Decomposição de Hopf - Hopf decomposition

Em matemática , a decomposição de Hopf , em homenagem a Eberhard Hopf , dá uma decomposição canônica de um espaço de medida ( X , μ) em relação a uma transformação não singular invertível T , ou seja, uma transformação que com seu inverso é mensurável e carrega conjuntos nulos para conjuntos nulos. Até conjuntos nulos, X pode ser escrito como uma união disjunta C ∐ D de conjuntos T- variantes onde as ações de T em C e D são conservativas e dissipativas . Assim, se τ é o automorfismo de A = L ^∞ ( X ) induzido por T , existe uma projeção única τ invariante p em A tal que pA é conservativo e (I – p) A é dissipativo.

Definições

• Conjuntos errantes e ações dissipativas. Um subconjunto mensurável W de X está vagando se sua função característica q = χ _W em A = L ^∞ ( X ) satisfaz q τ ⁿ ( q ) = 0 para todo n ; assim, até conjuntos nulos, as traduções T ⁿ ( W ) são disjuntas. Uma acção é chamada de dissipação se X = ∐ T ⁿ ( W ) para alguns vagando conjunto W .
• Ações conservadoras. Se X não tem subconjuntos errantes de medida positiva, a ação é considerada conservadora .
• Ações incompressíveis. Uma ação é dita incompressível se sempre que um subconjunto mensurável Z satisfaz T ( Z ) ⊊ Z então Z \ TZ tem medida zero. Assim, se q = χ _Z e τ ( q ) ≤ q , então τ ( q ) = q .
• Ações recorrentes. Uma acção T é dito ser recorrente se q ≤ τ ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ... para qualquer q = χ _Y .
• Ações infinitamente recorrentes. Diz-se que uma ação T é infinitamente recorrente se q ≤ τ ^m ( q ) ∨ τ ^{m + 1} ( q ) ∨ τ ^{m +2} ( q ) ∨ ... para qualquer q = χ _Y e qualquer m ≥ 1.

Teorema de recorrência

Teorema. Se T é uma transformação invertível em um espaço de medida ( X , μ) preservando conjuntos nulos, então as seguintes condições são equivalentes em T (ou seu inverso):

1. T é conservador ;
2. T é recorrente;
3. T é infinitamente recorrente;
4. T é incompressível.

Visto que T é dissipativo se e somente se T ⁻¹ é dissipativo, segue-se que T é conservativo se e somente se T ⁻¹ é conservador.

Se T for conservador, então r = q ∧ (τ ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅) ^⊥ = q ∧ τ (1 - q ) ∧ τ ² (1 - q ) ∧ τ ³ ( q ) ∧ ... está vagando de modo que se q <1, necessariamente r = 0. Portanto, q ≤ τ ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅, de modo que T é recorrente.

Se T é recorrente, então q ≤ τ ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ Agora assuma por indução que q ≤ τ ^k ( q ) ∨ τ ^{k +1} ( q ) ∨ ⋅ ⋅⋅. Então τ ^k ( q ) ≤ τ ^{k +1} ( q ) ∨ τ ^{k +2} ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ ≤. Logo, q ≤ τ ^{k +1} ( q ) ∨ τ ^{k +2} ( q ) ∨ ⋅⋅⋅. Portanto, o resultado é válido para k +1 e, portanto, T é infinitamente recorrente. Inversamente, por definição, uma transformação infinitamente recorrente é recorrente.

Agora, suponha que T seja recorrente. Para mostrar que T é incompressível, deve-se mostrar que, se τ ( q ) ≤ q , então τ ( q ) ≤ q . De fato, neste caso τ ⁿ ( q ) é uma sequência decrescente. Mas por recorrência, q ≤ τ ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ τ ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅, então q ≤ τ ( q ) e, portanto, q = τ ( q ).

Finalmente, suponha que T seja incompressível. Se T não for conservativo, existe um p ≠ 0 em A com o τ ⁿ ( p ) disjunto (ortogonal). Mas então q = p ⊕ τ ( p ) ⊕ τ ² ( p ) ⊕ ⋅⋅⋅ satisfaz τ ( q ) < q com q - τ ( q ) = p ≠ 0 , contradizendo a incompressibilidade. Portanto, T é conservador.

Decomposição de Hopf

Teorema. Se T é uma transformação invertível em um espaço de medida ( X , μ ) preservando conjuntos nulos e induzindo um automorfismo τ de A = L ^∞ ( X ), então há uma única τ -invariante p = χ _C em A tal que τ é conservadora em pA = G ^∞ ( C ) e de dissipação em (1 -  P ) A = L ^∞ ( D ), onde D =  X  \  C .

