Ideal (teoria dos conjuntos) - Ideal (set theory)

No campo matemático da teoria dos conjuntos , um ideal é uma coleção parcialmente ordenada de conjuntos considerados "pequenos" ou "desprezíveis". Cada subconjunto de um elemento do ideal também deve estar no ideal (isso codifica a ideia de que um ideal é uma noção de pequenez), e a união de quaisquer dois elementos do ideal também deve estar no ideal.

Mais formalmente, dado um conjunto de um ideal em um nonempty subconjunto do powerset de tal forma que: ${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X,}$

1. ${\ displaystyle \ varnothing \ in I,}$
2. se e então e${\ displaystyle A \ in I}$${\ displaystyle B \ subseteq A,}$${\ displaystyle B \ in I,}$
3. se então${\ displaystyle A, B \ in I}$${\ displaystyle A \ cup B \ in I.}$

Alguns autores acrescentam uma quarta condição em que ela mesma não está ; ideais com essa propriedade extra são chamados de ideais adequados . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle I}$

Ideais no sentido da teoria dos conjuntos são exatamente ideais no sentido da teoria da ordem , onde a ordem relevante é a inclusão do conjunto. Além disso, eles são exatamente ideais no sentido da teoria do anel no anel booleano formado pelo conjunto de poderes do conjunto subjacente.

Terminologia

Um elemento de um ideal é dito -null ou -negligible , ou simplesmente nulo ou insignificante se o ideal for entendido a partir do contexto. Se é um ideal em seguida, um subconjunto de se diz ser positiva para (ou apenas positivo ) se for não um elemento de A coleção de todos os subconjuntos serologia positiva de é denotada${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I.}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle I ^ {+}.}$

Se é um ideal adequado para cada um ou então é um ideal principal . ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A \ subseteq X}$${\ displaystyle A \ in I}$${\ displaystyle X \ setminus A \ in I,}$${\ displaystyle I}$

Exemplos de ideais

Exemplos gerais

• Para qualquer conjunto e qualquer subconjunto escolhido arbitrariamente, os subconjuntos de forma um ideal em Para finito, todos os ideais são desta forma.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B \ subseteq X.}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle X,}$
• Os subconjuntos finitos de qualquer conjunto formam um ideal em${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$
• Para qualquer espaço de medida , conjuntos de medida zero.
• Para qualquer espaço de medida , conjuntos de medidas finitas. Isso abrange subconjuntos finitos (usando medida de contagem ) e pequenos conjuntos abaixo.

Ideais nos números naturais

• O ideal de todos os conjuntos finitos de números naturais é denotado por Fin.
• O ideal somatório nos números naturais, denotado é a coleção de todos os conjuntos de números naturais de forma que a soma seja finita. Veja o pequeno conjunto .${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {1 / n},}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ sum _ {n \ in A} {\ frac {1} {n + 1}}}$
• O ideal de conjuntos assintoticamente de densidade zero sobre os números naturais, denotado é a coleção de todos os conjuntos de números naturais de forma que a fração dos números naturais menor do que esse tende para zero como tende para o infinito. (Ou seja, a densidade assintótica de é zero.)${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} _ {0},}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A,}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A}$

Ideais nos números reais

• A medida ideal é a coleção de todos os conjuntos de números reais de forma que a medida de Lebesgue seja zero.${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$
• O parco ideal é a coleção de todos os parcos conjuntos de números reais.

Ideais em outros sets

• Se for um número ordinal de cofinalidade incontável , o ideal não estacionário on é a coleção de todos os subconjuntos de conjuntos não estacionários . Esse ideal foi amplamente estudado por W. Hugh Woodin .${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda}$

Operações em ideais

Dados ideais e em conjuntos subjacentes e respectivamente, forma-se o produto no produto cartesiano da seguinte forma: Para qualquer subconjunto${\ displaystyle I}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle I \ times J}$ ${\ displaystyle X \ times Y,}$${\ displaystyle A \ subseteq X \ times Y,}$

Ou seja, um conjunto é insignificante no produto ideal se apenas uma coleção insignificante de -coordenadas corresponder a uma fatia não desprezível de na direção. (Talvez mais claro: um conjunto é positivo no produto ideal se positivamente muitas coordenadas correspondem a fatias positivas.) ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$

Um ideal em um conjunto induz uma

relação de equivalência no conjunto de poderes de considerar e ser equivalente (para subconjuntos de ) se e somente se a diferença simétrica de e for um elemento de O quociente de por esta relação de equivalência é uma álgebra booleana , denotada ( leia "P de mod "). ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ wp (X),}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle I.}$${\ displaystyle \ wp (X)}$${\ displaystyle \ wp (X) / I}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle I}$

A cada ideal existe um filtro correspondente , denominado filtro duplo . Se for um ideal em, então o filtro dual de é a coleção de todos os conjuntos onde está um elemento de (aqui denota o

complemento relativo de in ; ou seja, a coleção de todos os elementos de que não estão em ). ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle X \ setminus A,}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle I.}$${\ displaystyle X \ setminus A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$

Relações entre ideais

Se e são ideais em e respectivamente, e são

Rudin – Keisler isomórficos se eles são o mesmo ideal exceto para renomear os elementos de seus conjuntos subjacentes (ignorando conjuntos desprezíveis). Mais formalmente, o requisito é que haja conjuntos e elementos de e respectivamente, e uma bijeção tal que para qualquer subconjunto se e somente se a imagem de sob${\ displaystyle I}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B,}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle J}$ ${\ displaystyle \ varphi: X \ setminus A \ to Y \ setminus B,}$${\ displaystyle C \ setminus X,}$ ${\ displaystyle C \ in I}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ varphi \ in J.}$

Se e são Rudin-Keisler isomórficos, então e são isomórficos como álgebras booleanas. Isomorfismos de álgebras booleanas quocientes induzidos por isomorfismos de Rudin – Keisler são chamados de

isomorfismos triviais . ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle \ wp (X) / I}$${\ displaystyle \ wp (Y) / J}$

Veja também

• Filtro (matemática)  - Em matemática, um subconjunto especial de um conjunto parcialmente ordenado
• π -system  - Família não vazia de conjuntos onde a interseção de quaisquer dois membros é novamente um membro
• σ-ideal

Referências

• Farah, Ilijas (novembro de 2000). Quocientes analíticos: Teoria das elevações de quocientes sobre os ideais analíticos nos inteiros . Memórias da AMS. American Mathematical Society. ISBN 9780821821176.