Half-espaço (geometria) - Half-space (geometry)

Na geometria , uma meia-espaço é qualquer das duas partes em que um plano divide o tridimensional espaço euclidiano . Mais geralmente, uma semi-espaço é qualquer das duas partes em que uma hiperplana divide um espaço afim . Ou seja, os pontos que não são incidentes ao hiperplano está dividida em dois conjuntos convexos (ou seja, meio-espaços), de tal forma que qualquer subespaço conectar um ponto em um jogo a um ponto na outra deve cruzar o hiperplano.

A semi-espaço pode ser aberto ou fechado . Uma meia-espaço aberto é qualquer um dos dois conjuntos abertos produzidos pela subtracção de um hiperplana do espaço afim. A semi-espaço fechado é a união de um semi-espaço aberto e hiperplano que o define.

Se o espaço é bi-dimensional , em seguida, uma meia-espaço é chamado um semi-plano (aberto ou fechado). A semi-espaço em um one-dimensional espaço é chamado de um raio .

Uma meia-espaço pode ser especificado por uma desigualdade linear, derivada da equação linear que especifica o hiperplana definição.

Um linear estrita desigualdade especifica uma meia-espaço aberto:

${\ Displaystyle a_ {1} x_ {1} + A_ {2} x_ {2} + \ cdots + a_ {n} x_ {n}> b}$

Um um não-estrita especifica uma meia-espaço fechado:

${\ Displaystyle a_ {1} x_ {1} + A_ {2} x_ {2} + \ cdots + a_ {n} x_ {n} \ GEQ b}$

Aqui, supõe-se que nem todos os números reais a ₁ , a ₂ , ..., a _n são zero.

propriedades

• A semi-espaço é um conjunto convexo .
• Qualquer conjunto convexo pode ser descrito como o (possivelmente infinito) intersecção de meios espaços.

Superior e inferior meias-espaços

O aberto (fechado) semi-espaço superior é a meia-espaço de todos ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ), tais que x _n > 0 (≥ 0). O (fechado) aberta inferior semi-espaço é definido de forma semelhante, exigindo que x _n ser negativa (não-positivo).

Veja também

• A linha (geometria)
• semi-plano superior
• Poincaré modelo semi-plano
• Siegel semi-espaço superior
• Polígono Nef , construção de poliedros usando meias-espaços.

links externos

• Hazewinkel, Michiel , ed. (2001) [1994], "Half-plane" , Encyclopedia of Mathematics , Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W. "Half-Space" . MathWorld .