Helicoide - Helicoid

Um helicoide com α  = 1, −1 ≤  ρ  ≤ 1 e - π  ≤  θ  ≤  π .

A helicoide , depois do plano e da catenóide , é a terceira superfície mínima a ser conhecida.

Descrição

Foi descrito por Euler em 1774 e por Jean Baptiste Meusnier em 1776. Seu nome deriva de sua semelhança com a hélice : para cada ponto da helicoide, há uma hélice contida na helicoide que passa por esse ponto. Uma vez que se considera que o alcance planar se estende através do infinito negativo e positivo, a observação de perto mostra o aparecimento de dois planos paralelos ou espelhados no sentido de que se a inclinação de um plano for traçada, o copano pode ser visto como sendo contornado ou pulado, embora na realidade o copano também seja traçado da perspectiva oposta.

O helicoide também é uma superfície regida (e um conóide direito ), o que significa que é um traço de uma linha. Alternativamente, para qualquer ponto da superfície, existe uma linha na superfície que passa por ele. Na verdade, o catalão provou em 1842 que o helicoide e o avião eram as únicas superfícies mínimas regulamentadas .

Um helicoide também é uma superfície de translação no sentido de geometria diferencial.

O helicoide e o catenóide são partes de uma família de superfícies mínimas helicoide-catenóides.

O helicoide tem a forma do parafuso de Arquimedes , mas se estende infinitamente em todas as direções. Pode ser descrito pelas seguintes equações paramétricas em coordenadas cartesianas :

${\ displaystyle x = \ rho \ cos (\ alpha \ theta), \}$

${\ displaystyle y = \ rho \ sin (\ alpha \ theta), \}$

${\ displaystyle z = \ theta, \}$

onde ρ e θ gama de negativo infinito para positivo infinito, enquanto α é uma constante. Se α for positivo, então o helicoide é destro, conforme mostrado na figura; se negativo, então canhoto.

O helicoide tem curvaturas principais . A soma dessas quantidades fornece a curvatura média (zero, pois o helicoide é uma superfície mínima) e o produto fornece a curvatura gaussiana . ${\ displaystyle \ pm \ alpha / (1+ \ alpha ^ {2} \ rho ^ {2}) \}$

O helicoide é homeomórfico ao avião . Para ver isso, deixe alfa diminuir continuamente de seu valor dado até zero . Cada valor intermediário de α descreverá um helicoide diferente, até que α  = 0 seja alcançado e o helicoide se torne um plano vertical . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Por outro lado, um plano pode ser transformado em um helicoide escolhendo uma linha, ou eixo , no plano e, em seguida, girando o plano em torno desse eixo.

Se uma helicoide de raio R gira por um ângulo de θ em torno de seu eixo enquanto sobe por uma altura h , a área da superfície é dada por

${\ displaystyle {\ frac {\ theta} {2}} \ left [R {\ sqrt {R ^ {2} + c ^ {2}}} + c ^ {2} \ ln \ left ({\ frac { R + {\ sqrt {R ^ {2} + c ^ {2}}}} {c}} \ direita) \ direita], \ c = {\ frac {h} {\ theta}}}$

Helicoide e catenóide

Animação mostrando a transformação de um helicoide em catenóide.

O helicoide e o catenóide são superfícies localmente isométricas; veja transformação Catenóide # Helicoide .

Veja também

• Helicoide generalizado
• Superfície de Dini
• Conóide direita
• Superfície governada

Notas

links externos

• "Helicoid" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Helicoide 3D interativo baseado em WebGL