Sem perda de generalidade, pode-se assumir que μ é uma medida de probabilidade. Se T é conservadora não há nada para provar, uma vez que, nesse caso, C = X . Caso contrário, existe um conjunto errante W para T . Seja r = χ _W e q = ⊕ τ ⁿ ( r ). Assim, q é τ -invariante e dissipativo. Além disso μ ( q )> 0. É evidente que uma soma directa ortogonal de tal τ dissipativa -invariant q 's, também é τ -invariant e de dissipação; e se q é τ -invariante e dissipativo er < q é τ -invariante, então r é dissipativo. Portanto, se q ₁ e q ₂ são τ -invariantes e dissipativos, então q ₁ ∨ q ₂ é τ -invariantes e dissipativos, uma vez que q ₁ ∨ q ₂ = q ₁ ⊕ q ₂ (1 -  q ₁ ). Agora seja M o supremo de todos os µ ( q ) com q τ -invariante e dissipativo. Tome q _n τ -invariant e de dissipação de tal modo que μ ( q _n ) aumenta para M . Substituindo q _n por q ₁ ∨ ⋅⋅⋅ ∨ q _n , t pode ser assumido que q _n está aumentando para q digamos. Por continuidade q é τ -invariant e μ ( q ) = H . Por maximalidade p = I - q é conservador. A unicidade é clara, uma vez que nenhuma variação de τ r < p é dissipativa e toda variação de τ r < q é dissipativa.

Corolário. A decomposição de Hopf para T coincide com a decomposição de Hopf para T ^-1 .

Como uma transformação é dissipativa em um espaço de medida se e somente se seu inverso for dissipativo, as partes dissipativas de T e T ⁻¹ coincidem. Conseqüentemente, o mesmo ocorre com as partes conservadoras.

Corolário. A decomposição de Hopf para T coincide com a decomposição de Hopf para T ⁿ para n > 1.

Se W é um conjunto errante para T, então é um conjunto errante para T ⁿ . Portanto, a parte dissipativa de T está contida na parte dissipativa de T ⁿ . Seja σ = τ ⁿ . Para provar o contrário, basta mostrar que se σ é dissipativo, então τ é dissipativo. Caso contrário, usando a decomposição de Hopf, pode-se assumir que σ é dissipativo e τ conservativo. Suponha que p seja uma projeção errante diferente de zero para σ. Então τ ^um ( p ) e τ ^b ( p ) são ortogonais para diferentes um e b na mesma classe congruência módulo n . Pegue um conjunto de τ ^a ( p ) com produto diferente de zero e tamanho máximo. Assim | S | ≤ n . Por maximalidade, r está vagando por τ, uma contradição.

Corolário. Se uma transformação invertível T atua ergodicamente, mas não transitivamente no espaço de medida ( X , μ ) preservando conjuntos nulos e B é um subconjunto com μ ( B )> 0, então o complemento de B ∪ TB ∪ T ² B ∪ ⋅⋅ ⋅ tem medida zero.

Observe que a ergodicidade e a não transitividade implicam que a ação de T é conservadora e, portanto, infinitamente recorrente. Mas então B ≤ T ^m ( B ) ∨ T ^{m + 1} ( B ) ∨ T ^{m +2} ( B ) ∨ ... para qualquer m ≥ 1. Aplicando T ^{- m} , segue que T ^{- m} ( B ) reside em Y = B ∪ TB ∪ T ² B ∪ ⋅⋅⋅ para cada m > 0. Por ergodicidade μ ( X \ Y ) = 0.

Decomposição de Hopf para um fluxo não singular

Seja ( X , μ) um espaço de medida e S _t um fluxo não-singular em X, induzindo um grupo de 1 parâmetro de automorfismos σ _t de A = L ^∞ ( X ). Será assumido que a ação é fiel, de modo que σ _t é a identidade apenas para t = 0. Para cada S _t ou equivalentemente σ _t com t ≠ 0 há uma decomposição de Hopf, então a p _t fixada por σ _t tal que a acção é conservadora em p _t a e de dissipação de (1- P _t ) Uma .

• Para s , t ≠ 0 as partes conservativa e dissipativa de S _s e S _t coincidem se s / t for racional.

Isso decorre do fato de que, para qualquer transformação invertível não singular, as partes conservativa e dissipativa de T e T ⁿ coincidem para n ≠ 0.

