_ {C}}$ ${\ displaystyle x = 0}$ ${\ displaystyle x = {\ sqrt {z ^ {2} -r ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle r = 0}$ ${\ displaystyle x = z}$ ${\ displaystyle \ phi = \ arctan {\ frac {x} {r}}}$

Limitações da analogia

As limitações desta analogia entre circuitos magnéticos e circuitos elétricos incluem o seguinte;

A corrente em circuitos elétricos típicos está confinada ao circuito, com muito pouco "vazamento". Em circuitos magnéticos típicos, nem todo o campo magnético está confinado ao circuito magnético porque a permeabilidade magnética também existe fora de materiais (consulte a permeabilidade a vácuo ). Assim, pode haver um " fluxo de vazamento " significativo no espaço fora dos núcleos magnéticos. Se o fluxo de fuga for pequeno em comparação com o circuito principal, muitas vezes pode ser representado como elementos adicionais. Em casos extremos, um modelo de elemento concentrado pode não ser apropriado, e a teoria de campo é usada em seu lugar.
Os circuitos magnéticos são não lineares ; a relutância em um circuito magnético não é constante, como a resistência, mas varia dependendo do campo magnético. Em fluxos magnéticos elevados, os materiais ferromagnéticos usados para os núcleos dos circuitos magnéticos saturam , limitando o aumento adicional do fluxo magnético, portanto, acima desse nível, a relutância aumenta rapidamente. Além disso, os materiais ferromagnéticos sofrem de histerese, de modo que o fluxo neles depende não apenas do MMF instantâneo, mas também da história do MMF. Depois que a fonte do fluxo magnético é desligada, o magnetismo remanescente é deixado nos materiais ferromagnéticos, criando um fluxo sem MMF.

Referências

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