Meio plano superior - Upper half-plane

Em matemática , o semi-plano superior , é o conjunto dos pontos $($ $x$ $,$ $y$ $)$ no plano cartesiano com $y$ > 0. ${\ displaystyle \, {\ mathcal {H}} \ ,,}$

Avião complexo

Os matemáticos às vezes identificam o plano cartesiano com o plano complexo , e então o semiplano superior corresponde ao conjunto de números complexos com parte imaginária positiva :

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} \ equiv \ {x + iy \ mid y> 0; x, y \ in \ mathbb {R} \} ~.}

O termo surge de uma visualização comum do número complexo $x + iy$ como o ponto $(x, y)$ no plano dotado de coordenadas cartesianas . Quando o eixo $y$ é orientado verticalmente, o " meio plano superior " corresponde à região acima do eixo $x$ e, portanto, aos números complexos para os quais $y$ > 0.

É o domínio de muitas funções de interesse em análises complexas , especialmente formas modulares . O semiplano inferior, definido por $y$ <0, é igualmente bom, mas menos usado por convenção. O disco unitário aberto (o conjunto de todos os números complexos de valor absoluto inferior a um) é equivalente por um mapeamento conforme a (ver " métrica de Poincaré "), o que significa que geralmente é possível passar entre e ${\ displaystyle \, {\ mathcal {D}} \,}$ ${\ displaystyle \, {\ mathcal {H}} \,}$ ${\ displaystyle \, {\ mathcal {H}} \,}$ ${\ displaystyle \, {\ mathcal {D}} \ ;.}$

Ele também desempenha um papel importante na geometria hiperbólica , onde o modelo de meio plano de Poincaré fornece uma maneira de examinar os movimentos hiperbólicos . A métrica de Poincaré fornece uma métrica hiperbólica no espaço.

O teorema de uniformização para superfícies afirma que o semiplano superior é o espaço de cobertura universal de superfícies com curvatura Gaussiana negativa constante .

O semiplano superior fechado é a união do semiplano superior com o eixo real. É o fechamento do semiplano superior.

Geometria afim

As transformações afins do semiplano superior incluem

(1) desloca ( x, y ) → ( x + c, y ), c

\in ℝ

, e

(2) dilatações ( x, y ) → (λ x , λ y ), λ> 0.

Proposição: Let A e B ser semicírculos no semi-plano superior, com centros na fronteira. Em seguida, existe um mapeamento afim que leva um para B .

Prova: Primeiro mude o centro de A para (0,0). Em seguida, pegue λ = (diâmetro de B ) / (diâmetro de A ) e dilate. Em seguida, desloca (0,0) para o centro de B .

Definição: ${\ displaystyle \; {\ mathcal {Z}} \ equiv {\ bigl \ {} \, \ left (\, \ cos ^ {2} \ theta \ ,, \; {\ tfrac {1} {2}} \ sin 2 \ theta \, \ right) \; | \; 0 <\ theta <\ pi \, {\ bigr \}} ~.}$

${\ displaystyle \, {\ mathcal {Z}} \,}$ pode ser reconhecido como o círculo de raio ½ centrado em (½, 0), e como o gráfico polar de ${\ displaystyle \ rho (\ theta) = \ cos \ theta ~.}$

Proposição: (0,0), em e são pontos colineares . ${\ displaystyle \, \ rho (\ theta) \,}$ ${\ displaystyle \, {\ mathcal {Z}} \ ,,}$ ${\ displaystyle \, (\, 1, \ tan \ theta \,) \,}$

Na verdade, é o reflexo da linha no círculo unitário . Na verdade, a diagonal de (0,0) a tem comprimento quadrado, de modo que é o recíproco desse comprimento. ${\ displaystyle \, {\ mathcal {Z}} \,}$ ${\ displaystyle {\ bigl \ {} \, (\, 1, y \,) \, | \, y> 0 \, {\ bigr \}} \,}$ ${\ displaystyle \, (\, 1, \ tan \ theta \,) \,}$ ${\ displaystyle 1+ \ tan ^ {2} \ theta = \ sec ^ {2} \ theta \ ,,}$ ${\ displaystyle \, \ rho (\ theta) = \ cos \ theta \,}$

Geometria métrica

A distância entre quaisquer dois pontos $p$ e $q$ no meio-plano superior pode ser definida consistentemente como segue: A bissetriz perpendicular do segmento de $p$ a $q$ cruza o limite ou é paralelo a ele. No último caso, $p$ e $q$ estão em um raio perpendicular ao limite e a medida logarítmica pode ser usada para definir uma distância que é invariante sob dilatação. No primeiro caso, $p$ e $q$ estão em um círculo centrado na interseção de sua bissetriz perpendicular e a fronteira. Pela proposição acima, este círculo pode ser movido por movimento afim para que as distâncias ativadas sejam definidas usando a correspondência com pontos ativados e a medida logarítmica neste raio. Em conseqüência, o semiplano superior se torna um espaço métrico . O nome genérico desse espaço métrico é plano hiperbólico . Em termos de modelos de geometria hiperbólica , este modelo é freqüentemente denominado modelo de meio plano de Poincaré . ${\ displaystyle \, {\ mathcal {Z}} \ ;.}$ ${\ displaystyle \, {\ mathcal {Z}} \,}$ ${\ displaystyle {\ bigl \ {} \, (\, 1, y \,) \, | \, y> 0 \, {\ bigr \}} \,}$

Generalizações

Uma generalização natural em geometria diferencial é hiperbólica $n-$ espaço - a variedade Riemanniana $n-$ dimensional maximamente simétrica, simplesmente conectada , com curvatura seccional constante -1. Nesta terminologia, o semiplano superior é, uma vez que tem dimensão real 2. ${\ displaystyle \, {\ mathcal {H}} ^ {n} \ ,,}$ ${\ displaystyle \, {\ mathcal {H}} ^ {2} \,}$

Na teoria dos números , a teoria das formas modulares de Hilbert está preocupada com o estudo de certas funções no produto direto de $n$ cópias do semiplano superior. Ainda outro espaço interessante para os teóricos dos números é o meio-espaço superior de Siegel, que é o domínio das formas modulares de Siegel . ${\ displaystyle \, {\ mathcal {H}} ^ {n} \,}$ ${\ displaystyle \, {\ mathcal {H}} _ {n} \ ,,}$