• Se S ₁ é dissipativo em A = L ^∞ ( X ), então há uma medida invariante λ em A e p em A tal que

1. p > σ _t ( p ) para todo t > 0
2. λ ( p - σ _t ( p )) = t para todo t > 0
3. σ _t ( p ) 1 como t tende para −∞ e σ _t ( p ) 0 quando t tende para + ∞.${\ displaystyle \ uparrow}$${\ displaystyle \ downarrow}$

Seja T = S ₁ . Considere q um conjunto errante para T de modo que ⊕ τ ⁿ ( q ) = 1. Mudando μ para uma medida equivalente, pode-se assumir que μ ( q ) = 1, de modo que μ se restringe a uma medida de probabilidade em qA . Transportando esta medida para τ ⁿ ( q ) Um , pode ainda que seja assumido que μ é τ-invariante em um . Mas então λ = ∫¹
₀ μ ∘ σ _t dt é uma medida σ-invariante equivalente em A que pode ser redimensionada se necessário de modo que λ ( q ) = 1. O r em A que estão vagando por Τ (ou τ) com ⊕ τ ⁿ ( r ) = 1 são facilmente descritos: são dados por r = ⊕ τ ⁿ ( q _n ) onde q = ⊕ q _n é uma decomposição de q . Em particular λ ( r ) = 1. Além disso, se p satisfaz p > τ ( p ) e τ ^{- n} ( p ) 1, então λ ( p - τ ( p )) = 1, aplicando o resultado a r = p - τ ( p ). Os mesmos argumentos mostram que, ao contrário, se r está vagando por τ e λ ( r ) = 1, então ⊕ τ ⁿ ( r ) = 1 .${\ displaystyle \ uparrow}$

Seja Q = q ⊕ τ ( q ) ⊕ τ ² ( q ) ⊕ ⋅⋅⋅ de modo que τ ^k ( Q ) < Q para k ≥ 1. Então a = ∫^∞
₀σ _t ( q ) dt = Σ _{k ≥0} ∫¹
₀σ _{k + t} ( q ) dt = ∫¹
₀σ _t ( Q ) dt de modo que um 0 ≤ ≤ 1 em um . Por definição σ _s ( a ) ≤ a para s ≥ 0, já que a - σ _s ( a ) = ∫^∞
_sσ _t ( q ) dt . As mesmas fórmulas mostram que σ _s ( a ) tende a 0 ou 1 enquanto s tende a + ∞ ou −∞. Defina p = χ _{[ε, 1]} (a) para 0 <ε <1. Então σ _s ( p ) = χ _{[ε, 1]} (σ _s ( a )). Segue imediatamente que σ _s ( p ) ≤ p para s ≥ 0. Além disso, σ _s ( p ) 0 quando s tende a + ∞ e σ _s ( p ) 1 quando s tende a - ∞. A primeira fórmula limite segue porque 0 ≤ ε ⋅ σ _s ( p ) ≤ σ _s ( a ). Agora, o mesmo raciocínio pode ser aplicado a τ ⁻¹ , σ _{- t} , τ ⁻¹ ( q ) e 1 - ε no lugar de τ, σ _t , q e ε. Então, é facilmente verificado se as quantidades correspondentes a a e p são 1 - ae 1 - p . Consequentemente σ _{- t} (1− p ) 0 quando t tende a ∞. Logo, σ _s ( p ) 1 quando s tende a - ∞. Em particular p ≠ 0, 1.${\ displaystyle \ downarrow}$${\ displaystyle \ uparrow}$${\ displaystyle \ downarrow}$${\ displaystyle \ uparrow}$

Portanto, r = p - τ ( p ) está vagando por τ e ⊕ τ ^k ( r ) = 1. Portanto, λ ( r ) = 1. Segue-se que λ ( p −σ _s ( p )) = s para s = 1 / n e, portanto, para todos os racionais s > 0. Como a família σ _s ( p ) é contínua e decrescente, por continuidade a mesma fórmula também é válida para todos os reais s > 0. Portanto, p satisfaz todas as condições afirmadas.

• As partes conservativa e dissipativa de S _t para t ≠ 0 são independentes de t .

O resultado anterior mostra que se S _t é dissipativo em X para t ≠ 0, então todo S _s para s ≠ 0. Por unicidade, S _t e S _s preservam as partes dissipativas do outro. Conseqüentemente, cada uma é dissipativa na parte dissipativa da outra, de modo que as partes dissipativas concordam. Portanto, as partes conservadoras concordam.

Veja também

• Fluxo ergódico

Notas

Referências

• Aaronson, Jon (1997), Uma introdução à teoria ergódica infinita , Mathematical Surveys and Monographs, 50 , American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0494-4
• Hopf, Eberhard (1937), Ergodentheorie (em alemão), Springer
• Krengel, Ulrich (1968), "Darstellungssätze für Strömungen und Halbströmungen I", Math. Annalen (em alemão), 176 : 181−190
• Krengel, Ulrich (1985), teoremas ergódicos , De Gruyter Studies in Mathematics, 6 , de Gruyter, ISBN 3-11-008478-3